第18章勾股定理单元检测
图片预览
文档简介
沪科版八年级下第18章勾股定理单元检测
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题）
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，那么BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）21教育网
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
在直角坐标系中，点P（2，﹣3）到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．2
若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是（ ）
A． 7cm B． 10cm C． cm D． 12cm
如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（ ）www.21-cn-jy.com
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
如图，若∠ABC=∠ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12，则AD=（ ）
A．5 B．13 C．17 D．18
如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（ ）【出处：21教育名师】
A．2 B．2 C．2+2 D．2+2
如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）21教育名师原创作品
A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C． （b+a）2 D． a2+2ab
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．cm C．cm D．cm
、填空题（本大题共8小题）
直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为 ，斜边上的高为 ．
如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．
一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为 ．
如图，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且AB=10，BC=6，则CE= .
一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 km．21*cnjy*com
等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于 ；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．2-1-c-n-j-y
如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上：
①若点P为BC的中点，且m=AP2+BP?PC，则m的值为 ；
②若BC边上有2015个不同的点P1，P2，…，P2015，且相应的有m1=AP12+BP1?P1C，m2=AP22+BP2?P2C，…，m2015=AP20152+BP2015?P2015C，则m1+m2+…+m2015的值为 ．
、解答题（本大题共8小题）
图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段．
如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以160海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以120海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【来源：21cnj*y.co*m】
已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．
某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮。
（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM:AN=8:9，问通道的宽是多少？
（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积。
如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.
(1)求证：BM=MN;
(2),AC平分,AC=2,求BN的长。
已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
如图，已知△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a（a＜8）个单位到△DEF的位置．
（1）求△ABC的BC边上的高；
（2）连结AE、AD，设AB=5．
①求线段DF的长；
②当△ADE是等腰三角形时，求a的值．
沪科版八年级下第18章勾股定理单元检测答案解析
、选择题
1.【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A．12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选C．
2.【分析】根据勾股定理即可求出结论．
解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴AB2=AC2+BC2，
∴BC=6．
故选择C．
3.【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
4.【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC==2，
AC==，
AB==，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
5.【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．21cnjy.com
【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30（海里）
故选：D．
6.【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（2，﹣3），
∴PE=3，OE=2，
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2=PE2+OE2=9+4=13，
∴OP=．
故选：C．
7. 分析：设直角三角形的两条直角边为a、b，由面积为6cm2，得出ab=6，进一步由勾股定理得出a2+b2=52，两个式子联立求得a+b即可算出结果．
解：设直角三角形的两条直角边为a、b，
则ab=6，则2ab=24，
又a2+b2=52，
则（a+b）2=49，
a+b=7，
所以该直角三角形的周长是7+5=12cm．
故选：D．
8.【分析】由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．
解：设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴+=，化简得，a2+b2=c2，
∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
故选B．
【点评】本题通过化简已知条件中的较小的两个半圆面积之和与较大的半圆面积的表达式，得到（2a）2+（2b）2=（2c）2，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．
9.【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC==5，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD==13，
故选B．
10.【分析】要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值．根据勾股定理即可得．
【解答】解：过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，
此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．
连接CB′，易证CB′⊥BC，
根据勾股定理可得DB′==2，
则△BDE周长的最小值为2+2．
故选C．
11.分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）?b
=b2+（b﹣a）2．
故选：A．
12.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．21世纪教育网版权所有
解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=13（Cm）．
故选：A．
、填空题
13.【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：由勾股定理可得：AB2=52+122，
则AB=13，
直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，
可得：斜边的高CD=．
故答案为：13，．
14.【分析】先连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，可求出AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，
∴AC===10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．
故答案为：96．
15.【分析】根据题意画出图形，首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
解：∵侧面对角线BC2=32+42=25，
∴CB==5，
∵AC=12，
∴AB===13，
∴空木箱能放的最大长度为13．
故答案为：13．
16.【分析】利用垂直得到∠ACB=∠AED=90°，则∠B+∠BAC=90°，再根据等角的余角相等得到∠B=∠DAE，然后根据全等三角形的判定方法得到△ABC≌△DAE，于是BC=AE=6， 再根据勾股定理可计算出AC=6，最后利用CE=AC-AE进行计算即可．
