1.1 正数和负数（学生用）

第一讲
有理数
1.1
正数和负数
负数的产生一方面源于生活中一些量的表示的需要，另一方面源于数的运算的需要．
我们先来看一些量：中国13岁男童
( http: / / www.21cnjy.com )的标准身高为160cm，张华比标准身高高5cm，周波比标准身高矮5cm；赵刚同学的家在学校正南方向2km处，孙红同学的家在学校正北方向3km处；王伟同学做正步走的训练，先向东走5步，后向西走7步．以上几组量有一个共同的特征，每组量中都有一个参考点，如“中国13岁男童的标准身高”、“学校所在位置”、“王伟同学运动前的位置”等，相对于这个参考点，有两个意义相反的量，如比标准身高“高5cm”和“矮5cm”，在学校所在位置的“正南方向2km”和“正北方向3km”，王伟同学“向东走5步”和“向西走7步”．为了精确表示这些量，我们约定用正数表示其中一类量，那么，另一类与它们意义相反的量就用负数表示．如若用“+5cm”表示比标准身高高5cm，那么比标准身高矮5cm就记作“-5cm”了；同样的，若赵刚同学的家在学校“+2km”处，那么孙红同学的家在学校“-3km”处；若王伟先走了“+5步”，那么后走了“-7步”．
减法是加法的逆运算，但起，减法运算在正数中
( http: / / www.21cnjy.com )没有加法运算自由，比如，我们说两个数的和为10，其中一个加数为3，那么另一个加数就是“10-3=7”，然而，如果已知两个数的和是3，其中一个加数是10，那么另一个加数是多少呢？如果没有负数，这个问题就没有答案了．
有理数是在度量中产生的.
我们在度量时往往先约定一个标准量，如1m，1kg，1小时，1度等等，然后度量具体的对象，看它是这个标准量的多少倍，比如，一天刚好有24个小时．但是，有些量并不是标准量的整数倍，比如，一节课的时间介于0小时和1小时之间，这时，我们往往将一个标准量进行等分，如1m等分成l0dm，1kg等分成1000g，1小时等分成60分钟，1度等分成60分等等．我们再来度量一节课的时间，发现一节课有45个1分钟，即小时.
一般的，如果我们把一个标准量等分成n份，其中一份就是标准量的，如果被度量的对象有m个等分量，那么我们说这个对象的大小就是标准量的倍．当我们把看作一个数，就产生了有理数，即有理数为两个整数的比．
【拓展阅读】
阿拉伯的教科书把负数介绍到欧洲．但16和1
( http: / / www.21cnjy.com )7两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数，他们把负数归为荒唐的数．虽然J．卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是一种不可能的回答．甚至，B帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？”
【寻找支撑点】
正数、负数在实践中的应用非常广泛．我们往往把一些量中的某一个量定为标准量，记作0，然后分别用正数、负教表示与标准量不等的量．
用正负数表示一些量，可以突出研究对象的特性．有时也为计算提供方便．
例1七年级3班的学
( http: / / www.21cnjy.com )生体育课上，进行仰卧起坐测试，做30个及格．第一组8名学生的成绩（做仰卧起坐的个数）分别为：25，27，30，28，31，35，29，40.若把及格成绩记作0，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数．请用正负数的记法表示这八名学生的成绩．
分析将这8个数与30作比较，计算它们的差，比30大多少就记作正多少，比30小多少就记作负多少，等于30的记作0．
解
用正负数的记法表示这8名学生的成绩分别为：-5，-3，0，-2，1，5，-1，10．
评析
用正负数表示成绩，及格不及格一目了.
例2水库的警戒水位为50m，低
( http: / / www.21cnjy.com )于警戒水位1m的水位记为-1m，去年12个月的水位记录分别为（单位：m）：-5，-4．-0.5，-1，0，+3，+0.5，+1，+3，+0.5，-1，-2.5．
(1)去年12个月的实际水位是多少米？
(2)求去年12个月的平均水位，
分析相对于警戒水位，实际水
( http: / / www.21cnjy.com )位有三种可能，低于、高于和等于警戒水位．其中低于和高于是相反意义的．既然低于警戒水位1m的水位记作-lm，那么高于警戒水位的就记为正数，等于警戒水位的记为0．
去年的平均水位，既可以在第
( http: / / www.21cnjy.com )(1)问的基础上，将实际水位求平均，也可以分别算出低于警戒水位一共低多少米，高于警戒水位一共高多少米，再看12个月一共是低于或高于多少米．
解(1)去年12个月的实际水位是（单位：m）：45，46，49.5，49，50，53，50.5，
51，53，50.5，49，47.5．
(2)低于警戒水位的几个月的水位累计
( http: / / www.21cnjy.com )比警戒水位低14m，高于警戒水位的几个月的水位累计比警戒水位高8m，所以，全年累计比警戒水位低6m，平均每月低0.
