7.8机械能守恒定律
【学习目标】
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.
2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.
3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
【知识探究】
一、动能与势能的相互转化
[导学探究]
(1)如图1所示，物体沿光滑斜面下滑，物体的重力势能如何变化，动能如何变化？当物体以某一初速度沿着光滑斜面上滑时，物体的重力势能如何变化，动能如何变化？
图1
(2)如图2所示，在光滑水平面上，被压缩的弹簧恢复原来形状的过程，弹性势能如何变化？弹出的物体的动能如何变化？当物体以某一初速度压缩弹簧时，弹性势能如何变化，物体的动能如何变化？21教育网
图2
[知识梳理] 机械能及其转化
(1)重力势能与动能的转化
重力做正功，重力势能________，动能________，重力势能转化为动能．
重力做负功，重力势能________，动能________，动能转化为重力势能．
(2)弹性势能与动能的转化
弹力做正功，弹性势能________，动能________，弹性势能转化为动能．
弹力做负功，弹性势能________，动能________，动能转化为弹性势能．
(3)____________、____________和动能统称为机械能．
(4)机械能：重力势能、弹性势能和动能统称为机械能．
[即学即用] 如图3所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，其上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )2·1·c·n·j·y
图3
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体的重力势能不变，动能增加
二、机械能守恒定律
[导学探究] 如图4所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面，求：
图4
(1)物体在A、B处的机械能各是多少？
(2)比较物体在A、B处的机械能的大小，得出什么结论？
[知识梳理] 机械能守恒定律
(1)内容：在只有________或________做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．(2)表达式：Ek2＋Ep2＝__________________，即E2＝________.
[即学即用]
如图5所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为( )www-2-1-cnjy-com
图5
A．0 B．mgh
C．mgH D．mg(H＋h)
【典例精析】
一、机械能是否守恒的判断
例1 不计空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳子的拉力对物体做功，机械能守恒
B．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒
C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒
D．用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒
[总结提升]
机械能守恒的三类常见情况
(1)只受重力、弹力，不受其他力．
(2)除重力、弹力外还受其他力，但其他力都不做功．
(3)除重力、弹力外有其他力做功，但其他力做功之和为零．
针对训练 如图6所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中( )21·世纪*教育网
图6
A．系统的弹性势能不变
B．重物的重力势能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减少
二、机械能守恒定律的应用
例2 如图7所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势面，一切阻力可忽略不计．求运动员：(g＝10 m/s2)
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)相对于B点能到达的最大高度．
图7
[方法总结]
1．机械能守恒定律的应用步骤
首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件．若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解．
2．机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统的两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减．
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统B部分机械能的减少量．
【达标检测】
1．下列运动的物体，机械能守恒的是( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以0.9g的加速度竖直下落
C．物体沿光滑曲面滑下
D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升
2. (多选)如图8所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一小球，在O点的正下方钉一个钉子C.小球从一定高度释放，不考虑细绳的质量和形变，不计一切阻力，细绳摆到竖直位置时，被钉子挡住，比较细绳被钉子挡住前、后瞬间( )21cnjy.com
图8
A．小球的动能变小
B．小球的动能不变
C．小球的重力势能变小
D．小球的机械能不变
3.山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．如图9所示，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜面，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B点，与水平面相切于C点，A、B两点竖直高度差h＝8.8 m，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：www.21-cn-jy.com
图9
(1)运动员到达C点时的速度大小；
(2)运动员经过C点时对轨道的压力的大小．
4.如图10所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：【来源：21·世纪·教育·网】
图10
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
答案解析
知识探究
一、
导学探究 (1)下滑时，物体的高度降低了，重力势能减少．物体的速度增大了，即物体的动能增加；上滑时，物体的重力势能增加，动能减少．2-1-c-n-j-y
(2)被压缩的弹簧恢复原来形状时，弹性势能减少，被弹出的物体的动能增加；当物体压缩弹簧时，弹性势能增加，物体的动能减少．21*cnjy*com
知识梳理 (1)减少 增加 增加 减少 (2)减少 增加 增加
减少 (3)重力势能 弹性势能
即学即用 A [物体加速下滑，动能增加，重力势能减少，A正确，D错误．物体对斜面的压力对斜面做正功，故斜面的支持力对物体做负功，故B、C错误．]
二、
