湖南师大附中2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知两点A（a，3），B（1，﹣2），若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为（　　）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
2．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线l（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．异面
3．已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=2，PB=，PC=3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π
5．圆与圆的位置关系是（　　）
A．相交
B．外离
C．内含
D．内切
6．已知α，β是两个不同的平面，m．n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥n，m β，则n∥β
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α
7．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若点P（3，1）为圆（x﹣2）2+y2=16的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）
A．x﹣3y=0
B．2x﹣y﹣5=0
C．x+y﹣4=0
D．x﹣2y﹣1=0
9．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（　　）
A．异面直线PA与BC的夹角为60°
B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMB
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
10．已知直线l过点P（2，4），且与圆O：x2+y2=4相切，则直线l的方程为（　　）
A．x=2或3x﹣4y+10=0
B．x=2或x+2y﹣10=0
C．y=4或3x﹣4y+10=0
D．y=4或x+2y﹣10=0
11．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的是（　　）
A．AC∥平面BEF
B．B、C、E、F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D．平面BCE与平面BEF可能垂直
　
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是　　．
13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则=　　．
14．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于　　．
　
三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，0），B（4，6），C（0，8）．
（1）求BC边上的高所在直线l的方程；
（2）求△ABC的面积．
16．已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B⊥平面AB1C；
（2）求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．
　
一、本大题共2个小题，每小题5分，共12分．
18．已知集合，则N∩ RM=　　．
19．已知函数f（x）在定义域R上单调递减，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．若实数t满足f（t2﹣2t）+f（﹣3）＞0，则的取值范围是
（　　）
A．（，+∞）
B．（﹣∞，）
C．（0，）
D．（，1）∪（1，+∞）
　
二、本大题共3个大题，共38分．
20．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
21．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，g（x）=．
（1）若对任意x∈[1，3]，不等式f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=﹣时，确定函数g（x）在区间（3，+∞）上的单调性．
22．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y﹣4=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
（2）设点A（3，0），O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．
　
2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知两点A（a，3），B（1，﹣2），若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为（　　）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
【考点】直线的倾斜角．
【分析】利用斜率计算公式即可得出．
【解答】解：∵过点A（a，3），B（1，﹣2）的直线的倾斜角为135°，
∴tan135°==﹣1，
解得a=﹣4．
故选：D．
　
2．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线l（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】本题可采用分类讨论，对答案进行排除，分别讨论直线l和平面α平行，直线l和平面α相交，直线l 平面α，三种情况，排除错误答案后，即可得到结论．
【解答】解：若直线l和平面α平行，则平面α内的直线与l平行或异面，不可能相交，可排除答案A；
若直线l和平面α相交，则平面α内的直线与l相交或异面，不可能平行，可排除答案B；
若直线l 平面α，则平面α内的直线与l相交或平行，不可能异面，可排除答案D；
故选C．
　
3．已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由，解得m=±2，m=﹣2时舍去，可得m=2，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由，解得m=±2，m=﹣2时舍去，∴m=2，
因此两条直线方程分别化为：x+3y=0，x+3y﹣2=0．
则l1与l2之间的距离==．
故选：B．
　
4．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=2，PB=，PC=3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：
=4
所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：4π×4=16π．
故选A．
　
5．圆与圆的位置关系是（　　）
A．相交
B．外离
C．内含
D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆心O1（2，3），半径r=1，
圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，圆心O2（4，3），半径R=3，
两圆心之间的距离|O1O2|=4﹣2=2=R﹣r，
∴两圆内切．
故选：D．
　
6．已知α，β是两个不同的平面，m．n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥n，m β，则n∥β
