2017年中考数学二轮专题复习讲义--第17讲实际应用问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（17）实际应用问题
【专题点拨】
实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用方程与不等式、函数与不等式等来解决的一类实际生活中的问题，这类问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立模型的能力，从而解决问题．
【解题策略】
实际应用问题解决的关键是理解题意，从中找出等量关系、不等关系或函数关系，建立数学模型来解决，当信息量较大，可以借助图表等方式帮助理解．【来源：21·世纪·教育·网】
【典例解析】
类型一：方程或不等式的应用题
例题1：（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【 解析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
变式训练1：
（2016·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．21世纪教育网版权所有
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
类型二：方程与函数的应用题
例题2：（2016广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？21教育名师原创作品
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【 解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得×（30+15）+×15=，
解得：x=450，
经检验x=450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）根据题意得（+）×40=，
∴a=60m+60，
∵60＞0，
∴a随m的增大增大，
∴当m=1时，最大，
∴=，
∴÷=7.5倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．
变式训练2：
（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
类型三：方程、不等式和函数的综合应用题
例题3：（2016·湖北随州·9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
时间x（天）
1
30
60
90
每天销售量p（件）
198
140
80
20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【 解析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；2-1-c-n-j-y
（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；21*cnjy*com
（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），
∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），
∴，解得：，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50＜x≤90时，y=90．
∴售价y与时间x的函数关系式为y=．
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴，解得：，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当0≤x≤50时，w=（y﹣30）?p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；
当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．
（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，
∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050＞6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，21cnjy.com
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21（天）；
当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，
解得：50＜x≤53，
∵x为整数，
∴50＜x≤53，
53﹣50=3（天）．
综上可知：21+3=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
变式训练3：
（2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
类型四：一次函数与反比例函数的综合应用题
例题4：（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【 解析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；
（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．
【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k=2；
（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．
变式训练4：
（2016·重庆市B卷·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．【版权所有：21教育】
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
类型五：一次函数与二次函数的综合应用题
例题5：（2016·辽宁丹东·12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．21*cnjy*com
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【考点】二次函数综合题．
【 解析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
得 解得：，
∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（3，3），
又∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=2，
∴S△ABC=×2×3=3；
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，
设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，
6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），
∴3m2﹣15m=0，
m1=0（舍去），m2=5，
∴点P坐标为（5，﹣5）．
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
则△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC==，
∴S△CMN=××=；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，www-2-1-cnjy-com
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，MD=ME=2，
由勾股定理得：CM==，
∴S△CMN=××=；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，
同理得：CN==，
∴S△CMN=××=17；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==，
∴S△CMN=××=5；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．

　变式训练5：
（2016·四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【能力检测】
1. （2016·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
2. （2016·浙江省湖州市）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．2·1·c·n·j·y
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
3. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
4. （2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
5. （2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【参考答案】
变式训练1：
（2016·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．21·cn·jy·com
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【考点】一元二次方程的应用．
【 解析】（1）设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016年投入资金，列出方程组求解可得；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．www.21-cn-jy.com
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），
答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
变式训练2：
（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
【考点】一次函数的应用．
【 解析】（1）暂停排水时，游泳池内的水量Q保持不变，图象为平行于横轴的一条线段，由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池3个小时排水900（m3），根据速度公式求出排水速度即可；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出（2，450）在直线y=kt+b上，然后利用待定系数法求出表达式即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）暂停排水需要的时间为：2﹣1.5=0.5（小时）．
∵排水数据为：3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：900÷3=300m3/h；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，
∴（2，450）在直线Q=kt+b上；
把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，
得，解得，
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．
变式训练3：
（2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【考点】二次函数的应用，一次函数的应用
【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x2+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品
【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x2+10x-40（0＜x≤80）；
（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．
∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）
乙产品：y2=-0.05x2+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
变式训练4：
（2016·重庆市B卷·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【 解析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
设反比例函数解析式为y=．
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，∠AEO=90°，
∴AE=AO?sin∠AOC=3，OE==4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
∵点A（﹣4，3）在反比例函数y=的图象上，
∴3=，解得：k=﹣12．
∴反比例函数解析式为y=﹣．
（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴﹣4=﹣，解得：m=3，
∴点B的坐标为（3，﹣4）．
设直线AB的解析式为y=ax+b，
将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：
，解得：，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．
令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，
解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．
S△AOB=OC?（yA﹣yB）=×1×[3﹣（﹣4）]=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
　变式训练5：
（2016·四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；21·世纪*教育网
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【解析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
【能力检测】
1. （2016·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
【 解析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，
根据题意得，
解之得x=1600，
经检验，x=1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m
解之得m≥，
∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m=17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
2. （2016·浙江省湖州市）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元二次方程的应用．
【 解析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3=﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k=﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
3. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
【考点】二次函数的应用．
【 解析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．
（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．
（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，
解得，
∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，
解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．
∴x2=70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得
w=（﹣0.5x+80）（80+x）
=﹣0.5 x2+40 x+6400
=﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
4. （2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【考点】应用题，一元二次方程，二次函数。
【解答】：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．
解得x1＝3，x2＝12．
(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．
①当x＝时，S有最大值，S最大＝；
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88．
(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10．
∴x的取值范围是5≤x≤10．
5. （2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．21教育网
【考点】二次函数综合题．
【 解析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；
（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x﹣1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．