1.4有理数的乘除法、乘方（教师用）
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1．4
有理数的乘除法、乘方
指向关键点：
跟加减法一样，乘除法也一直伴随着我们的数学学习，只是运算的对象在不断发生变化，我们现在乘除法的运算对象是有理数．
乘法是加法的简便运算，几个相同加数的和，简便成加数与加数的个数的积，除以一个数等于乘以这个数的倒数．
乘方是乘法的简便运算，几个相同因数的积，简便成以因数为底，因数的个数为指数的幂．
乘、除法、乘方最终是在做乘法运算，因此乘法运算是这三种运算的核心．
运算律可以简化运算
寻找支撑点：
有理数的乘法、除法及乘方都要注意确定好结
( http: / / www.21cnjy.com )果符号，以乘法为例，几个非零因数的积，积的符号由负因数的个数决定，有奇数个负因数，积为负；有偶数个负因数，积为正．
乘方运算中，幂的正负取决于负底数的指数的奇偶性．
例1
已知两个有理数a，b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）
A．a＞0，b＞0B．a，b异号，且正数的绝对值较大
C．a＜0，b＞0D．a，b异号，且负数的绝对值较大
分析：有有理数的积与和的符号判断因数，加数的符号．
解：因为ab＜0，所以a，b异号，又因为a＋b＜0，所以负数的绝对值更大，故选D．
例2
一个有理数与其相反数的积（）
符号必定为正B．符号必定为负C．一定不大于零D．一定不小于零
分析：分类考虑，如果这个有理数非零，则它与自己的相反数异号，积为负，如果这个有理数是零，积为零．
解：选C．
运用运算律的实质是以精简运算为目的，正确运用运算规律，调整运算顺序，乘法的运算律有交换律和结合律，乘法对加法的运算律有分配律．
在运用交换律和结合律时可以做如下几点考虑：
( http: / / www.21cnjy.com )除法运算不能直接用，转化为乘法后可以用；把容易约分的放在一起，把积为凑整的放在一起；乘方运算，看底数的特征，也可以用交换律和结合律简化运算．
分配律可以看做去括号或填括号，视具体的数采用适当的顺序，带分数乘法中，有时可以将带分数写成整数与分数的和，再运用分配律计算．
例3
计算
（1）
分析：先确定符号，对于（1）积为负，可以将8与2．5一起乘，7．2与一起乘，对于（2）积为负，可以将写成和的形式，再用分配律．
有理数乘方的结果叫做幂，实际上是在做乘法运算，意义为几个相同因数的积，相同因数为底数，因数的个数为指数．
如果底数是负数或分数，底数要括起来，反之，如果没有括号，我们就要慎重对待，弄清幂的底数到底是谁，比如，，前者的底数为2，其4次幂后取相反数，结果为－16，而后者的底数为－2，其四次幂的结果为16．又如，．
计算下列各题：
分析：第（1）、（2）两小题，直接求幂，先
( http: / / www.21cnjy.com )确定幂的符号，再将底数的绝对值自乘若干次；第（3）题是求3的2次幂的相反数与－2的4次幂的差，结果是差，因此先计算幂，再作差；第（4）题是求2的2次幂与－3的2次幂的积的相反数，实质都在作乘法，先确定符号，再算幂，最后算积．
追问延伸点
记数和运算都是人类的一种约
( http: / / www.21cnjy.com )定，就记数而言，通常为十进制，由0，1，2，3，……9十个基本字符组成，逢十进一，有些地方用到二进制、十六进制、六十进制，等等．
加、减、乘、除、乘方等运算，都是人为约定的，我们可以定义一些新的运算，而运算律能否使用某种运算则需要证明．
例5
若a，b为有理数，定义新运算
计算：
验证该运算是否满足结合律
分析：由定义可知，这种运算是求两个数积的2倍与1的和，验证结合律，即是分别计算看它们的结果是否相等．
解
2014可以在g进制中写成三位数，如果x＋y＋z=26，请确定所有可能的x，y，z和g的值．
分析：运用g进制的知识，将2014，表示成关于g的幂的形式，再借助整除的性质分析求解．
分级训练题
A级
三个数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．0个或2个
2．计算：；（2）．．
3．计算：；；．
4．一个有理数x若满足；若．
5．化简：（1）；（2）．
6．设有理数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc＞0，则a，b，c中正数的个数为．
7．（1－2）（3－4）（5－6）×……×（99－100）=．
8．计算：
9．计算；
10．计算：
B级
11．如果a＜b＜0，那么下列式子成立的是（）
A．ab＜1
B．C．D．
12．若0＜a＜1，则
A．B．C．D．
13．已知A=若a=1，A=m；若a=，A=n，则（）
A．n＋m=0
B．n≥mC．n＋m＜0
D．n≤m
14．观察下列数表：
（第14题）
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）
A．2n－1
B．2n＋1
C．D．
15．第一步：取一个自然数
第二步；算出
第三步；算出
…………
以此类推，则．
16．据报道，目前用超级计算机找到的最大质数是这个质数的末尾数字是．
17．从中任取三个不同数并相乘，则最小的乘积是．
18．计算：
C级
19．对正有理数a，b定义运算如下：．
20．求证：
21．下图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？
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参考答案
1.4
有理数的乘除法、乘方
1.D2.-,.
3.-64，16，-9.
4.±2，2.
5.-8，.
6.1个
7.1.
8.72,2，-，.
9.25,1,-4.
10.-2.5,-.
11.C12.C13.D14.A15.26.
16.1.
17.-280.
18.5,-22,-799,-13.34.
19.1.