5m，则去年12个月的平均水位为49.
5m.
【拓展阅读】
请阅读一小段约翰·斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长
（图中“？”处的数值）应为
_________________.
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有理数的分类方法有两种，按数的正负性分类，按有理数的定义分类．
一方面，小学学习的整数和分数，除0以外的数，组成正有理数．每一个正有理数都有一个有理数-与之对应，那么所有这样的-组成负有理数，由此，有理数分为正有理数、零及负有理数三类.
另一方面，有理数可
( http: / / www.21cnjy.com )以分为整数和分数两类，其中，整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数．由此，有理数可以分为五类：正整数、0、负整数、正分数和负分数．
有理数的每一个类的数放在一起．组成数的集合，如所有的负数组成负数集合，所有的正整数组成正整数集合等等．
我们要会判断一个数属于哪类数的集合．
例3把下列各数填在相应的集合内．
-12，0.25，-6.4，，，0，3.14，3，-0.333，100
正有理数集合…
分数集合
…
负有理数集合
…
整数集合
…
分析
0属于整数集合，它介于正数与负数之间，既不是正数也不是负数；有限小数和无限循环小数皆可以化为分数，属于分数集合；是圆的周长与直径的比值，其结果是一个无限不循环小数，不能化成分数，因此也属于有理数.
解
正有理数集合0.25，，
3.14，3，100，…
分数集合0.25，-6.4，，3.14，3，-0.333，
…
负有理数集合-12，-6.4，，
-0.333，
…
整数集合-12，0，100
…
例4下列说法中，错误的有（
）
①-2要是负分数；②1.5是分数；③非负有理数包括0；④0不是整数．
A．1个
B．2个
C．3个
D.
4个
分析
有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此1.5是分数；0和正数统称非负数，O和负数统称非正数；整数包括正整数、O和负整数.
解
A
【追问延伸点】
我们把一个整数平
( http: / / www.21cnjy.com )方的结果称为完全平方数．例如，0,1,4,9,16,25,36,49，64,
81,100
,121,144
,169
,196,
225,
256,
289,
324,361,
400,…．
完全平方数有很多有趣的特性．例
( http: / / www.21cnjy.com )如，其个位数字只能是O，1，4，5，6，9；又如，如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.
例5证明：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+l．
分析
我们可以将整数按除以3的余数不同分为三类，将每一类平方即可证明．
解将整数分为3m
-1，3m及3m+l三类．则对应的平方数分别为=9-6m+1=3（3-2m）+1=3k+l，
=9=3k,=9+6m+1=3(3+2m)+1=3k+l，结论成立．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，反之，分数可以化为有限小数或无限循环小数，事实上，我们在实行分数所表示的除法时，有些是可以除尽的，比如=1÷5=0.2．有些不能除尽，比如=1÷3=0.333…，我们可以预见，3是无限不循环下去的．是不是凡是除不尽的分数都是循环的呢？是的，以为例，因除数为l3，所以每一步的余数必须小于13，在不断做除法的过程中，余数只能是O，1，2，…，12中的某一个数．那么，我们最多做14步，必然会重复出现相同的余数，当同一个余数再次出现时，其后面的运算将是一致的，做12÷13，第一步上0，变为120÷13，第二步上9，余3，变为30÷13，再上2，余4，变为40÷13，再上3．余1，变为10÷13，再上0，变为100÷13，再上7，余9，变为90÷13，再上6，余12，变为120÷13，回到第二步．因此，除不尽的分数都可以化为循环小数．
例6比较0.与1的大小．
分析
可以利用=0.作为连接0.与1的桥梁.
解
方法一，0.
=0.×3=×3=1，即0.与1相等．
方法二，设0.=x，lOx
=9.，两式相减得，9x
=9，
x=l．
【拓展阅读】有一种巧克力糖，它的制造商
( http: / / www.21cnjy.com )为了促销，在包装每块巧克力糖时放入1张赠券，凑齐10张赠券，可以换1块这种包装的巧克力糖．1张赠券的实际价值是多少呢？
一方面，l张赠券相当于0.