导学探究 (1)物体在A处的机械能EA＝mgh1＋mv
物体在B处的机械能EB＝mgh2＋mv
(2)根据动能定理WG＝mv－mv
下落过程中重力对物体做功，重力做的功在数值上等于物体重力势能的变化量，则WG＝mgh1－mgh2
由以上两式可得：mv－mv＝mgh1－mgh2
移项得mv＋mgh1＝mv＋mgh2
由此可知物体在A、B两处的机械能相等．
知识梳理 (1)重力 弹力 (2)Ek1＋Ep1 E1
即学即用 C [由于小球在下落过程中只有重力作用，所以机械能守恒，也就是说，小球在任一位置时的机械能都相等，并且都等于刚释放时的机械能，因为取桌面为参考平面，所以小球在刚释放时的机械能E＝mgH.故选项C正确．]【来源：21cnj*y.co*m】
典例精析
例1 BC [选项A中，有绳的拉力对物体做功，所以机械能不守恒，选项A错误；选项B中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒，选项B正确；选项C中，物体除受重力作用外还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒，选项C正确；选项D分析同选项A，因此也是错误的．]【出处：21教育名师】
针对训练 D [物体从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，物体的重力势能逐渐减少，动能逐渐增加，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增加，所以，物体减少的重力势能一部分转化为动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能，对物体和弹簧构成的系统，机械能守恒，但对物体来说，其机械能减少，选项D正确．]【版权所有：21教育】
例2 (1)10 500 J (2)10 m/s (3)15 m
解析 (1)运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝70102 J＋701010 J＝10 500 J.
(2)运动员从A运动到B过程，根据机械能守恒定律得E＝mv，解得vB＝ ＝ m/s＝10 m/s21教育名师原创作品
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点过程中，由机械能守恒得E＝mgh，解得h＝ m＝15 m.
达标检测
1．C [物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小．物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能不守恒．物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒．拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒．综上，机械能守恒的是C项．]21*cnjy*com
2．BD [小球到达最低点时，速度方向沿水平方向，在钉子挡住细绳瞬间，合外力对小球做功为零，则小球的动能不变，故A错误，B正确；在钉子挡住细绳瞬间，小球的质量和高度不变，小球的重力势能不变，故C错误；在钉子挡住细绳瞬间，小球的动能与重力势能都不变，小球的机械能不变，故D正确．]21·cn·jy·com
3．(1)14 m/s (2)3 936 N
解析 (1)由A→C过程，应用机械能守恒定律得：
mg(h＋Δh)＝mv
又Δh＝R(1－cos 37°)
解得：vC＝14 m/s.
(2)在C点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
解得：FN＝3 936 N.
由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N.
4．(1) (2)3.5R
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点所在水平面为零势能面．设物体在B点的速度为vB，则21世纪教育网版权所有
mg·3R＋mv＝mv，得v0＝.
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝mv，HB＝4.5R
所以物体离开C点后还能上升的高度
HC＝HB－R＝3.5R.
7.8机械能守恒定律
【学习目标】
1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.
2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.
3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.
4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别．
【典例精析】
一、机械能是否守恒的判断
例1 如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )
图1
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量
[技巧点拨]
判断物体的机械能是否守恒，一般从以下三个方面入手．
1．利用守恒定律来判定：研究系统的动能和势能之和有无变化
2．从做功角度判断
(1)单个物体：除重力外无其他力做功(或其他力对这个物体做功之和为零)，则物体的机械能守恒．
(2)系统：外力中除重力外无其他力做功，内力做功之和为零，则系统的机械能守恒．
3．从能量转化角度判断
只有系统内动能、重力势能、弹性势能的相互转化、无其他形式能量的转化，系统机械能守恒．
针对训练 1 (多选)如图2所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图2
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒www.21-cn-jy.com
二、系统机械能守恒问题的分析
例2 如图3所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长L＝0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度．(g取10 m/s2)
图3
[方法点拨]
由两个物体和轻杆(或轻绳)组成的系统，若没有摩擦力和阻力做功时，运动过程中只有重力势能、动能之间的相互转化，系统满足机械能守恒定律．处理这类问题的方法：
(1)找到两物体的速度关系，从而确定系统动能的变化．
(2)找到两物体上升或下降的高度关系，从而确定系统重力势能的变化．
(3)按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解．
针对训练 2 如图4所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕轴O无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放．求当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？2·1·c·n·j·y
图4
三、应用机械能守恒定律解决综合问题
例3 如图5所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．(g取10 m/s2)
图5
(1)若要使小球经C点水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.
