26.1锐角三角函数 同步练习含答案解析

《26.1
锐角三角函数（二）》
　
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值与余弦值（　　）
A．都不变
B．都扩大2倍
C．都缩小
D．以上都不对
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分13分）
5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=　　．
6．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，则BC=　　．
7．在△ABC中，∠B=90°，sinA=，BC=2，则AB=　　．
8．如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为　　．
　
9．sin45°的值是______
10．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（　　）
A．4
B．4
C．5
D．5
11．已知α为锐角，且cos（90°﹣α）=，则α的度数为　　．
12．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA=　　．
13．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=　　．
三、解答题
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
15．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长．
17．在如图的直角三角形中，我们知道sinα=，cosα=，tanα=，∴sin2α+cos2α=+===1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα=，求的值．
　
《26.1
锐角三角函数（二）》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：sinA==．
故选C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
2．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【分析】过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出tanα=，代入求出即可．
【解答】
解：过P作PE⊥x轴于E，
∵P（12，5），
∴PE=5，OE=12，
∴tanα==，
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinB=，cosB=，tanB=．
　
3．在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值与余弦值（　　）
A．都不变
B．都扩大2倍
C．都缩小
D．以上都不对
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，cosA=，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA==，cosA==．
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，则sinA=，cosA=，tanA=．
　
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可．
【解答】解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，
∴cosA==，
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．
　
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分13分）
5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=　　．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5（勾股定理）．
∴sinA==．
故答案是：．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
6．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，则BC=　9　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦函数的定义求解．
【解答】解：∵sinA==，AB=15，
∴BC=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
　
7．在△ABC中，∠B=90°，sinA=，BC=2，则AB=　8　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，sinA==，
AB=BC÷=2×=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
8．如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为　　．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：BC===5，
则cosB==．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
9．sin45°的值是_______
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：sin45°=．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
　
10．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（　　）
A．4
B．4
C．5
D．5
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式=6×1﹣2×=5．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数值．
11．已知α为锐角，且cos（90°﹣α）=，则α的度数为　30°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】由cos60°=，即可推出cos（90°﹣α）=cos60°，可得：90°﹣α=60°，即可求出α=30°．
【解答】解：∵cos60°=，cos（90°﹣α）=，
∴cos（90°﹣α）=cos60°，
∴90°﹣α=60°，
∴α=30°．
故答案为30°．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，关键在于熟练掌握特殊角的三角函数值，根据题意推出cos（90°﹣α）=cos60°，正确的列出等式90°﹣α=60°．
　
12．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA=　　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】先求出∠A、∠B的度数，然后求出cosA的值．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=2∠A，
∴∠A=30°，∠B=60°，
则cosA=．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
　
13．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=　75°　．
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA﹣=0，sinB﹣=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，
∴cosA﹣=0，sinB﹣=0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．
　
三、解答题
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】分别代入特殊角的三角函数值，进一步计算得出答案即可．
【解答】解：（1）原式=+
=2﹣+
=2；
（2）原式= ++
=1+1
=2；
（3）原式=2××﹣1×
=﹣
=1．
【点评】此题考查特殊角的三角函数，识记三角函数值是解决问题的根本．
　
15．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；
（2）先求出sinα的值，然后求出角的度数．
【解答】解：（1）解得：tanα=，
则α=30°；
（2）解得：sinα=，
则α=60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
　
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】在三角形ACD中，斜边以及直角边已告知，根据锐角三角函数的概念解直角三角形即可得∠CAD以及∠B，从而解直角三角形求出其余结果．
【解答】解：在Rt△ACD中
∵cos∠CAD===，∠CAD为锐角．
∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°．
∴∠B=90°﹣∠CAB=30°．
∵sinB=，
∴AB===16．
又∵cosB=，
∴BC=AB cosB=16 =8．
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
　
17．在如图的直角三角形中，我们知道sinα=，cosα=，tanα=，∴sin2α+cos2α=+===1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα=，求的值．
【考点】同角三角函数的关系．
【专题】阅读型．
【分析】（1）利用sinα=，cosα=，tanα=，即可得出sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）利用（1）中所求得出2sinα=cosα，进而代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵sinα=，cosα=，tanα=，
∴==，则tanα=；
（2）∵tanα=，
∴=，
∴2sinα=cosα，
∴==﹣．
【点评】此题主要考查了同角三角函数关系，得出sinα，cosα与tanα之间的关系是解题关键．