陕西省黄陵中学2016-2017学年高二下学期开学考试数学（理）试题（普通班） Word版含答案

高二普通班第二学期开学考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.在锐角中，，其面积，则（
）
A．5
B．或
C．
D．
2.关于实数的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
3.过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则（
）
A．16
B．12
C．10
D．8
4．已知命题p：x∈R，2x2+2x+<0，命题q：x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是　(　　)
A．p是真命题
B．q是假命题
C．p是假命题
D．
q是假命题
5．一动圆P过定点M
(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是　(　　)
A．
B．
C．
D．
6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是　(　　)
A．(-1，1，0)
B．(1，-1，0)
C．(0，-1，1)
D．(-1，0，1)
7.已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8.直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）
A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1
B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1
C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1
D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1
11．如图，是一程序框图，则输出结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（　　）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若抛物线y =-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，
它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.
14．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆
交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______
15.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若，则
.
16.如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于，已知（面）是绕旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面平面；②面；③三棱锥的体积最大值为；④动点在平面上的射影在线段上；⑤二面角的平面角的取值范围是.
其中正确的命题是
（写出所有正确命题的编号）.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.
⑴命题为真命题，求实数的取值范围；
⑵若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.
18（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，且成等比数列，公比不为1.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和.
19.（12分）如图（1），在平行四边形中，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．
21、（12分）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．
22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆相交于点.
⑴求抛物线的方程；
⑵过点是否存在直线与椭圆交于两点，且以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
D
C
B
A
C
A
C
B
D
填空题
（-9,6）或（-9，-6）
14.
15.
16.①②③④
⑴⑵或
⑴⑵
19、（12分）证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，
且.
在图（1）中，取中点，连结，
故是等边三角形，
所以，
同理可得，
又因为，
所以，
又因为，所以.
（Ⅱ）由已知得，，
所以，故，
如图（2），分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
得，.
设平面的法向量，
，，
由得，
令，得，，
所以平面的一个法向量.
设平面的法向量，
，，
由得，
令，得，，
所以平面的一个法向量为.
于是，
因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20.证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．
则AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA 平面BMD，OM 平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，2，2），B（4，0，0），D（0，4，0），
=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），
设平面BPD的法向量=（x，y，z），
则，
取x=1，得=（1，1，），
平面ABD的法向量=（0，0，1），
设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为．
21.【解析】(Ⅰ)依题意得＝，·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，由此解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为
＋＝1.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内．证明如下：
方法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x0，y0)．
∵M点在椭圆上，∴y02＝(4－x02)．　①
又点M异于顶点A、B，∴－2由P、A、M三点共线可以得P.
从而＝(x0－2，y0),
＝.
∴·＝2x0－4＋＝(x02－4＋3y02)．　②
将①代入②，化简得·＝(2－x0)．
∵2－x0>0，∴·>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．
方法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则－2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|2－|MN|2＝＋－
＝(x1－2)
(x2－2)＋y1y2　③
直线AP的方程为y＝(x＋2)，直线BP的方程为y＝(x－2)，
而两直线AP与BP的交点P在直线x＝4上，
∴＝，即y2＝　④
又点M在椭圆上，则＋＝1，即y12＝(4－x12)　⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2－|MN|2＝(2－x1)(x2－2)<0.
从而点B在以MN为直径的圆内．
22.⑴
⑵若垂直于轴，不符合.
设正方形第三个顶点坐标为
令，代入得
所以
则线段的中垂线方程为
所以.
因为，得
即，由代入得
所以直线方程为.