2.2.1平方差公式同步练习
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湘教版版七年级下册数学2.2.1平方差公式同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )
A.2 B.4 C.4a D.2a2+2
2.下列各式计算正确的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-2
B.(2a+b)(-2a+b)=4a2-b2
C.(2x+3)(2x-3)=2x2-9
D.(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1
3.计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )
A.a4-1 B.a4+1 C.a4+2a2+1 D.a4-2a2+1
4. 计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
5.下列运用平方差公式计算错误的是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1
D.(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
6. 若x2+y2=86，xy=-16，则(x-y)2的值是（ ）
A.118 B.108 C.96 D.218
7.计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A.a8-b8 B.a6-b6 C.b8-a8 D.b6-a6
8. 知(m+n)2=10，(m-n)2=2，则?m4+n4?的值是（ ）。
A. 28 B. 18 C. 38 D.58
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如果x+y=-4, x-y=8,那么代数式x2-y2的值是 .
10. (a+1)(a-1)(1-a2)=_____．
11.计算:= .
12. 若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．
13.观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．
14.观察下列各式,探索发现规律:
22-1=3=1×3;
42-1=15=3×5;
62-1=35=5×7;
82-1=63=7×9;
102-1=99=9×11;…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 .
三、计算题(本大题共5小题)
15.已知：x+y=6，xy=4．(1)求x2+y2的值；(2)求(x-y)2的值；(3)求x4+y4的值
16. 已知：x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值．
17.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.21世纪教育网版权所有
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.21教育网
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
18.阅读下列材料:
某同学在计算3×(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:3×(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1.很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为2-1得(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)21·cn·jy·com
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)… (21024+1)=…
=(21024-1)(21024+1)=22048-1.
回答下列问题:
(1)请借鉴该同学的经验,计算:
(3+1)(32+1)(34+1)( 38+1).
(2)借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:
….
19.老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…www.21-cn-jy.com
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析：将a+1和a-1看成一个整体，用平方差公式解答．
解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]· [(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C.
2.D
分析：利用平方差公式进行计算解答即可判断。
解： (x+2)(x-2)=x2-4≠x2-2;
(2a+b)(-2a+b)=(b+2a)(b-2a)
=b2-4a2≠4a2-b2;
(2x+3)(2x-3)=4x2-9≠2x2-9;
(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1. 选D.
3.D
分析：此题首先利用积的乘方公式把所求代数式变为[（a+1）（a-1）]2，然后利用平方差公式化简，再利用完全平方公式即可求出结果．2·1·c·n·j·y
解：（a+1）2（a-1）2=[（a+1）（a-1）]2=（a2-1）2=a4-2a2+1．故选D．
4. A
分析：先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故选A．
5.C
分析：根据平方差得(2x+1)(2x-1)=4x2-1,所以C错误.而A,B,D符合平方差公式条件,计算正确.【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据分析可得答案选C.
6. A
分析：根据完全平方公式得到（x-y）2=x2+y2-2xy，然后把x2+y2=86，xy=-16代入计算即可．
解：∵（x-y）2=x2+y2-2xy，且x2+y2=86，xy=-16， ∴（x-y）2=86-2×（-16）=118．故选A21cnjy.com
7.C
分析：多次运用平方差公式计算即可．
解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故选C．
8. A
分析: 根据已知求出2mn的值，把m4+n4化成含有（m+n）2和2mn的形式，代入即可．
解：（m+n）2=10，（m-n）2=2，
∴m2+2mn+n2=10，m2-2mn+n2=2，
相减得：4mn=8，
∴2mn=4，
∴m4+n4
=（m2+n2）2-2（mn）2
=[（m+n）2-2mn]2-8
=[10-4]2-8
=36-8=28．故选A。
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：由题目可发现x2-y2=(x+y)(x-y),然后用整体代入法进行求解
解：因为x+y=-4,x-y=8,
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案:-32
10. 分析：根据平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出答案．
解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1；
11.分析：分析试题特点可以利用平方差来解决简单。
解：原式=
===1.答案:1
12.分析：先按照平方差公式把x2-y2=48写成（x+y）（x-y）=48的形式，再由x+y=6得出x-y的值，然后把3x-3y写成3（x-y）的形式，最好把x-y的值代入即可．
解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48， ∵x+y=6，∴x-y=8， 则3x-3y=3（x-y）=3×8=24．21·世纪*教育网
13.