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对于选项A，若m∥n，m β则n∥β，可通过线面平行的判定定理进行判断
对于选项B，可通过线面平行的性质定理进行判断；
对于选项C，可通过面面平行的判定条件进行判断；
对于选项D，可通过线面位置关系判断．
【解答】解：A不正确，m∥n，m β，由于n可能在β内，故推不出n∥β；
B不正确，m∥α，α∩β=n，m不一定在β内，故不能推出m∥n；
C正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；
D不正确，m⊥β，α⊥β，由于m α的可能性存在，故m∥α不正确．
故选：C．
　
7．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．
【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．
几何体的直观图如图，
所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
故选A．
　
8．若点P（3，1）为圆（x﹣2）2+y2=16的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）
A．x﹣3y=0
B．2x﹣y﹣5=0
C．x+y﹣4=0
D．x﹣2y﹣1=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=﹣1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣2）2+y2=16的弦，圆心为C（2，0），
∴设AB的中点是P（3，1）满足AB⊥CP，
因此，PQ的斜率k=﹣1，
可得直线PQ的方程是y﹣1=﹣（x﹣3），化简得x+y﹣4=0，
故选：C．
　
9．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（　　）
A．异面直线PA与BC的夹角为60°
B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMB
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【解答】解：对于A，∵AD∥BC，∴∠PAD为异面直线PA与BC的夹角，为60°，正确；
对于B，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故B正确；
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
设AB=1，则BM=，PM=，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=1，
即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．
　
10．已知直线l过点P（2，4），且与圆O：x2+y2=4相切，则直线l的方程为（　　）
A．x=2或3x﹣4y+10=0
B．x=2或x+2y﹣10=0
C．y=4或3x﹣4y+10=0
D．y=4或x+2y﹣10=0
【考点】圆的切线方程．
【分析】切线的斜率存在时设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．
【解答】解：将点P（2，4）代入圆的方程得22+32=13＞4，∴点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，
∴=2，解得k=．
故所求切线方程为3x﹣4y+16=0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=2，也满足条件．
故所求圆的切线方程为3x﹣4y+16=0或x=2．
故选A．
　
11．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的是（　　）
A．AC∥平面BEF
B．B、C、E、F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D．平面BCE与平面BEF可能垂直
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查了折叠得到的空间线面关系的判断；用到了线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理．
【解答】解：在图2中取AC的中点为O，取BE的中点为M，连结MO，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，∴AC∥平面BEF，故A正确；
∵直线BF与CE为异面直线，∴B、C、E、F四点不可能共面，故B正确；
在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故C正确；
延长AF至G使得AF=FG，连结BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE．若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故D错误．
故选：D
　
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是　[﹣3，1]　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤，解绝对值不等式求得实数a取值范围．
【解答】解：由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，
即≤，化简得|a+1|≤2，故有﹣2≤a+1≤2，求得﹣3≤a≤1，
故答案为：[﹣3，1]．
　
13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则=　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设出球的半径，然后求解圆柱的体积，球的体积，推出结果即可．
【解答】解：设球的半径为r，
由题意可得：球的体积为V2=；
圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1=πr2 2r，
则==．
故答案为：．
　
14．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合求出各棱的长，可得答案
【解答】解：由三棱锥的三视图可得几何体的直观图如下图所示：
O是顶点V在底面上的射影，
棱锥的底面面积S=×4×5=10，
∵三棱锥P﹣ABC的体积为10，
故棱锥的高VO=3，
则VA=，VC=3，AC=5，BC=4，AB=，VB=，
故最长的侧棱为，
故答案为：
　
三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，0），B（4，6），C（0，8）．
（1）求BC边上的高所在直线l的方程；
（2）求△ABC的面积．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（1）求出BC的斜率，带入点斜式方程即可；（2）求出AC的长，根据AC的方程，求出点B到直线AC的距离，从而求出三角形ABC的面积即可．
【解答】解：（1）因为点B（4，6），C（0，8），则kBC==﹣，
因为l⊥BC，则l的斜率为2．
又直线l过点A，所以直线l的方程为y=2（x﹣3），即2x﹣y﹣6=0．
（2）因为点A（3，0），C（0，8），则|AC|==，
又直线AC的方程为+=1，即8x+3y﹣24=0，
则点B到直线AC的距离d==，
所以△ABC的面积S=|AC|×d=13．
　
16．已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．
【考点】圆的一般方程．