( http: / / www.21cnjy.com )1块这种巧克力糖，0.1块巧克力糖中的赠券又相当于0.
Ol块这种巧克力糖，依此类推,1张赠券相当于0.111块巧克力糖．即0.1块巧克力糖.
另一方面，如果我们凑齐了9张赠券，就可以换到1块巧克力糖，方法是先借1块这种包装的巧克力糖，拿出巧克力糖，把其中赠券和已有的9张赠券一起来换巧克力糖．由此可见，1张赠券等于块巧克力糖.
以上事例实际上证明了=0.．
分级训练题
A级
1．下列各数-3，，3.2,0,3.14,，，-1.4中，正数有________________，负数有____________________．
2．如果气温上升1度记作气温变化+1度，则气温下降5度记作气温变化____度．
3．如果向东走60m表示走了+60m，那么走了-80m表示____．
4．-次考试，85分及以上为优秀
( http: / / www.21cnjy.com )．把85分定为标准分，记作O分，用正数表示高于标准分．某小组4名学生的成绩分别记为：+8分，0分，-2分，+3分，这4名学生的实际成绩分别为____，____，____，____．
5．下列各组数中，不是互为相反意义的量的是(
)．
A．向东走5m和向西走2m
B．收入200元和支出20元
C．上升7m和下降5m
D．长大1岁和减少2kg
6．既是分数又是正数的是(
)．
A.
+2
B．-4C．0
D.2.3
7．在0，-1,30，-20，-0.1，-2，100中，负整数的个数是(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．零不是(
)．
A.有理数
B．自然数
C．正数
D．整数
9．对-3.14，下面说法正确的是(
)．
A.是负数，不是分数
B．不是分数，是有理数
C．是负数，也是分数
D.是小数，不是有理数
10.下列说法正确的是(
)．
A．正数、0、负数统称为有理数B分数和整数统称为有理数
C．正有理数、负有理数统称为有理数
D.
以上都不对
11．在西安有个“中国大地原点”，比大地原点高的地方的高度记为正，如果某
地依据这种记法的高度是-5m，那么表示(
)．
A．该地高5m
B.
该地比大地原点的高度低5m
C.
该地比海平面高5m
D.
该地比海平面低5m
12．向东走5m，再向东走5m，结果是(
)．
A．向东走了5m
B.
向西走了5mC．回到原地
D.向西走了l0m
13．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动土10%．
(1)±10%的含义是什么？
(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
(3)如果以标准价为标准，超过标准价记“十”，低于标准价记“一”，该商品价格
的浮动范围又可以怎样表示？
14.7名学生体重分别为：40kg，38kg，37kg，45kg，40kg，34kg，39kg.
(1)求这7名学生体重的平均值；
(2)以平均体重为标准用正负数表示每个学生的体重．
15．把下列各数分别填入相应的大括号内：
-7，3.5，-3.1415
，，0，，0.03，-3，10，-0.，-
自然数集合{
．．．}；
整数集合{
．．．}；
正分数集合{
．．．}；
非正数集合{
．．．}；
有理数集合{
．．．}；
16.观察数表：
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根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是_______
17．某商店一周的收入、支出情况如下表：
星期
一
二
三
四
五
六
日
支出（万元）
1.8
0.8
2.5
收入（万元）
2
1.5
1
2
运用你学的知识，给商店简单地记一笔账．
18．一位股民上周五买入某只股票200股，每股132元．下表为本周每天收盘时的涨跌情况，其中每股上涨1元记作十1（单位：元）．
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+3
-4
+5
-7
十6
(1)本周内该股票收盘价最高是多少元？
(2)若以周五收盘价卖出，收益情况如何？
(3)周几收盘时卖出收益最大？最大收益是多少？
C
级
19.下面的数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
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(1)表中第8行的最后一个数是____，它是自然数____的平方，第8行共有____个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是____，最后一个数是____，第n行共有____个数；
(3)求第n行各数之和____．
20．证明：奇数的平方是8n
+1型，偶数的平方为8n或8n
+4型．
21．有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第n
个数记为，若=
-，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数．
(1)求，的值。
(2)试求的值并说明理由。
(3)试探究的值并说明理由．