【解析】 ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ACB=∠AED=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAC+∠DAE=90°， ∴∠B=∠DAE， 在△ABC和△DAE中 ∴△ABC≌△DAE， ∴BC=AE， 而BC=6， ∴AE=6， 在Rt△ABC中，AC==8， ∴CE=AC-AE=8-6=2． 故答案为2．21·cn·jy·com
17.【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1km=16km，
BC=12×1km=12km．
则AB=20km
故答案为 20．
18.【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．2·1·c·n·j·y
【解答】解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB﹣AD=5﹣4=1，
在Rt△BDC中，CD=3， BD=1，
根据勾股定理得：BC==；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，
根据勾股定理得：BC==3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，
根据勾股定理得：BD==4，
∴BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
19.【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AE==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
20.【分析】①根据勾股定理，可得答案；
②根据勾股定理，可得AB2=AD2+BD2，AP12=AD2+P1D2，根据平方差公式，可得AB2﹣AP12=BD2﹣P1D2=（BD+P1D）（BD﹣P1D）=P1C?BP1，根据等式的性质，可得m2=AB2=AP22+BP2?P2C=4，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：①∵AB=AC，P是BC的中点，
∴AP⊥BC
∴m=AB2=AP2+BP2=AP2+BP?CP=4；
②如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD．
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①
在Rt△APD中，AP12=AD2+P1D2②
①﹣②得：AB2﹣AP12=BD2﹣P1D2=（BD+P1D）（BD﹣P1D）=P1C?BP1，
∴m1=AB2=AP12+BP1?P1C=4，
同理：m2=AB2=AP22+BP2?P2C=4，
m3=AB2=AP32+BP3?P3C
…
m1+m2+…+m2015=4×2015=8060．
故答案为：4，8060．
、解答题
21.【分析】（1）画两个直角边长都为2的直角三角形即可；
（2）根据勾股定理，只需构造一个以2为直角边一个为3的直角边的直角三角形，斜边长度等于的线段．
解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示．
22.【分析】因为OB：AB=1：2，∠OBA为直角，可设OB=x，则AB=2x，OA=x，因为S△OAB=20=OB?AB，从而求出x的值，进而得到A点的坐标，过点B作BC⊥OA交OA于C，利用三角形OBA的面积求出OA边上的高，利用勾股定理再求出OC的长即可求出B的坐标．21*cnjy*com
解：∵OB：AB=1：2，
∴设OB=x，则AB=2x，
∴OA==x，
∵S△OAB=20=OB?AB，
∴20=?x?2x，
∴x2=20，
∴x=2，
∴OA=×2=10，
∴点A的坐标是（10，0）；
过点B作BC⊥OA交OA于C，
∵S△AOB=AO?BC=20，
∴BC=4，
∵B在第四象限，
∴B的纵坐标为﹣4，
∵OB=2，BC=4，
∴OC==2，
∴B的横坐标是2，
∴B的坐标为（2，﹣4）．
23.【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=2，
在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF===2．
24.【分析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．
25.分析：（1）设通道的狂为xm，AM=8ym，由题意可得，解方程组即得；
（2）由已知可确定RQ的长为8，从而可得RP=6，由四边形RPCQ是矩形，可得PQ=10，然后利用矩形的面积的不同表示法求出RE的长，由勾股定理可求得PE的长，从而可得EF的长，即可得面积．www-2-1-cnjy-com
解：（1）设通道的宽为xm，AM=8ym，
∵AM：AN=8：9，
∴AN=9y，
∴，
解得：．
答：通道的宽是1m；
（2）∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP=8，则AB＞13，不合题意，
∴RQ=8，
∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，
∴RP=6，
∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，
∴PQ=10，
∴RE×PQ=PR×QR=6×8，
∴RE=4.8，
∵RP2=RE2+PE2，
∴PE=3.6，
同理可得：QF=3.6，
∴EF=2.8，
∴S四边形RECF=4.8×2.8=13.44，
即花坛RECF的面积为13.44m2．，
26.解：（1）证明：在中，M、N分别是AC、CD的中点
在中，M是AC的中点 又 。
（2）解：且AC平分
由（1）知，
而由（1）知， 。
27.【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．21·世纪*教育网
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
28.分析：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，由三角形的面积公式求得△ABC的BC边上的高是8；【版权所有：21教育】
（2）①在Rt△AMB中，由勾股定理求得BM===3，得到CM=BC﹣BM=8﹣3=5，在Rt△AMC中，由勾股定理求得AC===，得到DF=AC=；②如图2当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当AD=DE时，a=5，当AE=DE时，因为AB=DE，得到AB=AE，BE=2BM=6，求得a=6；当AE=AD时，在Rt△AME中，AM=4，AE=a，ME=a﹣3，由勾股定理得：42+（a﹣3）2=a2，解得：a=，
解答： 解：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC的面积为16，BC=8，
∴×8×AM=8，∴AM=4，
∴△ABC的BC边上的高是8；
（2）①在Rt△AMB中，BM===3，
∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，
∴在Rt△AMC中，AC===，
∴DF=AC=，
②如图2当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：
当AD=DE时，a=5，
当AE=DE时，又∵AB=DE，
∴AB=AE，
∴BE=2BM=6，∴a=6；
当AE=AD时，在Rt△AME中，
AM=4，AE=a，ME=a﹣3，
由勾股定理得：42+（a﹣3）2=a2，
解得：a=，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，a的值为5或6或．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题）
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，那么BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）21教育网
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
在直角坐标系中，点P（2，﹣3）到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．2
若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是（ ）
A． 7cm B． 10cm C． cm D． 12cm
如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（ ）www.21-cn-jy.com
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
如图，若∠ABC=∠ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12，则AD=（ ）
A．5 B．13 C．17 D．18
如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（ ）【出处：21教育名师】
A．2 B．2 C．2+2 D．2+2
如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）21教育名师原创作品
A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C． （b+a）2 D． a2+2ab
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．cm C．cm D．cm
、填空题（本大题共8小题）
直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为 ，斜边上的高为 ．
如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．
一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为 ．
如图，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且AB=10，BC=6，则CE= .
