【解析】江苏省盐城市龙岗中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年江苏省盐城市龙岗中学高二（上）期末数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1．抛物线x2=4y的焦点坐标为　　．
2．“x＞3”是“x＞5”的　　条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．
3．在区间[0，2]上任取两个实数x，y，则x2+y2≤1
的概率为　　．
4．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为　　．
5．如图，该程序运行后输出的结果为　　．
6．点P（x，y）
在不等式组，的平面区域内，则z=2x+y
的最大值为　　．
7．已知ax2+x+b＞0的解集为（1，2），则a+b=　　．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是　　．
9．函数f（x）=x+ex
的图象在点O
（0，1）处的切线方程是　　．
10．观察以下不等式：
①1+＜；
②1++＜；
③1+++＜，
则第六个不等式是　　．
11．设p：函数在区间[1，2]上是单调增函数，设q：方程（2a2﹣3a﹣2）x2+y2=1表示双曲线，“p
且q”为真命题，则实数a
的取值范围为　　．
12．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为　　．
13．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P
在椭圆上运动，
的最大值为m，
的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．
14．f（x）=ax3﹣x2+x+2，， x1∈（0，1]， x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a
的取值范围是　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2
分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为
（1）求椭圆C
的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C
上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．
16．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，该5
人中成绩在[40，50）的有几人；
（3）在（2）中抽取的5人中，随机抽取2
人，求分数在[40，50）和[50，60）各1
人的概率．
17．函数f（x）=ax3+bx2﹣3x
在点x=1
处取得极大值为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．
18．如图，一个圆心角为直角的扇形AOB
花草房，半径为1，点P
是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP
内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ
将扇形AOP
分成左右两部分，在PQ
左侧部分三角形POQ
为观赏区，在PQ
右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a
为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）
（1）求f（θ）关于θ
的函数关系式；
（2）求当θ
为何值时，总造价最小，并求出最小值．
19．如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2
分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1
任意作一条直线l
与椭圆交于A，B
两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线l
的斜率k=1
时，求三角形ABF2
的面积；
（3）当直线l
绕F1
旋转变化时，求三角形ABF2
的面积的最大值．
20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x﹣1）
（1）当k=e
时，求函数的极值；
（2）当k＞0
时，若对任意两个不等的实数x1，x2∈[1，2]，均有，求实数k
的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得函数在[1，e]上的最小值为，若存在求出k
的值，若不存在，说明理由．
　
2016-2017学年江苏省盐城市龙岗中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1．抛物线x2=4y的焦点坐标为　（0，1）　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）
　
2．“x＞3”是“x＞5”的　必要不充分　条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．
【解答】解：若“x＞3”，则“x＞5”不成立，如当x=4．
反之，“x＞5”时“x＞3”，一定成立，
则“x＞3”是“x＞5”的
必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
　
3．在区间[0，2]上任取两个实数x，y，则x2+y2≤1
的概率为　　．
【考点】几何概型．
【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．
【解答】解：由题意可得，区间[0，2]上任取两个实数x，y的区域为边长为2的正方形，面积为4．
∵x2+y2≤1的区域是圆的面积的，其面积S=，
∴在区间[0，2]上任取两个实数x，y，则x2+y2≤1
的概率为．
故答案为．
　
4．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为　　．
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．
【解答】解：由已知可得甲的平均成绩为=92，方差为
[（92﹣88）2+（92﹣92）2+（96﹣92）2]=；
乙的平均成绩为=92，方差为
[（92﹣90）2+（92﹣91）2+（95﹣92）2]=，
所以方差较小的那组同学成绩的方差为．
故答案为：
　
5．如图，该程序运行后输出的结果为　45　．
【考点】循环结构．
【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
【解答】解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：
S=0
A=1
S=3
A=2
S=6
A=3
S=10
A=4
S=15
A=5
S=21
A=6
S=28
A=7
S=36
A=8
S=45
A=9
当S=45不满足循环条件，跳出．
故答案为：45．
　
6．点P（x，y）
在不等式组，的平面区域内，则z=2x+y
的最大值为　6　．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可．
【解答】解：P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，如图：
所以z=2x+y的经过A即的交点（2，2）时取得最大值：2×2+2=6．
故答案为：6．
　
7．已知ax2+x+b＞0的解集为（1，2），则a+b=　﹣1　．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】由二次不等式的解集形式，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a，b，求出a+b的值．
