2017年中考数学二轮专题复习讲义--第2讲数与式问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（2）数与式问题
【专题点拨】
数与式问题主要考点有用代数式表示数量关系、求代数式的值及代数式的有关概念、整式的运算法则、乘法公式、幂的运算性质和因式分解。考查题型以填空题、选择题为主，有时也会出现化简求值的解答题或与其他知识综合的探索型题。【来源：21·世纪·教育·网】
【解题策略】
分析具体知识点入手→把握各个考点关系→借助计算→综合分析运算规律→得到计算结果
【典例解析】
类型一：实数
例题1：（2016山东东营第19题）
(1)计算：()－1＋(π―3.14)0－2sin60°―＋|1－3|；
【解析】实数的运算；(1)根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．21·世纪*教育网
【解答】：(1)原式＝2016＋1－2×－2＋（3－1）
＝2016＋1－－2＋3－1
＝2016.
变式训练1：
（2016湖南常德第17题）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．
类型二： 整式
例题2：（2016湖南衡阳第19题）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．21*cnjy*com
【答案】原式=2a2+2ab，当a=﹣1，b=时，原式=1．
【解析】考点：整式的化简求值．根据平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项，化简后将a、b的值代入求值即可．
【解答】：原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab，
当a=﹣1，b=时，
原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×=2﹣1=1．
变式训练2：
（2016辽宁大连第18题）先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．
类型三： 二次根式
例题3：（2016湖南长沙第19题）计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）2016．
【答案】-1.
【解析】考点：实数的运算、二次根式.利用特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、乘方分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．【版权所有：21教育】
【解答】：原式==4×﹣2﹣2+1=2﹣2﹣2+1=﹣1．
变式训练3：（2016·四川南充）计算： +（π+1）0﹣sin45°+|﹣2|
类型四： 分式
例题4：（2016山东东营第19题）
(2)先化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
【解析】分式的化简求值. (2)根据分式的运算顺序先化简再求值即可.
【解答】(2)原式＝÷
＝ ?
＝?
＝a(a－2)
＝a2－2a.
当a＝2＋时，原式＝(2＋)2－2(2＋)＝3＋2.
变式训练4：
（2016年福建龙岩第18题）先化简再求值：,其中．
类型五： 创新性综合问题
例题5：（2016·广西桂林·8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明【来源：21cnj*y.co*m】
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p==6
∴S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【解析】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；21*cnjy*com
（2）根据公式S=r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p===10，
∴S===10；
故△ABC的面积10；
（2）∵S=r（AC+BC+AB），
∴10=r（5+6+9），
解得：r=，
故△ABC的内切圆半径r=．
变式训练5：
(2016浙江省温州市第15题)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是　 　cm．【出处：21教育名师】
【能力检测】
1. （2016新疆第16题）计算：.
2. （2016湖北宜昌第17题）先化简，再求值：4x?x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中x=．
3. （2016江苏苏州第21题）先化简，再求值：，其中x=．
4. (2016山东潍坊第5题)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+|a-b|的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
5. （2014年湖南永州3分）在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：21世纪教育网版权所有
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是( )21教育名师原创作品
A. B. C. D.
【参考答案】
变式训练1：
（2016湖南常德第17题）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．
【答案】5.
【解析】实数的运算.根据乘方的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂依次计算后合并即可．
【解答】：原式=﹣1+2+4﹣1=﹣1+3+3=5.
变式训练2：
（2016辽宁大连第18题）先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．
【答案】原式=ab+b2，当a=1，b=时，原式=+2．
【解析】考点：整式的化简求值. 先利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则进行计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．21cnjy.com
【解答】：原式=4a2+4ab+b2﹣4a2﹣3ab=ab+b2，
当a=1，b=时，原式=+2．
变式训练3：（2016·四川南充）计算： +（π+1）0﹣sin45°+|﹣2|
【解析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=×3+1﹣+2﹣=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式训练4：
（2016年福建龙岩第18题）先化简再求值：,其中．
【答案】x+2，.
【解析】考点：分式化简求值. 根据分式运算法则化简，再代入求值即可.
【解答】：原式=.
当时，原式=.
变式训练5：
(2016浙江省温州市第15题)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是　 　cm．21教育网
【答案】32+16
【解析】七巧板
【解答】：如图所示：图形1：边长分别是：16，8 ，8；
图形2：边长分别是：16，8 ，8；
图形3：边长分别是：8，4，4；
图形4：边长是：4；
图形5：边长分别是：8，4， 4；
图形6：边长分别是：4，8；
图形7：边长分别是：8，8，8；
∴凸六边形的周长=8+2×8+8+4×4=32+16（cm）；
【能力检测】
1. （2016新疆第16题）计算：.
【答案】-2.
【解析】考点：1负整数指数幂；2三角函数值；3实数的运算.根据相关概念对各数化简计算即可得最后结果.www.21-cn-jy.com
【解答】：原式=2+-1-3×=1+-3=-2.
2. （2016湖北宜昌第17题）先化简，再求值：4x?x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中x=．
【答案】原式=4x﹣1，当x=时，原式=﹣．
【解析】考点：整式的化简求值. 直接利用整式乘法运算法则计算，再去括号，进而合并同类项，把已知代入求出答案．
【解答】：原式=4x2+（2x﹣4x2﹣1+2x）=4x2+4x﹣4x2﹣1=4x﹣1，
当x=时，原式=4×﹣1=﹣．
3. （2016江苏苏州第21题）先化简，再求值：，其中x=．
【答案】，.
【解析】考点：分式化简求值. 根据运算法则化简，再代入求值.
【解答】：原式=，
当x=时，原式=.
4. (2016山东潍坊第5题)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）2·1·c·n·j·y
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A.
【解析】二次根式的性质与化简；实数与数轴．观察数轴上a，b的位置，可得a＜0，a﹣b＜0，根据绝对值以及二次根式的性质化简可得：www-2-1-cnjy-com
【解答】原式=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故答案选A．
5. （2014年湖南永州3分）在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：21·cn·jy·com
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是【 】2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】1.阅读理解型问题；2.探索规律题（数字的变化类）；3. 同底数幂的乘法.
【解答】仿照例题，设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
在①式的两边都乘以a，得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=.
故选B．