【达标检测】
1. (多选)如图6所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，则以下说法正确的是( )21教育网
图6
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能先增大后减小
C．物体在B点时加速度为零
D．若不计空气阻力，在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
2.某游乐场过山车模型简化为如图7所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．21·cn·jy·com
图7
(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？21·世纪*教育网
3．如图8所示，半径为R的光滑圆柱体被固定在水平台上，圆柱体中心离台边水平距离为0.5R，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱体与质量为m2的小球相连，开始时将m1控制住放在平台上，两边轻绳竖直．现在释放m1，让m1和m2分别由静止开始运动，当m1上升到圆柱体的最高点时，绳子突然断了，m1恰能做平抛运动，重力加速度为g.
图8
(1)m1做平抛运动时的速度v多大？
(2)m2应为m1的多少倍？
(3)m1做平抛运动的过程中，恰能经过与台面等高的B点，求B点离台边的距离sAB，
答案解析
典例精析
例1 BD [小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功．故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确．]【来源：21·世纪·教育·网】
针对训练 1 CD [题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．题图乙中拉力F做功，机械能不守恒．题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒．题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．]www-2-1-cnjy-com
例2 m/s 1 m/s
解析 将A释放后，在A、B运动过程中，因为系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两物体机械能之和是保持不变的．设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3相等，所以有2-1-c-n-j-y
vAsin θ＝vBcos θ①
在这一过程中A下降的高度为Lsin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有
mgLsin θ＝mv＋mv②
由①②代入数值解得vA＝ m/s，vB＝1 m/s.
针对训练 2 －mgL mgL
解析 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL＋mgL＝mv＋mv21cnjy.com
因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上二式得：vA＝ ，vB＝ .
根据动能定理，可解出杆对A、B两球做的功．
对A有：WA＋mg·＝mv－0，
所以WA＝－mgL.
对B有：WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝mgL.
例3 (1)0.2 m (2)0.1 m
解析 (1)小球沿ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则mgH＝mv2①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤②
①②两式联立并代入数据得H≥0.2 m.
(2)若hr＝gt2③
水平方向上有r＝vxt④
又由机械能守恒定律有mgh＝mv⑤
由③④⑤联立可解得h＝＝0.1 m.
达标检测
1．BD
2．(1)2.5R (2)3R
解析 (1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1过圆形轨道最高点．
在圆形轨道最高点有：Mg＝M①
运动过程机械能守恒：Mgh1＝2MgR＋Mv②
由①②式得：h1＝2.5R
高度h至少为2.5R.
(2)设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是FN＝7mg.
最低点：FN－mg＝m③
运动过程机械能守恒：mgh2＝mv④
由③④式得：h2＝3R
高度h不得超过3R.
3．(1) (2) (3)1.5R
解析 (1)由牛顿第二定律，若m1恰能做平抛运动，又因为绳子断的时刻圆柱体对小球无弹力，则m1g＝，得v＝.21世纪教育网版权所有
(2)当m1上升2R到圆柱体最高点时，m2下降(R＋R)，由m1、m2组成的系统机械能守恒得m2gR(1＋)－m1g·2R＝(m1＋m2)v2，解得＝.21*cnjy*com
(3)m1开始做平抛运动到到达B点的时间t＝ ＝2，
水平距离x＝vt＝2R，
离台边sAB＝x－0.5R＝1.5R.
