1.2 有理数 学案（学生用）
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文档简介
1.2
有理数
【拓展阅读】
我们可以直观地感受任意两个有理数之间都有
( http: / / www.21cnjy.com )无数个有理数，比如有两个有理数挨得很近，她们的平均值显然也是一个有理数，这个平均值比两个数的任何一个都更靠近另一个数，我们可以再取挨得更近的两个数的平均值，以此类推，以至无穷，因此任意两个有理数之间都有无数个点对应着有理数.
在数轴上看，任意两个对应有理数的点之间都有无数个点对应着有理数.
那么，是不是数轴上的点都是对应有理数呢？
我们来看看数0.1010010001…，这
( http: / / www.21cnjy.com )个数接下去的规律是显然的，两个相邻的1之间依次多一个0.由于这个小数既不是有限的，也不是循环的，因此它不能化为分数，即它不是有理数.
但是我们知道它介于0.1和0.2之间，更小
( http: / / www.21cnjy.com )的区域，它介于0.101与1.102之间，还有更小的区域，区域的宽度依次为0.1，0.001，0.000001…，如此下去，我们可以再有理数的空隙中找到这个数.
因此，数轴上有很多点没有对应有理数，有理数在数轴上的分布既是稠密的，又是空隙的.
“糖水加糖变甜了”可以这一生活常识为背景提炼出比较数的大小的一些基本结论.
糖水的浓度相当于一个真分数，分子为含糖的量，分母为糖和水的和.“加糖”的数学描述——分子、分母同时加一个正数.
这就得到：若，则．
将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡.
这就得到：若，，则有．
指向关键点
数轴是用来标记数的直线，所
( http: / / www.21cnjy.com )有的有理数都可以在数轴上找到一个点与之对应.一条直线规定正方向、原点、单位长度就成了数轴.数轴是研究数的工具，是数形结合的载体.
在数轴上，一个数的绝对值是指这个数所对应的点到原点的距离，0的绝对值是0.
数的相反数用表示.符号“-”有三层含义：①减号；②负号；③相反数的符号.比如，“3-1”既可以读作“3减去1”，又可以读作“3与-1的和”，还可以读作“3与1的相反数的和”.
数的大小是数学中的一个约定.在数轴上，若向右为正，那么，右边的点对应的数大于左边的点对应的数.
寻找支撑点
画数轴时，直线水平呈现时，正方向一般是
( http: / / www.21cnjy.com )向右，直线铅锤时，正方向一般是向上.直线是无限伸展的，原点可以再任何位置选取，单位长度可以选择任意大小.原点和单位长度的选取应根据所要标记的数的实际状况，选择适当的位置和长度，同一条数轴，单位长度必须统一.
在数轴上，原点对应数0，原点右边的
( http: / / www.21cnjy.com )点对应正数，原点左边的点对应负数，离原点越来越远的点对应的数的绝对值越大.互为相反数的数对应的点是关于原点对称的.
例1数轴上原点表示数_______，若点A在原点的右边，则点A表示的数是_______，若点B在原点左边2个单位，则点B表示的数是_______.
解：0；正数；-2.
例2
在下图所示的数轴上：
（1）分别指出表示-2，3，-4的相反数的点；
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（2）A，H，D，O各表示什么数的相反数.
分析对于（1），先求出各数的相反数，再找相应
( http: / / www.21cnjy.com )的点，或者先找到各数对应的点，在数轴上找到各点关于原点对称的点，即到原点的距离相等方向相反的点；对于（2）先读出各点对应的数，再求其相反数，或者先找到各点的对称点再读出对应的数.
解：（1）E，D，A；（2）-4，1，3，0.
正数与0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.由此，一个数的绝对值非负.即．
例3
（1）当取何值时，有最小值，这个最小值为多少？
（2）当取何值时，3-有最大值，这个最大值为多少？
分析对于（2），因为，被减数一定，减数越小，差越大.
解：（1）因为，，所以最小值为0，此时；
（2）当时，3-有最大值等于3.
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个负数比较大小，先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小.
两个正数的大小比较有以下几种方法：①作差法，若，则，若，则；②作商法，若，，若，则.
