人教版选修1-1第三章 导数及其应用单元测试卷A卷
一．选择题（共12小题）
1．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A．10 B．5 C．﹣1 D．
2．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（，+∞） C．（﹣，+∞） D．[﹣，+∞）
3．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＜f′（2）＜a B．f′（1）＜a＜f′（2） C．f′（2）＜f′（1）＜a D．a＜f′（1）＜f′（2）21·cn·jy·com
4．已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．2 B．﹣2 C． D．
6．函数的导数是（ ）
A． B．﹣sinx
C． D．
7．函数y=﹣2ex?sinx的导数是（ ）
A．﹣2excosx B．﹣2ex（sinx﹣cosx）
C．2exsinx D．﹣2ex（sinx+cosx）
8．设，则f′（2）=（ ）
A． B． C． D．
9．下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2
C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=
10．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（ ）
A．y=x3﹣6x B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3﹣3x
11．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）
①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
12．函数y=1+3x﹣x3有（ ）
A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3
C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2
二．填空题（共4小题）
13．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知x=﹣3是函数f（x）的一个极值点，则实数a= ．【来源：21·世纪·教育·网】
14．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的单调递减区间为（﹣1，1），其极小值为2，则f（x）的极大值是 ．21·世纪*教育网
15．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ．21*cnjy*com
16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
18．函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．
（1）求a、b的值；
（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围．
19．已知函数f（x）=x2+alnx
（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．
20．已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．2-1-c-n-j-y
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．
21．已知曲线f（x）=ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y=2x﹣1．
（Ⅰ）求实数a、b的值．
（Ⅱ）若f（x）≥kx2+（k﹣1）x恒成立，求实数k的最大值．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A．10 B．5 C．﹣1 D．
解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，
∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，
又f（1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，
切线在x轴上的截距为﹣，
故选D．
3．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＜f′（2）＜a B．f′（1）＜a＜f′（2） C．f′（2）＜f′（1）＜a D．a＜f′（1）＜f′（2）21cnjy.com
解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，
∵=a，
∴f′（1）＜a＜f′（2），
故选：．
5．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．﹣2 C． D．
解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，
∴f′（x）=2x+3f′（2）+，
令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，
即2f′（2）=﹣，
∴f′（2）=﹣．
故选：D．
6．函数的导数是（ ）
A． B．﹣sinx
C． D．
解：根据导数的运算法则可得，y′==
=
故选C
8．设，则f′（2）=（ ）
A． B． C． D．
解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，
∵f′（u）=，u′（x）=?=，
由复合函数的导数公式得：
f′（x）=?=，
∴f′（2）=．
故选B．
9．下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2
C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确
对于选项B，成立，故B正确
对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确
对于选项D，成立，故D正确
故选C
10．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（ ）
A．y=x3﹣6x B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3﹣3x
解：A．y=x3﹣6x，y′=3（x2﹣2）；
∴时，y′＜0，即该函数在上递减；
∴该函数在（1，+∞）上不递增，即该选项错误；
B．y=x2﹣2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
C．y=sinx在（1，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=x3﹣3x，（﹣x）3﹣3（﹣x）=﹣（x3﹣3x）；
∴该函数为奇函数；
y′=3（x2﹣1），x＞1时，y′＞0；
∴该函数在（1，+∞）上递增，∴该选项正确．
故选：D．
11．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）
①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
解：①y′=3x2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点
②y′=2x，当x＞0时函数单调递增；当x＜0时函数单调递减且y′|x=0=0②符合
③结合该函数图象可知在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减，③符合
④y=2x在R上递增，无极值点
故选B
12．函数y=1+3x﹣x3有（ ）
A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3
C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2
解：∵y=1+3x﹣x3，
∴y′=3﹣3x2，
由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，
由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，
∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1），减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，
函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f（1）=1+3﹣13=3．
故选A．
二．填空题（共4小题）
13．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知x=﹣3是函数f（x）的一个极值点，则实数a= 5 ．21世纪教育网版权所有
解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3，
∵f（x）在x=﹣3时取得极值，
∴f′（﹣3）=0?a=5，验证知，符合题意，
故答案为：5．
14．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的单调递减区间为（﹣1，1），其极小值为2，则f（x）的极大值是 6 ．21教育网
解：依题意，f（x）的单调期间为（﹣1，1），
由f′（x）=3x2﹣3a=3，
可得a=1，由f（x）=x3﹣3ax+b在x=1处取得极小值2，可得1﹣3+b=2，故b=4．
∴f（x）=x3﹣3x+4的极大值为f（﹣1）=（﹣1）3﹣3×（﹣1）+4=6．
故答案为：6．
15．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= 1 ．2·1·c·n·j·y
解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，
∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，
∴3a+1=4，即a=1．
故答案为：1．
16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为 （0，） ．
解：∵f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1，（x＞0），
∴f′（x）=lnx﹣ax，，
得一阶导函数有极大值点x=，
由于f′（0）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→﹣∞，
因此原函数要有两个极值点，
只要
解得，
故答案为：（0，）．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
解：（I）由题意f'（x）=3x2﹣6x﹣9，k=f'（0）=﹣9，f（0）=1
所以函数在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=﹣9x，即9x+y﹣1=0…（6分）
（II）令f'（x）=3x2﹣6x﹣9＞0，解得x＜﹣1或x＞3
令f'（x）=3x2﹣6x﹣9＜0，解得﹣1＜x＜3
故：函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）…（13分）
18．函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．
（1）求a、b的值；
（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围．
解：（1）f（x）=x3﹣3ax2+3bx，f'（x）=3x2﹣6ax+3b，f'（1）=3﹣6a+3b=﹣12，f（1）=1﹣3a+3b=﹣11，www-2-1-cnjy-com
∴a=1，b=﹣3．
（2）f（x）=x3﹣3x2﹣9x，f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），
当x∈（﹣∞，﹣1），f'（x）＞0；
x∈（﹣1，3），f'（x）＜0；
x∈（3，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=﹣1取极大值5，在x=3时取极小值﹣27．
