2017年中考数学二轮专题复习讲义--第4讲新定义问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（4）新定义问题
【专题点拨】
新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .21世纪教育网版权所有
【解题策略】
具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决
【典例解析】
类型一：规律题型中的新定义
例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）【出处：21教育名师】
A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y]　　D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算
【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]=x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，【版权所有：21教育】
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．
变式训练1：
（2015?山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )
A．(—2012,2) B．（一2012，一2）
C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
类型二： 运算题型中的新定义
例题2：（2016·四川宜宾）规定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：lognan=n．logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．
例如：log223=3，log25=，则log1001000=　　．
【解析】实数的运算．先根据logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．
【解答】解：log1001000===．故答案为：．
变式训练2：
(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
类型三： 探索题型中的新定义
例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD
C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【解析】考点：黄金分割的识别
【解答】：由作图方法可知DF=CF，所以CG=，且GH=CD=2CF，从而得出黄金矩形
CG=，GH=2CF ∴ ∴矩形DCGH是黄金矩形。
变式训练3：（2014?山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（　　）
A．（1，2，1，2，2）
B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）
类型四： 开放题型中的新定义
例题4：(2016山西省第19题)（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数21世纪教育网子．21教育网
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．2-1-c-n-j-y
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点， ∴MA=MC ．．．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为上一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2+2
【解析】考查了圆的证明。（1）已截取CG=AB??∴只需证明BD=DG
且MD⊥BC，所以需证明MB=MG
故证明△MBA≌△MGC即可
（2）AB=2，利用三角函数可得BE=
由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC
则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE
=BC+（DC+DE）+BE
=BC+BE+BE
=BC+2BE
然后代入计算可得答案
【解答】：(1)证明：又∵，
∴ △MBA≌△MGC．
∴MB=MG．
又∵MD⊥BC，∵BD=GD．
∴CD=CG+GD=AB+BD．
(2)、 ．
变式训练4：（2015?浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.www.21-cn-jy.com
（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.21·世纪*教育网
（2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿
∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？
（3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
类型五： 阅读材料题型中的新定义
例题5：（2016·浙江省湖州市·3分）定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：2·1·c·n·j·y
（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（　　）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
【解析】命题与定理．（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．
（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．
【解答】解：（1）∵P（a，b）在y=上，
∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx，
∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，
∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．
故选C．
变式训练5：
（2016·重庆市A卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【能力检测】
1. （2015?甘肃天水，第10题，4分）定义运算：a?b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2?（﹣2）=6，②a?b=b?a，③若a+b=0，则（a?a）+（b?b）=2ab，④若a?b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（　　）
　 A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
2. （2013浙江台州，16，5分）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如=4，=1，现对72进行如下操作：72 第1次 =8第2次 =2第3次 =1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　．
3. （2016·重庆市B卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
4. （2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移　 个单位，再向上平移　 　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
5.（2014?吉林，第26题10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　 ；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　 　．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．
【参考答案】
变式训练1：
（2015?山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )21cnjy.com
A．(—2012,2) B．（一2012，一2）
C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
【解答】：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)
∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），
第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）
故答案为A．
变式训练2：
(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．21*cnjy*com
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ；
（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（1） （﹣1，2）；（2） 0≤a≤．
【解析】考查的考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义．
【解答】（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（﹣1，2）；
（2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，如图所示，∵，当y′=16时，或，∴x=0或x=，当y′=﹣16时， 或，∴x=或x=0，∴a的取值范围是0≤a≤．故答案为：（1）（﹣1，2）；（2）0≤a≤．
变式训练3：（2014?山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（　　）
A．（1，2，1，2，2）
B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）
【解答】：A、∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；
B、∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；
C、3只有1个，∴不可以作为S1，故选项错误
D、符合定义的一种变换，故选项正确．
故选：D．
变式训练4：（2015?浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
（2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿
∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？
（3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
【解答】：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；
（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=，
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，
与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2﹣CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
变式训练5：
（2016·重庆市A卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【解析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；
（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t为“吉祥数”， ∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，
∵＞＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
【能力检测】
1. （2015?甘肃天水，第10题，4分）定义运算：a?b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2?（﹣2）=6，②a?b=b?a，③若a+b=0，则（a?a）+（b?b）=2ab，④若a?b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
　 A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
【解答】：根据题意得：2?（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a?b=a（1﹣b）=a﹣ab，b?a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
（a?a）+（b?b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；
若a?b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，
故选A
2. （2013浙江台州，16，5分）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如=4，=1，现对72进行如下操作：72 第1次 =8第2次 =2第3次 =1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　．www-2-1-cnjy-com
【解析】①首先理解的意义，它表示不超过a的最大整数，然后仿照“72”的操作，
81 第1次 =9第2次 =3第3次 =1，，所以对81只需进行 3次操作后变为1；21*cnjy*com
②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中找出最大的，需要进行逆向思维，若=1，则a可以取的最大整数为3；若=3，则a可以取的最大整数为15；若=15，则a可以取的最大整数为255，∴最大为255.
【答案】：3；255．
3. （2016·重庆市B卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．21教育名师原创作品
【考点】实数的运算．
【解析】新定义．（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；
（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，21·cn·jy·com
∵＞＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
4. （2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移　 个单位，再向上平移　 　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
【解答】：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．
故答案是：1，1，（1，1）
灵活应用：将y=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：
由y=﹣1，得﹣2=﹣1，
解得x=﹣2．
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1
实际应用：
解：当x=t时，y1=，
则由y1==，解得：t=4，
即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点（4，1）在函数y2=的图象上，
则1=，解得：a=﹣4，
∴y2=，
当y2==，解得：x=12，
即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
5.（2014?吉林，第26题10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　 ；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　 　．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．
【解答】：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
∴D（﹣2，0）．
设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：
，解得，
∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；
若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：
，解得，
∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．
（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），
令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．
∴A（﹣，0）、B（0，n），
∴D（﹣n，0）．
设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），
∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），
∴2x=﹣n﹣，
∴P的对称轴为x=﹣．
（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（﹣4，0）．
可求得直线CD的解析式为：y=x+2．
由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．
∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
设直线FQ的解析式为：y=x+b．
∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．
则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，
解得xF=0或xF=﹣2．
∵点F在直线ll：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．
若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=，∴Q1（﹣1，）；
若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=，∴Q2（﹣1，）．
∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．
（4）如答图2所示，连接OG、OH．
∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG=OM=?=2，
∴AB=2OG=4．
∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，
解得：m=﹣2或m=2，
∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．
∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；
∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．