两个正分数的大小比较有以下几种方法：①化为小数，再比较；②将分母化为相同，分子大的较大；③将分子化为相同，分母大的较小.
例4
比较当取何下列各组数的大小.
（1）和-0.272；（2）和.
分析先比较绝对值，绝对值大的反而小.对于（1），可以把分数化为小数；对于（2）化为同分子比较分母，化为同分母比较分子或化为小数都可以.
解：（1）因为，，所以，，所以，；
（2）因为，，，所以，，所以，.
追问延伸点
在数轴上，若点A对应的数为，若点B对应的数为，则我们可以证明AB=.利用这个结论，我们解决求一些式子的最值等问题.
例5已知，其中，，，求的最小值.
分析一方面，我们可以对的取值进行分类，去绝对值符号，再根据的取值求的最小值.另一个方面，我们可以借用数轴，把数对应的点看作一个动点，则实际上是三段线段长度之和，问题转化为求线段长度之和的最小值.
解：如图，数分别对应A，B，C三点.因为，所以，点B在点A,C两点之间，数对应点P.则点P的位置分以下几类：①在点A的左侧；②在点A处；③在AB之间；④在点B处；⑤在BC之间；⑥在点C处；⑦在点C的右侧.,其中第④种情况下，，值最小.
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例6如图，数轴上点A，B,，C,D对应的数都是整数，单位长度为1，若A点对应数，C点对应数C，且，求数轴原点的位置.
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分析通过观察，知道AC=4，找到之间的数量关系，结合它们之间已知的数量关系，解出的值.
解：由图知，AC=，所以，因为，所以，原点为B点.
分级训练题
A级
1．在数轴上，表示-4的数在原点的____侧，它到原点的距离是_______个单位长度．
2．把表示3的点沿数轴负方向移动5个单位后对应的数为_____．
3．在数轴上，点A，B分别表示-5和2，线段AB的长度是_______．
4．化简：-（-12）=_____；-（+0.7）=_____；-[-(-3)]=______．
5．绝对值等于2的数是_____．
6．绝对值等于其相反数的数一定是（）．
A．负数
B．正数
C．负数或零
D．正数或零
7．如果，则=_____，=______．
8．若，且，用“<”把连接起来.
9.比较每组数的大小.
（1）和；
（2）和.
10．正式足球比赛对所用足
( http: / / www.21cnjy.com )球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果是：-28，+25，-10，+15，-35，+20．请用绝对值的知识来说明哪个足球的质量好一些．
B级
11．下列说法正确的是（）
A．一个有理数的绝对值一定大于它本身
B．只有正数的绝对值等于它本身
C．负数的绝对值是它的相反数
D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
12．下列结论正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
13．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为-2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（）.
A．向左移动5个单位
B．向右移动5个单位
C．向右移动4个单位
D．向左移动1个单位或向右移动5个单位
14．若.
（1）求的值；
（2）求的值.
15．计算的值．
16．若，化简.
17．做一做，并判断：
（1）点A在原点左边，离开原点4个单位，如果把A沿着数轴向右移动8个单位，到达B点，那么B点表示的是什么样的数？
（2）2和它的相反数之间的距离是多少个单位？
18．如图，是一个正方体
( http: / / www.21cnjy.com )纸盒的展开图，请把-10，7，10，-2，-7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．
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C级
19．若为有理数，在与之间有2014个整数，求的取值范围.
20．数轴上点A对应的数为-1，点B对
( http: / / www.21cnjy.com )应的数为-3，一只小虫从A点出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度运动到C点后，立即沿相反方向运动到B点，共用去4秒钟，则小虫爬行的路程是多少个单位长度？C点对应的数是多少？
21．下表是10行、10列的网格，将一些有理数按照一定规律填满100个网格.仔细观察表格中的数据，回答下列问题.
（1）直接写出表中字母的值；
（2）已知有理数的位置分布如表，求式子的值；
（3）从100个网格中任意选取4个数，分成2组，每组的两个数中任一一个数用表示，另一个数用表示，代人式子中计算，求出结果，两组都代人，得到两个值，求这两个值的和的最大值.