f（x）的大致图象如下
根据三次函数f（x）的图象得f（x）=c有三个不同的实数解时，c的取值范围是（﹣27，5）．
19．已知函数f（x）=x2+alnx
（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．
解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f（x）=x2﹣lnx，
f'（x）=
当x∈（0，1）时f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，f（x）递增；
∴f（x）的极小值是f（1）=，无极大值．
（2）f（x）=x2+lnx，
f'（x）=x＞0，
∴f（x）在[1，e]上递增，
∴函数的最大值f（e）=e2+1，最小值f（1）=．
20．已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．【出处：21教育名师】
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．
解：（1）因为f′（x）=3x2+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，
即3+2a=﹣3，
所以a=﹣3；
又因为函数过（1，0）点，
即﹣2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x3﹣3x2+2；
（2）由f（x）=x3﹣3x2+2，f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是减函数，
所以f（x）max=f（0）=2，
f（x）min=f（t）=t3﹣3t2+2；
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：
x
0
（0，2）
2
（2，t）
t
f′（x）
0
﹣
0
+
+
f（x）
2
递减
﹣2
递增
t3﹣3t2+2
f（x）min=f（2）=﹣2，
f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个，
f（t）﹣f（0）=t3﹣3t2=t2（t﹣3）＜0，
所以f（x）max=f（0）=2，
综上，函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是﹣2．
21．已知曲线f（x）=ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y=2x﹣1．
（Ⅰ）求实数a、b的值．
（Ⅱ）若f（x）≥kx2+（k﹣1）x恒成立，求实数k的最大值．
解：（Ⅰ）f'（x）=a+2bxlnx+bx，
则f（1）=a=1，f'（1）=a+b=2，
解得：b=1；
（Ⅱ）由题x+x2lnx≥[kx+k﹣1]?x恒成立，
即恒成立，
令，
则，
显然y=lnx+x﹣1单增，且有唯一零点x=1，
∴g（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，
∴gmin（x）=g（1）=1，
∴k≤1，故k的最大值为1．
人教版选修1-1第三章 导数及其应用单元测试卷B卷
一．选择题（共12小题）
1．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．[0，） B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．[0，）∪（，]21*cnjy*com
2．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．己知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，3） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3]
4．如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值
B．导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值
C．函数y=f（x）在x=x3处有极小值
D．函数y=f（x）在x=x4处有极小值
5．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（ ）【出处：21教育名师】
A．2 B．3 C．6 D．9
6．对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（ ）【版权所有：21教育】
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能
7．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（ ）21*cnjy*com
A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2） B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）
C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）
8．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＜2ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞）
9．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（ ）
A．x=2是f（x）的极小值点
B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4
10．对于函数f（x）=eax﹣lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（ ）
A．a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（，1）
B．a=2时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，）
C．a=时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（1，2）
D．a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）
11．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
12．已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的取值范围是（ ）
A．（﹣2，] B．[﹣，2） C．（﹣∞，] D．[﹣，2]
二．填空题（共4小题）
13．曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为 ．
14．设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为 ．
15．已知直线l过点（0，﹣1），且与曲线y=xlnx相切，则直线l的方程为 ．
16．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为 ．21教育名师原创作品
三．解答题（共5小题）
17．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
18．已知函数f（x）=1n（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．
（1）当时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求实数a的取值范围．21·世纪*教育网
19．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）讨论函数h（x）=的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0，） B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．[0，）∪（，]
解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，
∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，
∴0≤α＜ 或 ≤α＜π，
故选 B．
3．己知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，3） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3]
解：∵f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．
∵y=3x2在[1，+∞）上为增函数，∴ymin=3．
∴a≤3．
故选：D．
4．如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值
B．导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值
C．函数y=f（x）在x=x3处有极小值
D．函数y=f（x）在x=x4处有极小值
解：根据如图所示的导函数的图象可知
函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增
函数在处x3有极大值，在x4处有极小值
故选C
5．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，
由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，
则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），
由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．
故选D．
6．对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能
解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），
∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），
x=0时，y′=1﹣a，
∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，
恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，
∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．
故选：A．
7．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（ ）
A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2） B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）
C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）
解：∵函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足 ，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，（﹣∞，2）上单调递增，
∵2＜a＜4
∴1＜log2a＜2＜4＜2a
又函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（2）＞f（log2a）＞f（2a），
故选A．
∵f（x）＞f′（x），
∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．
∵f（0）=2，
∴g（0）=f（0）=2，
则不等式等价于g（x）＜g（0），
∵函数g（x）单调递减．
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选：C．
9．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（ ）
A．x=2是f（x）的极小值点