【解答】解：∵ax2+x+b＞0的解集为（1，2），
∴a＜0，1，2是ax2+x+b=0的两根
∴2+1=，2×1=
解得
a=﹣，b=﹣
∴a+b=﹣=﹣1
故答案为：﹣1．
　
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：设双曲线方程为：，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，
可得C（c，2c），
代入双曲线方程：，
即．
可得，
解得e2=3+2，
∴e=．
故答案为：．
　
9．函数f（x）=x+ex
的图象在点O
（0，1）处的切线方程是　y=2x+1　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，运用斜截式方程，即可得到所求切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x+ex
的导数为f′（x）=1+ex，
函数f（x）=x+ex
的图象在点O
（0，1）处的切线斜率为1+e0=2，
即有函数f（x）=x+ex
的图象在点O
（0，1）处的切线方程为y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
　
10．观察以下不等式：
①1+＜；
②1++＜；
③1+++＜，
则第六个不等式是　1++++…+＜　．
【考点】归纳推理．
【分析】分析等式两边项数及分子、分母的变化规律，可得答案．
【解答】解：由①1+＜；
②1++＜；
③1+++＜，
则第六个不等式是1++++…+＜，
故答案为1++++…+＜．
　
11．设p：函数在区间[1，2]上是单调增函数，设q：方程（2a2﹣3a﹣2）x2+y2=1表示双曲线，“p
且q”为真命题，则实数a
的取值范围为　　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】若“p
且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得满足条件的实数a
的取值范围．
【解答】解：若命题p：函数在区间[1，2]上是单调增函数为真命题，
则f′（x）=x2﹣2ax+2≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤在区间[1，2]上恒成立，
由y=在区间[1，]上为减函数，在[，2]上为增函数，
故当x=时，y取最小值，
故a≤．
若方程（2a2﹣3a﹣2）x2+y2=1表示双曲线，
则2a2﹣3a﹣2＜0，
解得：﹣＜a＜2，
若“p
且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，
故a∈，
故答案为：．
　
12．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为　7　．
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．
【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，
∴x+y=x+=x﹣1++1
=x﹣1++3≥2+3=7
当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，
故答案为：7．
　
13．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P
在椭圆上运动，
的最大值为m，
的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为　[，1）　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题椭圆定义利用配方法求得的最大值m，再由平面向量的坐标运算求得 的最小值n，由m≥2n，结合隐含条件求得椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF2|=2a﹣|PF1|（a﹣c≤|PF1|≤a+c），
∴|PF1| |PF2|=|PF1|（2a﹣|PF1|）=﹣|PF1|2+2a|PF1|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2
∵a﹣c≤|PF1|≤a+c
∴|PF1| |PF2|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2∈[b2，a2]，
∴的最大值m=a2；
设P（x，y），
则=（﹣c﹣x，﹣y） （c﹣x，﹣y）
=x2+y2﹣c2=x2+﹣c2=，
∵x∈[﹣a，a]，∴x2∈[0，a2]，
∴ 的最小值为n=b2﹣c2，
由m≥2n，得a2≥2（b2﹣c2）=2（a2﹣2c2）=2a2﹣4c2，
∴a2≤4c2，解得．
故答案为：．
　
14．f（x）=ax3﹣x2+x+2，， x1∈（0，1]， x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a
的取值范围是　[﹣2，+∞）　．
【考点】全称命题．
【分析】求出g（x）的最大值，问题转化为ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，
故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，
故g（x）在（0，1]递增，
g（x）max=g（1）=0，
若 x1∈（0，1]， x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），
只需f（x）min≥g（x）max即可；
故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，
即a≥在（0，1]恒成立，
令h（x）=，x∈（0，1]，
h′（x）=＞0，
h（x）在（0，1]递增，
故h（x）max=h（1）=﹣2，
故a≥﹣2，
故答案为：[﹣2，+∞）．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2
分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为
（1）求椭圆C
的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C
上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．
【解答】解：（1）根据题意：，解得，
∴b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，
设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，
解得：．
　
16．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，该5
人中成绩在[40，50）的有几人；
（3）在（2）中抽取的5人中，随机抽取2
人，求分数在[40，50）和[50，60）各1
人的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．
（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．
（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1
人的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，
所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：
1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，
∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人．…5分