20.略，提示：缩放法.
21.4.
有理数的乘除法、乘方
指向关键点：
跟加减法一样，乘除法也一直伴随着我们的数学学习，只是运算的对象在不断发生变化，我们现在乘除法的运算对象是有理数．
乘法是加法的简便运算，几个相同加数的和，简便成加数与加数的个数的积，除以一个数等于乘以这个数的倒数．
乘方是乘法的简便运算，几个相同因数的积，简便成以因数为底，因数的个数为指数的幂．
乘、除法、乘方最终是在做乘法运算，因此乘法运算是这三种运算的核心．
运算律可以简化运算
寻找支撑点：
有理数的乘法、除法及乘方都要注意确定好结
( http: / / www.21cnjy.com )果符号，以乘法为例，几个非零因数的积，积的符号由负因数的个数决定，有奇数个负因数，积为负；有偶数个负因数，积为正．
乘方运算中，幂的正负取决于负底数的指数的奇偶性．
例1
已知两个有理数a，b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）
A．a＞0，b＞0B．a，b异号，且正数的绝对值较大
C．a＜0，b＞0D．a，b异号，且负数的绝对值较大
分析：有有理数的积与和的符号判断因数，加数的符号．
解：因为ab＜0，所以a，b异号，又因为a＋b＜0，所以负数的绝对值更大，故选D．
例2
一个有理数与其相反数的积（）
符号必定为正B．符号必定为负C．一定不大于零D．一定不小于零
分析：分类考虑，如果这个有理数非零，则它与自己的相反数异号，积为负，如果这个有理数是零，积为零．
解：选C．
运用运算律的实质是以精简运算为目的，正确运用运算规律，调整运算顺序，乘法的运算律有交换律和结合律，乘法对加法的运算律有分配律．
在运用交换律和结合律时可以做如下几点考虑：
( http: / / www.21cnjy.com )除法运算不能直接用，转化为乘法后可以用；把容易约分的放在一起，把积为凑整的放在一起；乘方运算，看底数的特征，也可以用交换律和结合律简化运算．
分配律可以看做去括号或填括号，视具体的数采用适当的顺序，带分数乘法中，有时可以将带分数写成整数与分数的和，再运用分配律计算．
例3
计算
（1）
分析：先确定符号，对于（1）积为负，可以将8与2．5一起乘，7．2与一起乘，对于（2）积为负，可以将写成和的形式，再用分配律．
有理数乘方的结果叫做幂，实际上是在做乘法运算，意义为几个相同因数的积，相同因数为底数，因数的个数为指数．
如果底数是负数或分数，底数要括起来，反之，如果没有括号，我们就要慎重对待，弄清幂的底数到底是谁，比如，，前者的底数为2，其4次幂后取相反数，结果为－16，而后者的底数为－2，其四次幂的结果为16．又如，．
计算下列各题：
分析：第（1）、（2）两小题，直接求幂，先
( http: / / www.21cnjy.com )确定幂的符号，再将底数的绝对值自乘若干次；第（3）题是求3的2次幂的相反数与－2的4次幂的差，结果是差，因此先计算幂，再作差；第（4）题是求2的2次幂与－3的2次幂的积的相反数，实质都在作乘法，先确定符号，再算幂，最后算积．
追问延伸点
记数和运算都是人类的一种约
( http: / / www.21cnjy.com )定，就记数而言，通常为十进制，由0，1，2，3，……9十个基本字符组成，逢十进一，有些地方用到二进制、十六进制、六十进制，等等．
加、减、乘、除、乘方等运算，都是人为约定的，我们可以定义一些新的运算，而运算律能否使用某种运算则需要证明．
例5
若a，b为有理数，定义新运算
计算：
验证该运算是否满足结合律
分析：由定义可知，这种运算是求两个数积的2倍与1的和，验证结合律，即是分别计算看它们的结果是否相等．
解
2014可以在g进制中写成三位数，如果x＋y＋z=26，请确定所有可能的x，y，z和g的值．
分析：运用g进制的知识，将2014，表示成关于g的幂的形式，再借助整除的性质分析求解．
分级训练题
A级
三个数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．0个或2个
2．计算：；（2）．．
3．计算：；；．
4．一个有理数x若满足；若．
5．化简：（1）；（2）．
6．设有理数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc＞0，则a，b，c中正数的个数为．
7．（1－2）（3－4）（5－6）×……×（99－100）=．
8．计算：
9．计算；
10．计算：
B级
11．如果a＜b＜0，那么下列式子成立的是（）
A．ab＜1
B．C．D．
12．若0＜a＜1，则
A．B．C．D．
13．已知A=若a=1，A=m；若a=，A=n，则（）
A．n＋m=0
B．n≥mC．n＋m＜0
D．n≤m
14．观察下列数表：
（第14题）
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）
A．2n－1
B．2n＋1
C．D．
15．第一步：取一个自然数
第二步；算出
第三步；算出
…………
以此类推，则．
16．据报道，目前用超级计算机找到的最大质数是这个质数的末尾数字是．
17．从中任取三个不同数并相乘，则最小的乘积是．
18．计算：
C级
19．对正有理数a，b定义运算如下：．
20．求证：
21．下图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
参考答案
1.4
有理数的乘除法、乘方
1.D2.-,.
3.-64，16，-9.
4.±2，2.
5.-8，.
6.1个
7.1.
8.72,2，-，.
9.25,1,-4.
10.-2.5,-.
11.C12.C13.D14.A15.26.
16.1.
17.-280.
18.5,-22,-799,-13.34.
19.1.
20.略，提示：缩放法.
21.4.