一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 km．21*cnjy*com
等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于 ；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．2-1-c-n-j-y
如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上：
①若点P为BC的中点，且m=AP2+BP?PC，则m的值为 ；
②若BC边上有2015个不同的点P1，P2，…，P2015，且相应的有m1=AP12+BP1?P1C，m2=AP22+BP2?P2C，…，m2015=AP20152+BP2015?P2015C，则m1+m2+…+m2015的值为 ．
、解答题（本大题共8小题）
图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段．
如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以160海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以120海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【来源：21cnj*y.co*m】
已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．
某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮。
（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM:AN=8:9，问通道的宽是多少？
（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积。
如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.
(1)求证：BM=MN;
(2),AC平分,AC=2,求BN的长。
已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
如图，已知△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a（a＜8）个单位到△DEF的位置．
（1）求△ABC的BC边上的高；
（2）连结AE、AD，设AB=5．
①求线段DF的长；
②当△ADE是等腰三角形时，求a的值．
沪科版八年级下第18章勾股定理单元检测答案解析
、选择题
1.【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A．12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选C．
2.【分析】根据勾股定理即可求出结论．
解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴AB2=AC2+BC2，
∴BC=6．
故选择C．
3.【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
4.【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC==2，
AC==，
AB==，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
5.【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．21cnjy.com
【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30（海里）
故选：D．
6.【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（2，﹣3），
∴PE=3，OE=2，
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2=PE2+OE2=9+4=13，
∴OP=．
故选：C．
7. 分析：设直角三角形的两条直角边为a、b，由面积为6cm2，得出ab=6，进一步由勾股定理得出a2+b2=52，两个式子联立求得a+b即可算出结果．
解：设直角三角形的两条直角边为a、b，
则ab=6，则2ab=24，
又a2+b2=52，
则（a+b）2=49，
a+b=7，
所以该直角三角形的周长是7+5=12cm．
故选：D．
8.【分析】由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．
解：设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴+=，化简得，a2+b2=c2，
∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
故选B．
【点评】本题通过化简已知条件中的较小的两个半圆面积之和与较大的半圆面积的表达式，得到（2a）2+（2b）2=（2c）2，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．
9.【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC==5，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD==13，
故选B．
10.【分析】要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值．根据勾股定理即可得．
【解答】解：过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，
此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．
连接CB′，易证CB′⊥BC，
根据勾股定理可得DB′==2，
则△BDE周长的最小值为2+2．
故选C．
11.分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）?b
=b2+（b﹣a）2．
故选：A．
12.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．21世纪教育网版权所有
解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=13（Cm）．
故选：A．
、填空题
13.【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：由勾股定理可得：AB2=52+122，
则AB=13，
直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，
可得：斜边的高CD=．
故答案为：13，．
14.【分析】先连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，可求出AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，
∴AC===10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．
故答案为：96．
15.【分析】根据题意画出图形，首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
解：∵侧面对角线BC2=32+42=25，
∴CB==5，
∵AC=12，
∴AB===13，
∴空木箱能放的最大长度为13．
故答案为：13．
16.【分析】利用垂直得到∠ACB=∠AED=90°，则∠B+∠BAC=90°，再根据等角的余角相等得到∠B=∠DAE，然后根据全等三角形的判定方法得到△ABC≌△DAE，于是BC=AE=6， 再根据勾股定理可计算出AC=6，最后利用CE=AC-AE进行计算即可．