（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，
分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，
抽取的5人中分数在[40，50）的人有：5×=2人．…9分
（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5
人，
抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，
5人中随机抽取2
人共有n==10种可能，
分别在不同区间上有m==6种可能．
所以分数在[40，50）和[50，60）各1
人的概率．…14分．
　
17．函数f（x）=ax3+bx2﹣3x
在点x=1
处取得极大值为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=0，求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）求导
f'（x）=3ax2+2bx﹣3，
由题意得，解得：，
所以f（x）=﹣7x3+12x2﹣3x；
（2）f'（x）=﹣21x2+24x﹣3=﹣3（x﹣1）（7x﹣1），
列表如下：
x
0
（0，）
（，1）
1
（1，2）
2
f'（x）
﹣
0
+
0
+
f（x）
0
减
极小值
增
极大值
减
﹣14
因为f（0）=0，，f（1）=2，f（2）=﹣14，
所以当x∈[0，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣14．
　
18．如图，一个圆心角为直角的扇形AOB
花草房，半径为1，点P
是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP
内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ
将扇形AOP
分成左右两部分，在PQ
左侧部分三角形POQ
为观赏区，在PQ
右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a
为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）
（1）求f（θ）关于θ
的函数关系式；
（2）求当θ
为何值时，总造价最小，并求出最小值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；扇形面积公式．
【分析】（1）分别求出种花区的造价，种草区的造价，即可得到f（θ）关于θ
的函数关系式，
（2）先求导，再根据导数和函数的最值得关系即可求出答案．
【解答】解：（1）种花区的造价为，种草区的造价为，
故总造价f（θ）=（﹣θ）+（﹣sinθcosθ）2α=（﹣﹣sinθcosθ）α，0＜θ＜（2）=令f'（θ）=0，得到θ
f'（θ）
_
0
+
f（θ）
递减
极小值
递增
故当时，总造价最小，且总造价最小为
　
19．如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2
分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1
任意作一条直线l
与椭圆交于A，B
两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线l
的斜率k=1
时，求三角形ABF2
的面积；
（3）当直线l
绕F1
旋转变化时，求三角形ABF2
的面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积；
（3）设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：
=2，e==，解得：a=2，c=1，
b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）直线l的方程为y=x+1，
则，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，
则y1+y2=，y1 y2=﹣，
丨y1﹣y2丨==，
∴三角形ABF2
的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=；
三角形ABF2
的面积；
（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my﹣1，
，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，
由韦达定理可知：y1+y2=，y1 y2=﹣，
丨y1﹣y2丨==，
设t=t≥1，则m2=t2﹣1，
丨y1﹣y2丨===，
f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函数f（t）单调递增，
则当t=1时，丨y1﹣y2丨有最大值3，
故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3，
综合可知：△ABF2
的面积的最大值．
　
20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x﹣1）
（1）当k=e
时，求函数的极值；
（2）当k＞0
时，若对任意两个不等的实数x1，x2∈[1，2]，均有，求实数k
的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得函数在[1，e]上的最小值为，若存在求出k
的值，若不存在，说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）不妨设x1＞x2，问题转化为，从而求出k的最小值，得到k的范围即可；
（3）求出函数h（x）的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而判断结论即可．
【解答】解：（1）注意到函数f（x）
的定义域为，
当k=e
时，，若0＜x＜e，则h'（x）＜0；
若x＞e，则h'（x）＞0，所以h（x）
是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，
故h（x）极小值=h（e）=2﹣e，故函数h（x）极小值为2﹣e，无极大值；…3分
（2）在[1，2]上是增函数，当k＞0
时，
在[1，2]上是增函数，
不妨设x1＞x2，则，
…5分
设在[1，2]上是增函数
转化为，
在[1，2]上恒成立，k≤（x）min=1，故实数k
的取值范围为（0，1]…8分
（3），当k≤0
时，h'（x）＞0
对x＞0
恒成立，
所以h（x）
是（0，+∞）
上的增函数，h（x）
是[1，e]上的增函数，
h（x）min=h（1）=0，不合题意，…9分
当k＞0
时，若0＜x＜k，h'（x）＜0；若x＞k，h'（x）＞0；
所以h（x）
是（0，k）
上的减函数，是（k，+∞）
上的增函数，…10分
（ⅰ）当k≥e
时，h（x）
是[1，e]上的减函数，，
令，解得，不满足k≥e，舍去．
…11分
（ⅱ）当1＜k＜e，h（x）
是（1，k）
上的减函数，是（k，e）
上的增函数，
h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1
…12分
令，当0＜x＜1
时，μ'（x）＞0；
当x＞1
时，μ'（x）＜0．所以μ（x）
是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）
上的减函数，
故μ（x）≤μ（1）=0
当且仅当x=1
时等号成立，h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≤0，
故最小值不是，不合题意．…14分
（ⅲ）当0＜k≤1
时，h（x）
是[1，e]上的增函数，h（x）min=h（1）=0，不合题意，…15分
综上，不存在实数k，使得函数h（x）=f（x）﹣g（x）
在[1，e]上的最小值为…16分．
　
2017年2月23日