1
3
5
7
9
有理数
【拓展阅读】
我们可以直观地感受任意两个有理数之间都有
( http: / / www.21cnjy.com )无数个有理数，比如有两个有理数挨得很近，她们的平均值显然也是一个有理数，这个平均值比两个数的任何一个都更靠近另一个数，我们可以再取挨得更近的两个数的平均值，以此类推，以至无穷，因此任意两个有理数之间都有无数个点对应着有理数.
在数轴上看，任意两个对应有理数的点之间都有无数个点对应着有理数.
那么，是不是数轴上的点都是对应有理数呢？
我们来看看数0.1010010001…，这
( http: / / www.21cnjy.com )个数接下去的规律是显然的，两个相邻的1之间依次多一个0.由于这个小数既不是有限的，也不是循环的，因此它不能化为分数，即它不是有理数.
但是我们知道它介于0.1和0.2之间，更小
( http: / / www.21cnjy.com )的区域，它介于0.101与1.102之间，还有更小的区域，区域的宽度依次为0.1，0.001，0.000001…，如此下去，我们可以再有理数的空隙中找到这个数.
因此，数轴上有很多点没有对应有理数，有理数在数轴上的分布既是稠密的，又是空隙的.
“糖水加糖变甜了”可以这一生活常识为背景提炼出比较数的大小的一些基本结论.
糖水的浓度相当于一个真分数，分子为含糖的量，分母为糖和水的和.“加糖”的数学描述——分子、分母同时加一个正数.
这就得到：若，则．
将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡.
这就得到：若，，则有．
指向关键点
数轴是用来标记数的直线，所
( http: / / www.21cnjy.com )有的有理数都可以在数轴上找到一个点与之对应.一条直线规定正方向、原点、单位长度就成了数轴.数轴是研究数的工具，是数形结合的载体.
在数轴上，一个数的绝对值是指这个数所对应的点到原点的距离，0的绝对值是0.
数的相反数用表示.符号“-”有三层含义：①减号；②负号；③相反数的符号.比如，“3-1”既可以读作“3减去1”，又可以读作“3与-1的和”，还可以读作“3与1的相反数的和”.
数的大小是数学中的一个约定.在数轴上，若向右为正，那么，右边的点对应的数大于左边的点对应的数.
寻找支撑点
画数轴时，直线水平呈现时，正方向一般是
( http: / / www.21cnjy.com )向右，直线铅锤时，正方向一般是向上.直线是无限伸展的，原点可以再任何位置选取，单位长度可以选择任意大小.原点和单位长度的选取应根据所要标记的数的实际状况，选择适当的位置和长度，同一条数轴，单位长度必须统一.
在数轴上，原点对应数0，原点右边的
( http: / / www.21cnjy.com )点对应正数，原点左边的点对应负数，离原点越来越远的点对应的数的绝对值越大.互为相反数的数对应的点是关于原点对称的.
例1数轴上原点表示数_______，若点A在原点的右边，则点A表示的数是_______，若点B在原点左边2个单位，则点B表示的数是_______.
解：0；正数；-2.
例2
在下图所示的数轴上：
（1）分别指出表示-2，3，-4的相反数的点；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）A，H，D，O各表示什么数的相反数.
分析对于（1），先求出各数的相反数，再找相应
( http: / / www.21cnjy.com )的点，或者先找到各数对应的点，在数轴上找到各点关于原点对称的点，即到原点的距离相等方向相反的点；对于（2）先读出各点对应的数，再求其相反数，或者先找到各点的对称点再读出对应的数.
解：（1）E，D，A；（2）-4，1，3，0.
正数与0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.由此，一个数的绝对值非负.即．
例3
（1）当取何值时，有最小值，这个最小值为多少？
（2）当取何值时，3-有最大值，这个最大值为多少？
分析对于（2），因为，被减数一定，减数越小，差越大.
解：（1）因为，，所以最小值为0，此时；
（2）当时，3-有最大值等于3.
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个负数比较大小，先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小.
两个正数的大小比较有以下几种方法：①作差法，若，则，若，则；②作商法，若，，若，则.