【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，建立方程组，即可求圆C的标准方程；
（2）直线l过定点M（3，2）．由圆的几何性质可知，当l⊥CM时，弦长|PQ|最短．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5．
所以圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0，
即（x﹣2）2+（y﹣4）2=25．
（2）直线l的方程化为（2x+y﹣8）+m（x+2y﹣7）=0．
令，得x=3，y=2，所以直线l过定点M（3，2）．
由圆的几何性质可知，当l⊥CM时，弦长|PQ|最短．
因为|CM|==
则|PQ|min=2=4
　
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B⊥平面AB1C；
（2）求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明A1A⊥AC．AC⊥A1B．推出AB1⊥A1B．即可证明A1B⊥平面AB1C．
（2）连结A1C，设AB1∩A1B=O，连CO，交A1D于G．说明G为△A1BC的重心．推出∠A1GO是A1D与平面AB1C所成的角．设AB=AC=AA1=1，在Rt△A1OG中，求解直线A1D与平面AB1C所成的角为60°．
【解答】（1）证明：图1所示，因为A1A⊥平面ABC，则A1A⊥AC．
又AC⊥AB，则AC⊥平面AA1B1B，所以AC⊥A1B．
由已知，侧面AA1B1B是正方形，则AB1⊥A1B．
因为AB1∩AC=A，所以A1B⊥平面AB1C．
（2）解：图2所示，连结A1C，设AB1∩A1B=O，连CO，交A1D于G．
因为O为A1B的中点，D为BC的中点，则G为△A1BC的重心．
因为A1O⊥平面AB1C，则∠A1GO是A1D与平面AB1C所成的角．
设AB=AC=AA1=1，则A1B=BC=A1C=．
得A1O=，A1G=A1D=sin
60°=，
在Rt△A1OG中，sin∠A1GO=，则∠A1GO=60°．
所以直线A1D与平面AB1C所成的角为60°．．
　
一、本大题共2个小题，每小题5分，共12分．
18．已知集合，则N∩ RM=　[0，2]　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出N∩ RM．
【解答】解：集合，
∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），N=[0，+∞），
∴N∩CRM=[0，2]．
故答案为：[0，2]．
　
19．已知函数f（x）在定义域R上单调递减，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．若实数t满足f（t2﹣2t）+f（﹣3）＞0，则的取值范围是
（　　）
A．（，+∞）
B．（﹣∞，）
C．（0，）
D．（，1）∪（1，+∞）
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性求出t的范围，化简，利用函数的单调性求解最值即可．
【解答】解：因为y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，
即f（x）为奇函数．
由f（t2﹣2t）+f（﹣3）＞0，得f（t2﹣2t）＞﹣f（﹣3）=f（3），
因为f（x）在R上是减函数，
则t2﹣2t＜3，即t2﹣2t﹣3＜0，得﹣1＜t＜3．
因为y==1+；在区间（﹣1，3）上是减函数，则．
故选：B．
　
二、本大题共3个大题，共38分．
20．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；
（Ⅱ）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．
【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥面SBD，
所以AC⊥SD．
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，
则SD⊥OP，
设正方形ABCD的边长为a，
则SD=，OD=，
则OD2=PD SD，
可得PD==，
故可在SP上取一点N，使PN=PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．
在△BDN中知BN∥PO，
又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，
得BE∥面PAC，
由于SN：NP=2：1，
故SE：EC=2：1．
　
21．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，g（x）=．
（1）若对任意x∈[1，3]，不等式f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=﹣时，确定函数g（x）在区间（3，+∞）上的单调性．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用f（x）＜5﹣m，推出m＜，设h（x）=，则当x∈[1，3]时，m＜h（x）恒成立．利用二次函数的单调性求解m的取值范围．
（2）推出g（x）=﹣（+）．设x1＞x2＞3，则g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2）（﹣），利用函数的单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）由f（x）＜5﹣m，得mx2﹣mx﹣1＜5﹣m，即m（x2﹣x+1）＜6．
因为x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，则m＜．
设h（x）=，则当x∈[1，3]时，m＜h（x）恒成立．
因为y=x2﹣x+1在区间[1，3]上是增函数，
则h（x）在区间[1，3]上是减函数，h（x）min=h（3）=，
所以m的取值范围是（﹣∞，）．
（2）因为f（x）=mx（x﹣1）﹣1，则g（x）=mx﹣．
当m=﹣时，g（x）=﹣（+）．
设x1＞x2＞3，则g（x1）﹣g（x2）=﹣﹣=
=（x1﹣x2）（﹣）
因为x1﹣1＞x2﹣1＞2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞4，
得＜，
又x1﹣x2＞0，则g（x1）﹣g（x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在区间（3，+∞）上是减函数．
　
22．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y﹣4=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
（2）设点A（3，0），O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式，结合直线l：x+y﹣3=0被圆C截得的弦长为2，利用勾股定理，可求a的值；
（2）求出M在圆心为D（﹣1，0），半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）由圆方程知，圆C的圆心为C（a，a+2），半径为3．
设圆心C到直线l的距离为d，因为直线l被圆C截得的弦长为2，则
d2+1=9，即d=2．
所以即|a﹣1|=2，所以a=﹣1或a=3．
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得x2+y2+2x﹣3=0．
所以点M在圆D：（x+1）2+y2=4上．其圆心为D（﹣1，0），半径为2．
因为点M在圆C上，则圆C与圆D有公共点，即1≤|CD|≤5．
所以1≤≤5，解得﹣5≤a≤﹣2或﹣1≤a≤2．
故a的取值范围是[﹣5，﹣2]∪[﹣1，2]．
　
2017年2月23日