B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4
解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，
∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；
y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；
f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，2-1-c-n-j-y
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．21·cn·jy·com
故选：C．
10．对于函数f（x）=eax﹣lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（ ）
A．a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（，1）
B．a=2时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，）
C．a=时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（1，2）
D．a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）
解：∵f（x）=eax﹣lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=aeax﹣，
若a=，f（x）=﹣lnx，
则f′（x）=﹣在（0，+∞）上单调递增，
f′（1）=，f′（2）═，
∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，
故选：C
12．已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．（﹣2，] B．[﹣，2） C．（﹣∞，] D．[﹣，2]
解：由f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex
函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）增函数，
∴x2+（a+2）x+a+b＞0恒成立，
，
∴，
∴b=（z﹣1）a﹣2z，
设y=（z﹣1）x﹣2z，
，
由图象可知在点B（﹣1，﹣1）取最大值为z=，在点A（1，1）取最小值z=﹣2
的取值范围为（﹣2，]，
故答案选：A．
二．填空题（共4小题）
13．曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为 y=2x﹣e ．
解：求导函数，y′=lnx+1
∴当x=e时，y′=2
∴曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e）
即y=2x﹣e
故答案为：y=2x﹣e．
14．设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为 ．
解：∵函数y=ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称
函数y=ex上的点P（x，ex）到直线y=x的距离为d=
设g（x）=ex﹣x，（x＞0）则g′（x）=ex﹣1
由g′（x）=ex﹣1≥0可得x≥ln2，
由g′（x）=ex﹣1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，dmin=
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin=．
故答案为：．
15．已知直线l过点（0，﹣1），且与曲线y=xlnx相切，则直线l的方程为 x﹣y﹣1=0 ．
解：∵f（x）=xlnx，
∴函数的导数为f′（x）=1+lnx，
设切点坐标为（x0，x0lnx0），
∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），
∵切线l过点（0，﹣1），
∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0），
解得x0=1，
∴直线l的方程为：y=x﹣1．
即直线方程为x﹣y﹣1=0，
故答案为：x﹣y﹣1=0．
16．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为 ﹣1 ．21世纪教育网版权所有
解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点
（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），
不妨设y=0，，
则x1?x2?x3…?xn=×…×=，
从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014
=log2015（x1?x2…x2014）
=．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共5小题）
17．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），∴f′（x）=﹣2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，
∴，解得；
（2）f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=，
当≤x≤e时，令f'（x）＞0得≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=﹣；
18．已知函数f（x）=1n（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．
（1）当时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求实数a的取值范围．21cnjy.com
解：（1）当时，，
则，
令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0或x＞1；
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
极大值0，极小值…（5分）
（2）由题意，
（i）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）…（7分）
（ii）当a＞0时，令f'（x）=0，有x1=0，，
①当时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．…（8分）
②当即时，函数f（x）在（﹣1，0）和上单调递增，
在上单调递减，f（x）在x=0处取得极大值，且f（0）=0，
要使对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
只需f（1）≥0，解得a≥1﹣ln2，又，
所以此时实数a的取值范围是…（11分）
③当即时，函数f（x）在和（0，+∞）上单调递增，
在上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，
函数f（x）的最大值为f（b），需，
代入化简得，
令，因为恒成立，
故恒有，
所以时，式恒成立；
∴实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．…（14分）．
19．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．
解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．
．
当x∈时，f′（x）0，
所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，
由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，
所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；
（2）由f（x）=alnx+x2，得．
若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．
若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，
由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；
若，即﹣2e2＜a＜﹣2，
f（x）在上为减函数，在上为增函数，
由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．
=．
当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．
当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．
当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．
当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；www.21-cn-jy.com
（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，
不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即a对x∈[1，e]恒成立，
而在[1，e]单调递减，所以a．
所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．
20．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）讨论函数h（x）=的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，
①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增
②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），
h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．
（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），
x
2
g′（x）
0
﹣
0
+
g（x）
﹣3
递减
极小值
递增
1
由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1
所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，
记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，
当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；21教育网
当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；2·1·c·n·j·y
故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．
21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，
（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1． 【来源：21·世纪·教育·网】
若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；
当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]min==．
若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）
的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，
相应的x值为e．
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
因而（x∈[1，e]）
令（x∈[1，e]），又，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．