两个正分数的大小比较有以下几种方法：①化为小数，再比较；②将分母化为相同，分子大的较大；③将分子化为相同，分母大的较小.
例4
比较当取何下列各组数的大小.
（1）和-0.272；（2）和.
分析先比较绝对值，绝对值大的反而小.对于（1），可以把分数化为小数；对于（2）化为同分子比较分母，化为同分母比较分子或化为小数都可以.
解：（1）因为，，所以，，所以，；
（2）因为，，，所以，，所以，.
追问延伸点
在数轴上，若点A对应的数为，若点B对应的数为，则我们可以证明AB=.利用这个结论，我们解决求一些式子的最值等问题.
例5已知，其中，，，求的最小值.
分析一方面，我们可以对的取值进行分类，去绝对值符号，再根据的取值求的最小值.另一个方面，我们可以借用数轴，把数对应的点看作一个动点，则实际上是三段线段长度之和，问题转化为求线段长度之和的最小值.
解：如图，数分别对应A，B，C三点.因为，所以，点B在点A,C两点之间，数对应点P.则点P的位置分以下几类：①在点A的左侧；②在点A处；③在AB之间；④在点B处；⑤在BC之间；⑥在点C处；⑦在点C的右侧.,其中第④种情况下，，值最小.
( http: / / www.21cnjy.com / )
例6如图，数轴上点A，B,，C,D对应的数都是整数，单位长度为1，若A点对应数，C点对应数C，且，求数轴原点的位置.
( http: / / www.21cnjy.com / )
分析通过观察，知道AC=4，找到之间的数量关系，结合它们之间已知的数量关系，解出的值.
解：由图知，AC=，所以，因为，所以，原点为B点.
分级训练题
A级
1．在数轴上，表示-4的数在原点的____侧，它到原点的距离是_______个单位长度．
2．把表示3的点沿数轴负方向移动5个单位后对应的数为_____．
3．在数轴上，点A，B分别表示-5和2，线段AB的长度是_______．
4．化简：-（-12）=_____；-（+0.7）=_____；-[-(-3)]=______．
5．绝对值等于2的数是_____．
6．绝对值等于其相反数的数一定是（）．
A．负数
B．正数
C．负数或零
D．正数或零
7．如果，则=_____，=______．
8．若，且，用“<”把连接起来.
9.比较每组数的大小.
（1）和；
（2）和.
10．正式足球比赛对所用足
( http: / / www.21cnjy.com )球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果是：-28，+25，-10，+15，-35，+20．请用绝对值的知识来说明哪个足球的质量好一些．
B级
11．下列说法正确的是（）
A．一个有理数的绝对值一定大于它本身
B．只有正数的绝对值等于它本身
C．负数的绝对值是它的相反数
D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
12．下列结论正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
13．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为-2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（）.
A．向左移动5个单位
B．向右移动5个单位
C．向右移动4个单位
D．向左移动1个单位或向右移动5个单位
14．若.
（1）求的值；
（2）求的值.
15．计算的值．
16．若，化简.
17．做一做，并判断：
（1）点A在原点左边，离开原点4个单位，如果把A沿着数轴向右移动8个单位，到达B点，那么B点表示的是什么样的数？
（2）2和它的相反数之间的距离是多少个单位？
18．如图，是一个正方体
( http: / / www.21cnjy.com )纸盒的展开图，请把-10，7，10，-2，-7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
C级
19．若为有理数，在与之间有2014个整数，求的取值范围.
20．数轴上点A对应的数为-1，点B对
( http: / / www.21cnjy.com )应的数为-3，一只小虫从A点出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度运动到C点后，立即沿相反方向运动到B点，共用去4秒钟，则小虫爬行的路程是多少个单位长度？C点对应的数是多少？
21．下表是10行、10列的网格，将一些有理数按照一定规律填满100个网格.仔细观察表格中的数据，回答下列问题.
（1）直接写出表中字母的值；
（2）已知有理数的位置分布如表，求式子的值；
（3）从100个网格中任意选取4个数，分成2组，每组的两个数中任一一个数用表示，另一个数用表示，代人式子中计算，求出结果，两组都代人，得到两个值，求这两个值的和的最大值.
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