分析：根据题目信息，可得：（a-1）（an+an-1+an-2+…+a2+a+1）=an+1-1，由此计算即可．
解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1； 22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1．
14.分析：观察式子,每个式子中等号左边的被减数是偶数的平方,减数都是1,等号右边是此偶数前后两个连续奇数的乘积,所以用含正整数n的等式表示其规律为(2n)2-1=(2n-1)(2n+1).www-2-1-cnjy-com
解：(2n)2-1=(2n-1)(2n+1)
三、计算题(本大题共5小题)
15.分析：（1）利用x2+y2=（x+y）2-2xy计算即可； （2）利用（x-y）2=x2+y2-2xy计算即可； （3）利用x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2计算即可．2-1-c-n-j-y
解：∵x+y=6，xy=4， ∴（1）x2+y2=（x+y）2-2xy=62-2×4=28； （2）（x-y）2=x2+y2-2xy=28-2×4=20； （3）x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2=202-2×42=368．21*cnjy*com
16.分析：由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．【来源：21cnj*y.co*m】
解：x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②， ∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42， ∴（x+y）2+（x+y）-42=0， ∴（x+y+7）（x+y-6）=0， ∴x+y+7=0或x+y-6=0， 解得：x+y=-7或x+y=6．【出处：21教育名师】
17.分析：（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2。【版权所有：21教育】
（2）根据（1）得出的值，直接可写出乘法公式。
解：(1)图1中阴影部分面积为S1=a2-b2;图2中阴影部分面积为S2=(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).21教育名师原创作品
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
18.解：(1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)=(38-1)(38+1)
=(316-1).
(2)…
=…
=××××…××
=×=.
19.解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数． (3)证明：设m， n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
一、选择题(本大题共8小题)
1.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )
A.2 B.4 C.4a D.2a2+2
2.下列各式计算正确的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-2
B.(2a+b)(-2a+b)=4a2-b2
C.(2x+3)(2x-3)=2x2-9
D.(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1
3.计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )
A.a4-1 B.a4+1 C.a4+2a2+1 D.a4-2a2+1
4. 计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
5.下列运用平方差公式计算错误的是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1
D.(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
6. 若x2+y2=86，xy=-16，则(x-y)2的值是（ ）
A.118 B.108 C.96 D.218
7.计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A.a8-b8 B.a6-b6 C.b8-a8 D.b6-a6
8. 知(m+n)2=10，(m-n)2=2，则?m4+n4?的值是（ ）。
A. 28 B. 18 C. 38 D.58
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如果x+y=-4, x-y=8,那么代数式x2-y2的值是 .
10. (a+1)(a-1)(1-a2)=_____．
11.计算:= .
12. 若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．
13.观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．
14.观察下列各式,探索发现规律:
22-1=3=1×3;
42-1=15=3×5;
62-1=35=5×7;
82-1=63=7×9;
102-1=99=9×11;…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 .
三、计算题(本大题共5小题)
15.已知：x+y=6，xy=4．(1)求x2+y2的值；(2)求(x-y)2的值；(3)求x4+y4的值
16. 已知：x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值．
17.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.21世纪教育网版权所有
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.21教育网
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
18.阅读下列材料:
某同学在计算3×(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:3×(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1.很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为2-1得(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)21·cn·jy·com
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)… (21024+1)=…
=(21024-1)(21024+1)=22048-1.
回答下列问题:
(1)请借鉴该同学的经验,计算:
(3+1)(32+1)(34+1)( 38+1).
(2)借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:
….
19.老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…www.21-cn-jy.com
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析：将a+1和a-1看成一个整体，用平方差公式解答．
解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]· [(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C.
