陕西省延安市黄陵中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（重点班）（解析版）

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一（上）期末数学试卷（重点班）
　
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（　　）
A．{1}
B．{﹣1，1}
C．{1，0}
D．{﹣1，0，1}
2．函数y=的定义域为（　　）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下面说法不正确的选项（　　）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
5．下列函数一定是指数函数的是（　　）
A．y=2x+1
B．y=x3
C．y=3 2x
D．y=3﹣x
6．若角α的终边过点P（1，﹣2），则tanα的值为（　　）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
7．y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（　　）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（　　）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
9．下列各式中，值为的是（　　）
A．sin15°cos15°
B．cos2﹣sin2
C．
D．
10．函数y=sinx和y=tanx的图象在[﹣2π，2π]上交点的个数为（　　）
A．3
B．5
C．7
D．9
11．下列关系式中正确的是（　　）
A．sin11°＜cos10°＜sin168°
B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10°
D．sin168°＜cos10°＜sin11°
12．已知奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图①②所示，若方程f[g（x）]=0，g[f（x）]=0的实根个数分别为a，b，则a+b等于（　　）
A．10
B．14
C．7
D．3
　
二、填空题（每小题5分，共20分．）
13．若2a=5b=10，则=　　．
14．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=　　．
15．若tanα=，则tan（α+）=　　．
16．给出下列六个命题，其中正确的命题是　　
①存在α满足sinα+cosα=；
②y=sin（π﹣2x）是偶函数；
③x=是y=sin（2x+）的一条对称轴；
④y=esin2x是以π为周期的（0，）上的增函数；
⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
⑥函数y=3sin（2x+）的图象可由y=3sin2x的图象向左平移个单位得到．
　
三、解答题．
17．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）=f（x）﹣f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式：f（x﹣1）＜0．
18．已知f（x）=x，f（﹣2）=10，求f（2）．
19．已知tan（+α）=．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
20．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
21．已知α∈（0，），β∈（，π）且sin（α+β）=，cosβ=﹣．求sinα．
22．已知tanα、tanβ是方程x2﹣4x﹣2=0的两个实根，求：cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣3sin2（α+β）的值．
　
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一（上）期末数学试卷（重点班）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（　　）
A．{1}
B．{﹣1，1}
C．{1，0}
D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】由1≤2x＜4得20≤2x＜22，求出x的范围及求出集合B，由交集的运算求出A∩B．
【解答】解：由1≤2x＜4得20≤2x＜22，所以0≤x＜2，则B={x|0≤x＜2}，
又合A={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，
故选：C．
　
2．函数y=的定义域为（　　）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．
【解答】解：∵函数y=，
∴1﹣x≥0，x≥0，
∴0≤x≤1，
故选D．
　
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．
【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故选C．
　
4．下面说法不正确的选项（　　）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
【考点】命题的真假判断与应用；函数的概念及其构成要素．
【分析】函数函数单调区间，函数奇偶性的定义，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：函数的单调区间可以是函数的定义域，如一次函数和指数函数，故A正确；
函数的多个单调增区间的并集可能不是其单调增区间，如正弦函数和正切函数，故B不正确；
具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，故C正确；
关于原点对称的图象一定是奇函数的图象，故D正确；
故选：B
　
5．下列函数一定是指数函数的是（　　）
A．y=2x+1
B．y=x3
C．y=3 2x
D．y=3﹣x
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】根据指数函数的定义，对选项中的函数进行判断即可．
【解答】解：对于A，y=2x+1=2 5x，不是指数函数；
对于B，y=x3是幂函数，不是指数函数；
对于C，y=3 2x不是指数函数；
对于D，y=3﹣x=是指数函数．
故选：D．
　
6．若角α的终边过点P（1，﹣2），则tanα的值为（　　）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】根据角的一边所过的一个点，若这个点在单位圆上，利用三角函数的定义可以解出任意角的三角函数值，若这个点不是单位圆上的点，则要通过求比值得到结果．
【解答】解：∵角α的终边过点P（1，﹣2），
∴根据三角函数的定义知
tanα==﹣2，
故选C．
　
7．y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（　　）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．
【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1
=1﹣2sinxcosx﹣1
=﹣sin2x，
∴T=π且为奇函数，
故选D
　
8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（　　）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．
【解答】解：由函数的图象可知：T=4×=π．
ω==2．x=时，函数的最大值为：2．A=2，
2=2sin（+φ），由函数的图象可得φ=．
为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+）]的图象向右平移个长度单位．
故选：B．
　
9．下列各式中，值为的是（　　）
A．sin15°cos15°
B．cos2﹣sin2
C．
D．
【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
【分析】A，B选项通过二倍角公式求得结果均不为，C项代入cos也不得．
【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．
cos2﹣sin2=cos=，排除B项．
==，排除C项
由tan45°=，知选D．
故选D
　
10．函数y=sinx和y=tanx的图象在[﹣2π，2π]上交点的个数为（　　）
A．3
B．5
C．7
D．9
【考点】正弦函数的图象；正切函数的图象．
【分析】法一；直接作出函数y=sinx和y=tanx在[0，2π]上的图象，观察可得交点个数，即可．
法二：直接解方程，求出方程在[﹣2π，2π]上解的个数即可．
【解答】解：方法一：图象法，在同一坐标系内画y=sinx与y=tanx在
[0，2π]上的图象，由图知函数y=sinx和y=tanx的图象在[﹣2π，2π]上共有5个交点，
