2017年中考数学二轮专题复习讲义--第6讲新情景问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（6）新情景问题
【专题点拨】
新情境应用问题有以下特点：
（1）问题的背景材料新而不陌生，提出的问题新而不怪；（2）注重考查阅读理解能力，许多这类的试题所涉及的数学知识不多也不难，但能读、读懂题目是问题解答的关键；（3）注重考查问题的转化能力．解答这类应用性问题的难点是能否将实际问题抽象转化为数学问题，在问题转化中的关键是对题目进行认真的阅读，冷静的思考，针对性的分析. www-2-1-cnjy-com
【解题策略】
从阅读情景入手→理解情景内容和要求→针对问题进行转化→将实际问题转化为数学问题→借助数学知识解答
【典例解析】
类型一：几何型新情景问题
例题1：（2016·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．21*cnjy*com
【探究证明】
（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
【归纳猜想】
（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　15°　，　24°　；
（4）图n中，“叠弦三角形”　是　等边三角形（填“是”或“不是”）
（5）图n中，“叠弦角”的度数为　 　（用含n的式子表示）
【解析】几何变换综合题．（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；
（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；
（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；
（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵四ABCD是正方形，
由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，
∴△APD≌△AOD'（ASA）
∴AP=AO，
∵∠OAP=60°，
∴△AOP是等边三角形，
（2）如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO
∴△APE≌△AOE'（ASA）
∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，????AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB
∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．
（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，
∴∠DAP=∠D′AO，
在△AD′O和△ABO中，
，
∴△AD′O≌△ABO，
∴∠D′AO=∠BAO，
由旋转得，∠DAD′=60°，
∵∠DAB=90°，
∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，
∴∠D′AD=∠D′AB=15°，
同理可得，∠E′AO=24°，
故答案为：15°，24°．
（4）如图3，
∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形．
故答案为：是
（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣
故答案：60°﹣．
变式训练1：
（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；21世纪教育网版权所有
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
类型二： 方程型新情景问题
例题2：（2016·四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；【出处：21教育名师】
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小英家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．
，
解得：，
答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．
（2）当0≤x≤14时，y=2x；
当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，
故所求函数关系式为：y=；
（3）∵26＞14，
∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，
答：小英家5月份水费69吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．【版权所有：21教育】
变式训练2：
（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．21教育名师原创作品
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
类型三： 不等式型新情景问题
例题3：（2014?甘肃白银、临夏,第20题6分）阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．
如果有＞0，求x的解集 ．
【解答】：由题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号得：2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：3x＞3，
把x的系数化为1得：x＞1
变式训练3：
（2016·山东潍坊·3分）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）www.21-cn-jy.com
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
类型四： 函数型新情景问题
例题4：（2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
【解析】（1）构建待定系数法即可解决问题．
（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．
【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，
n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，
∴y=，
（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，
解得x=78，
∴=15，
∴15+30+（90﹣78）=57分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
变式训练4：
（2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．2-1-c-n-j-y
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
类型五：规律型新情景探究问题
例题5：（2014?广东梅州,第13题3分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　 　；点P2014的坐标是　 　．
【解答】：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（8，3），（5，0）．
变式训练5：
(2014山东省临沂市，19，3分）读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算= .
【能力检测】
1. （2016·浙江省绍兴市·4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．84 B．336 C．510 D．1326
2. （2016·山东省滨州市·4分）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
技术
上场时间（分钟）
出手投篮（次）
投中
（次）
罚球得分
篮板
（个）
助攻（次）
个人总得分
数据
46
66
22
10
11
8
60
注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
3. （2015?四川凉山州第24题8分）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．

4. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
5. （2016·陕西）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【参考答案】
变式训练1：
（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
变式训练2：
（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
变式训练3：
（2016·山东潍坊·3分）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）21*cnjy*com
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
【解析】一元一次不等式组的应用．根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，，
解不等式①得，x≤47，
解不等式②得，x≤23，
解不等式③得，x＞11，
所以，x的取值范围是11＜x≤23．
故选C．
变式训练4：
（2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【解析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵点D（m，n），
∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，
∴n﹣m=1，
∴n=m+1
∵抛物线解析式为，
∴y=（x﹣m）2+m+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），
∴B（2m，2m），
∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3
（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，
根据题意可得，D（2，3），
∴OA′=OA=4，OM=2，
∴∠A′OM=60°，
∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN==，
∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，
∵顶点落在OP上，
∴A′与D重合，
∴A′（2，3），
设P（4，c）（c＞0），
由折叠有，PD=PA，
∴=c，
∴c=，
∴P（4，）
∴直线OP解析式为y=，
∴N（2，），
∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，
即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．21·世纪*教育网
变式训练5：
(2012山东省临沂市，19，3分）读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算= .
【答案】
【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的结果是
，即=；
又∵，，………，
∴=++…+=1-，
∴ ==++…+=1-=.
【能力检测】
1. （2016·浙江省绍兴市·4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【解析】用数字表示事件．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．
【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选C．
2. （2016·山东省滨州市·4分）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
技术
上场时间（分钟）
出手投篮（次）
投中
（次）
罚球得分
篮板
（个）
助攻（次）
个人总得分
数据
46
66
22
10
11
8
60
注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，根据投中22次，结合罚球得分总分可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．21cnjy.com
【解答】解：设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，
依题意得：，
解得：．
答：本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
3. （2015?四川凉山州第24题8分）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：21·cn·jy·com
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°2·1·c·n·j·y
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．

【解答】： （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∴AC=OA+OC=（AD+BC），
∵EF=（AD+BC），
∴AC=EF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∵OD=3，OC=5，
∴OA=3，
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON=MN，
∵AN=AC=（OA+OC）=4，
∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，
∴MN=2ON=2．
4. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【解析】二次函数的应用．（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
5. （2016·陕西）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【解析】四边形综合题．（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；
（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求；
（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，
作F关于BC的对称点F′，
连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，
则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，
由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，
∴AF′=6，AE′=8，
∴E′F′=10，EF=2，
∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，
∴在边BC、CD上分别存在点G、H，
使得四边形EFGH的周长最小，
最小值为2+10；
（3）能裁得，
理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△BGF中，，
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，
∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），
∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
连接EG，
作△EFG关于EG的对称△EOG，
则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，
以O为圆心，以EG为半径作⊙O，
则∠EHG=45°的点在⊙O上，
连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，
连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，
此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C在线段EG的垂直平分线设，
∴点F，O，H′，C在一条直线上，
∵EG=，
∴OF=EG=，
∵CF=2，
∴OC=，
∵OH′=OE=FG=，
∴OH′＜OC，
∴点H′在矩形ABCD的内部，
∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，
这个部件的面积=EG?FH′=××（+）=5+，
∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．21教育网