17.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础题
知识点1 利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值
1.(钦州中考)若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A.-10
B.10
C.-16
D.16
2.(昆明中考)已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于( )
A.-4
B.-1
C.1
D.4
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1x2的值为( )
A.-7
B.-3
C.7
D.3
4.已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个实根,则(x1-2)(x2-2)=________.
5.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2+2x+1=0;
(2)2x2+3=7x2+x;
(3)5x-5=6x2-4.
6.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:
(1)x1+x2;
(2)x1x2;
(3)x+x;
(4)+.
知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数,则( )
A.b>0
B.b=0
C.b<0
D.c=0
8.(枣庄中考)已知关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m+n的值是( )
A.-10
B.10
C.-6
D.2
9.(鄂州中考)已知m,n是关于x的一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为( )
A.-10
B.
4
C.-4
D.10
10.(威海中考)方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是( )
A.-2或3
B.3
C.-2
D.-3或2
11.(南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是________,m的值是________.
12.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求出方程的两个实数根及k的值.
中档题
13.(广西中考)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程为( )
A.x2-7x+12=0
B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0
D.x2-7x-12=0
14.(包头中考)关于x的一元二次方程x2
( http: / / www.21cnjy.com )+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是( )
A.m≤
B.m≤且m≠0
C.m<1
D.m<1且m≠0
15.(玉林中考)x1,x
( http: / / www.21cnjy.com )2是关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,是否存在实数m使+=0成立?则正确的结论是( )
A.m=0时成立
B.m=2时成立
C.m=0或2时成立
D.不存在
16.(烟台中考)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是( )
A.-1或5
B.1
C.5
D.-1
17.(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为________.
18.(赤峰中考)若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab=________.
19.(荆州中考)若m,n是方程x2+x-1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为________.
20.在解某个方程时,甲看错了一次项的
( http: / / www.21cnjy.com )系数,得出的两个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两根为8,2.则这个方程为________________.
21.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.
综合题
22.(鄂州中考)一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根,求m的取值范围;
(2)设方程两实根为x1,x2,且=1,求m.
参考答案
基础题
1.A 2.C 3.D 4.-4
5.(1)x1+x2=-2,x1x2=1.(2)x1+x2=-,x1x2=-.(3)x1+x2=,x1x2=.
6.(1)x1+x2=3.(2)x
( http: / / www.21cnjy.com )1x2=-1.(3)x+x=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=11.(4)+===-3.
7.B 8.A 9.C 10.C 11.3 -4
12.由根与系数的关系,得又∵x1=3x2,③ 联立①、③,解方程组,得∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
中档题
13.A 14.B 15.A 16.D 17.16 18.4 19.0 20.x2-10x+9=0
21.(1)∵关于x的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.∴Δ≥0,即32-4(m-1)≥0.解得m≤.(2)由根与系数的关系得x1+x2=-3,x1x2=m-1.∵2(x1+x2)+x1x2+10=0,∴2×(-3)+m-1+10=0.∴m=-3.
综合题
22.(1)根据题意得解得m>0.∴m的取
( http: / / www.21cnjy.com )值范围为m>0.(2)∵方程两实根为x1,x2,∴x1+x2=2,x1x2=.∵|x1-x2|=1,∴(x1-x2)2=1.∴(x1+x2)2-4x1x2=1.∴22-4×=1.解得m=8.经检验m=8是原方程的解.∴m的值是8.