故选B．
方法二：解方程sinx=tanx，即tanx（cosx﹣1）=0，
∴tanx=0或cosx=1，∵x∈[﹣2π，2π]，
∴x=0，±π，±2π，故有5个解，
故选B．
　
11．下列关系式中正确的是（　　）
A．sin11°＜cos10°＜sin168°
B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10°
D．sin168°＜cos10°＜sin11°
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．
【解答】解：∵sin168°=sin=sin12°，
cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C．
　
12．已知奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图①②所示，若方程f[g（x）]=0，g[f（x）]=0的实根个数分别为a，b，则a+b等于（　　）
A．10
B．14
C．7
D．3
【考点】函数的图象．
【分析】先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可．
【解答】解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2）
∴方程f（g（x））=0 g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1 x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7个根，即a=7；
而方程g（f（x））=0 f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b f（x）=0 x=﹣1，x=0，x=1，
∴方程g（f（x））=0
有3个根，即b=3．
∴a+b=10
故选：A．
　
二、填空题（每小题5分，共20分．）
13．若2a=5b=10，则=　1　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．
【解答】解：因为2a=5b=10，
故a=log210，b=log510
=1
故答案为1．
　
14．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=　3　．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），
得
=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
　
15．若tanα=，则tan（α+）=　3　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．
【解答】解：∵tanα=
∴tan（α+）===3
故答案为：3．
　
16．给出下列六个命题，其中正确的命题是　②③　
①存在α满足sinα+cosα=；
②y=sin（π﹣2x）是偶函数；
③x=是y=sin（2x+）的一条对称轴；
④y=esin2x是以π为周期的（0，）上的增函数；
⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
⑥函数y=3sin（2x+）的图象可由y=3sin2x的图象向左平移个单位得到．
【考点】正弦函数的奇偶性；象限角、轴线角；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】本题利用直接法对六个命题进行逐一进行判定即可．
【解答】解：①sinα+cosα=sin（α+）∈[﹣，]，∴sinα+cosα≠，故不正确．
②y=sin（﹣2x）=sin（﹣2x）=cos2x，是偶函数，故正确．
③对y=sin（2x+），由2x+=+kπ，得x=﹣+，（k∈Z）是对称轴方程．取k=1得x=，故正确．
④y=sin2x在（0，）上不是增函数，∴y=esin2x在（0，）上也不是增函数，故错误．
⑤y=tanx在第一象限不是增函数．∴α＞β，不一定有tanα＞tanβ，故错误．
⑥y=3sin（2x+）=3sin2（x+），可由y=3sin2x的图象向左平移个单位得到，故错误．
故选②③
　
三、解答题．
17．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）=f（x）﹣f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式：f（x﹣1）＜0．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（Ⅰ）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0，问题得以解决，
（Ⅱ）由f（1）=0和f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，得到关于x的不等式组解得即可．
【解答】解：（Ⅰ）在等式中令x=y＞0，则f（1）=0，
（Ⅱ）∵f（1）=0，
∴f（x﹣1）＜0 f（x﹣1）＜f（1）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴
∴1＜x＜2，
则原不等式的解集为（1，2）．
　
18．已知f（x）=x，f（﹣2）=10，求f（2）．
【考点】函数的值．
【分析】f（x）中x为奇函数，设g（x）=x，则g（﹣2）=﹣g（2），由f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，知g（2）=﹣18，由此能求出f（2）．
【解答】解：f（x）中x为奇函数，
设g（x）=x，
则g（﹣x）=﹣g（x），∴g（﹣2）=﹣g（2），
∵f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，
∴g（﹣2）=18，∴g（2）=﹣18，
∴f（2）=g（2）﹣8=﹣26．
　
19．已知tan（+α）=．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．
【分析】（Ⅰ）求tanα的值可有变换出关于tanα的方程，解方程求值．
（II）方法一：求的值可以将其变成由角的正切表示的形式，将（Ⅰ）中求出的正切值代入求值．
方法二：利用同角三角函数的基本关系求出角α的正弦值与余弦值，
【解答】解：（Ⅰ）解：，
由，有，解得；
（Ⅱ）解法一：
==tanα﹣=﹣﹣=﹣．
解法二：由（1），，得
∴，∴
于是，
代入得．
　
20．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数关系将f（x）=4cosxsin（x+）﹣1转化为f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1
=4cosx（sinx+cosx）﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期T==π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
﹣1≤2sin（2x+）≤2．
∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．
　
21．已知α∈（0，），β∈（，π）且sin（α+β）=，cosβ=﹣．求sinα．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】先求出cos（α+β）=﹣，sinβ=．利用同角三角函数关系求值时要判断角的终边所在的象限，来确定三角函数值的符号，此是正确求值的关键，由于α=α+β﹣β，故sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，将各角的三角函数值代入求sinα．
【解答】解：∵β∈（，π），cosβ=﹣，∴sinβ=．
又∵0＜α＜，＜β＜π，
∴＜α+β＜，又sin（α+β）=，
∴＜α+β＜π，
cos（α+β）=﹣
=﹣=﹣，
∴sinα=sin[（α+β）﹣β]
=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ
= （﹣）﹣（﹣）
=．
　
22．已知tanα、tanβ是方程x2﹣4x﹣2=0的两个实根，求：cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣3sin2（α+β）的值．
【考点】弦切互化；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．
【分析】先利用韦达定理，求出tanα+tanβ和tanα tanβ的值，利用正切的两角和公式求出tan（α+β）的值；再把原式化简成关于正切的分数，最后得出结果．
【解答】解：由已知有tanα+tanβ=4，
tanα tanβ=﹣2，
∴tan（α+β）==，
∴cos2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）﹣3sin2（α+β）
=
=
=
=﹣．
　
2017年2月23日