【解析】 ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ACB=∠AED=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAC+∠DAE=90°， ∴∠B=∠DAE， 在△ABC和△DAE中 ∴△ABC≌△DAE， ∴BC=AE， 而BC=6， ∴AE=6， 在Rt△ABC中，AC==8， ∴CE=AC-AE=8-6=2． 故答案为2．21·cn·jy·com
17.【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1km=16km，
BC=12×1km=12km．
则AB=20km
故答案为 20．
18.【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．2·1·c·n·j·y
【解答】解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB﹣AD=5﹣4=1，
在Rt△BDC中，CD=3， BD=1，
根据勾股定理得：BC==；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，
根据勾股定理得：BC==3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，
根据勾股定理得：BD==4，
∴BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
19.【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AE==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
20.【分析】①根据勾股定理，可得答案；
②根据勾股定理，可得AB2=AD2+BD2，AP12=AD2+P1D2，根据平方差公式，可得AB2﹣AP12=BD2﹣P1D2=（BD+P1D）（BD﹣P1D）=P1C?BP1，根据等式的性质，可得m2=AB2=AP22+BP2?P2C=4，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：①∵AB=AC，P是BC的中点，
∴AP⊥BC
∴m=AB2=AP2+BP2=AP2+BP?CP=4；
②如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD．
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①
在Rt△APD中，AP12=AD2+P1D2②
①﹣②得：AB2﹣AP12=BD2﹣P1D2=（BD+P1D）（BD﹣P1D）=P1C?BP1，
∴m1=AB2=AP12+BP1?P1C=4，
同理：m2=AB2=AP22+BP2?P2C=4，
m3=AB2=AP32+BP3?P3C
…
m1+m2+…+m2015=4×2015=8060．
故答案为：4，8060．
、解答题
21.【分析】（1）画两个直角边长都为2的直角三角形即可；
（2）根据勾股定理，只需构造一个以2为直角边一个为3的直角边的直角三角形，斜边长度等于的线段．
解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示．
22.【分析】因为OB：AB=1：2，∠OBA为直角，可设OB=x，则AB=2x，OA=x，因为S△OAB=20=OB?AB，从而求出x的值，进而得到A点的坐标，过点B作BC⊥OA交OA于C，利用三角形OBA的面积求出OA边上的高，利用勾股定理再求出OC的长即可求出B的坐标．21*cnjy*com
解：∵OB：AB=1：2，
∴设OB=x，则AB=2x，
∴OA==x，
∵S△OAB=20=OB?AB，
∴20=?x?2x，
∴x2=20，
∴x=2，
∴OA=×2=10，
∴点A的坐标是（10，0）；
过点B作BC⊥OA交OA于C，
∵S△AOB=AO?BC=20，
∴BC=4，
∵B在第四象限，
∴B的纵坐标为﹣4，
∵OB=2，BC=4，
∴OC==2，
∴B的横坐标是2，
∴B的坐标为（2，﹣4）．
23.【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=2，
在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF===2．
24.【分析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．
25.分析：（1）设通道的狂为xm，AM=8ym，由题意可得，解方程组即得；
（2）由已知可确定RQ的长为8，从而可得RP=6，由四边形RPCQ是矩形，可得PQ=10，然后利用矩形的面积的不同表示法求出RE的长，由勾股定理可求得PE的长，从而可得EF的长，即可得面积．www-2-1-cnjy-com
解：（1）设通道的宽为xm，AM=8ym，
∵AM：AN=8：9，
∴AN=9y，
∴，
解得：．
答：通道的宽是1m；
（2）∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP=8，则AB＞13，不合题意，
∴RQ=8，
∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，
∴RP=6，
∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，
∴PQ=10，
∴RE×PQ=PR×QR=6×8，
∴RE=4.8，
∵RP2=RE2+PE2，
∴PE=3.6，
同理可得：QF=3.6，
∴EF=2.8，
∴S四边形RECF=4.8×2.8=13.44，
即花坛RECF的面积为13.44m2．，
26.解：（1）证明：在中，M、N分别是AC、CD的中点
在中，M是AC的中点 又 。
（2）解：且AC平分
由（1）知，
而由（1）知， 。
27.【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．21·世纪*教育网
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
28.分析：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，由三角形的面积公式求得△ABC的BC边上的高是8；【版权所有：21教育】
（2）①在Rt△AMB中，由勾股定理求得BM===3，得到CM=BC﹣BM=8﹣3=5，在Rt△AMC中，由勾股定理求得AC===，得到DF=AC=；②如图2当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当AD=DE时，a=5，当AE=DE时，因为AB=DE，得到AB=AE，BE=2BM=6，求得a=6；当AE=AD时，在Rt△AME中，AM=4，AE=a，ME=a﹣3，由勾股定理得：42+（a﹣3）2=a2，解得：a=，
解答： 解：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC的面积为16，BC=8，
∴×8×AM=8，∴AM=4，
∴△ABC的BC边上的高是8；
（2）①在Rt△AMB中，BM===3，
∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，
∴在Rt△AMC中，AC===，
∴DF=AC=，
②如图2当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：
当AD=DE时，a=5，
当AE=DE时，又∵AB=DE，
∴AB=AE，
∴BE=2BM=6，∴a=6；
当AE=AD时，在Rt△AME中，
AM=4，AE=a，ME=a﹣3，
由勾股定理得：42+（a﹣3）2=a2，
解得：a=，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，a的值为5或6或．