2.D
分析：利用平方差公式进行计算解答即可判断。
解： (x+2)(x-2)=x2-4≠x2-2;
(2a+b)(-2a+b)=(b+2a)(b-2a)
=b2-4a2≠4a2-b2;
(2x+3)(2x-3)=4x2-9≠2x2-9;
(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1. 选D.
3.D
分析：此题首先利用积的乘方公式把所求代数式变为[（a+1）（a-1）]2，然后利用平方差公式化简，再利用完全平方公式即可求出结果．2·1·c·n·j·y
解：（a+1）2（a-1）2=[（a+1）（a-1）]2=（a2-1）2=a4-2a2+1．故选D．
4. A
分析：先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故选A．
5.C
分析：根据平方差得(2x+1)(2x-1)=4x2-1,所以C错误.而A,B,D符合平方差公式条件,计算正确.【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据分析可得答案选C.
6. A
分析：根据完全平方公式得到（x-y）2=x2+y2-2xy，然后把x2+y2=86，xy=-16代入计算即可．
解：∵（x-y）2=x2+y2-2xy，且x2+y2=86，xy=-16， ∴（x-y）2=86-2×（-16）=118．故选A21cnjy.com
7.C
分析：多次运用平方差公式计算即可．
解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故选C．
8. A
分析: 根据已知求出2mn的值，把m4+n4化成含有（m+n）2和2mn的形式，代入即可．
解：（m+n）2=10，（m-n）2=2，
∴m2+2mn+n2=10，m2-2mn+n2=2，
相减得：4mn=8，
∴2mn=4，
∴m4+n4
=（m2+n2）2-2（mn）2
=[（m+n）2-2mn]2-8
=[10-4]2-8
=36-8=28．故选A。
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：由题目可发现x2-y2=(x+y)(x-y),然后用整体代入法进行求解
解：因为x+y=-4,x-y=8,
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案:-32
10. 分析：根据平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出答案．
解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1；
11.分析：分析试题特点可以利用平方差来解决简单。
解：原式=
===1.答案:1
12.分析：先按照平方差公式把x2-y2=48写成（x+y）（x-y）=48的形式，再由x+y=6得出x-y的值，然后把3x-3y写成3（x-y）的形式，最好把x-y的值代入即可．
解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48， ∵x+y=6，∴x-y=8， 则3x-3y=3（x-y）=3×8=24．21·世纪*教育网
13.
分析：根据题目信息，可得：（a-1）（an+an-1+an-2+…+a2+a+1）=an+1-1，由此计算即可．
解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1； 22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1．
14.分析：观察式子,每个式子中等号左边的被减数是偶数的平方,减数都是1,等号右边是此偶数前后两个连续奇数的乘积,所以用含正整数n的等式表示其规律为(2n)2-1=(2n-1)(2n+1).www-2-1-cnjy-com
解：(2n)2-1=(2n-1)(2n+1)
三、计算题(本大题共5小题)
15.分析：（1）利用x2+y2=（x+y）2-2xy计算即可； （2）利用（x-y）2=x2+y2-2xy计算即可； （3）利用x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2计算即可．2-1-c-n-j-y
解：∵x+y=6，xy=4， ∴（1）x2+y2=（x+y）2-2xy=62-2×4=28； （2）（x-y）2=x2+y2-2xy=28-2×4=20； （3）x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2=202-2×42=368．21*cnjy*com
16.分析：由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．【来源：21cnj*y.co*m】
解：x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②， ∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42， ∴（x+y）2+（x+y）-42=0， ∴（x+y+7）（x+y-6）=0， ∴x+y+7=0或x+y-6=0， 解得：x+y=-7或x+y=6．【出处：21教育名师】
17.分析：（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2。【版权所有：21教育】
（2）根据（1）得出的值，直接可写出乘法公式。
解：(1)图1中阴影部分面积为S1=a2-b2;图2中阴影部分面积为S2=(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).21教育名师原创作品
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
18.解：(1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)=(38-1)(38+1)
=(316-1).
(2)…
=…
=××××…××
=×=.
19.解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数． (3)证明：设m， n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．