鲁教版初中数学七年级上册第六章第二节
《一次函数》教学设计
荣成市第三十七中学 孙向阳
一、教材分析
（1）教材的内容、地位和作用
本节内容是山东教育出版社出版的义务教育教科书《数学》七年级上册第六章第二节，一次函数属于《数学课程标准》中“数与代数”领域，是最基本的、最简单的函数。在此之前，学生已经学习了函数，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节课是在学生掌握了函数的概念的基础上，进一步地分析情境中量与量之间的关系，从而抽象出函数关系，让学生认识理解一次函数和正比例函数的概念以及它们之间的关系，为后面进一步学习一次函数的图像和性质以及一次函数的应用做铺垫。它是整个函数中起承上启下作用的核心知识之一。本节内容还是学生进一步体会“函数思想”“类比思想”“数形结合思想”的很好素材。因此，在初中数学“函数与分析”中，起着重要的地位。2·1·c·n·j·y
（2）教材的比较、分析与整合
旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正、反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的。这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接。新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数。为什么这样安排呢？
第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。21·世纪*教育网
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。www-2-1-cnjy-com
二、学情分析
（1）从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的关注或表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。2-1-c-n-j-y
（2）在六年级下学期学生已经探索了变量之间的关系，在此基础上，本章第一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数，让学生体验到函数的变化思想。在这种情况下，进一步研究其中最简单的一种函数：—次函数，可能有部分学生表述上还不太规范。所以在教学中，教师要注意随时关注学生的学习状态，纠正学生的一些错误习惯，培养学生良好的书写习惯。21*cnjy*com
三、教学目标
1.能从实际问题中得到函数关系式，学会积累函数的建模思想；
2.能对不同背景下函数模型（关系式）的比较，抽象出一次函数和正比例函数的概念，发展抽象思维及概括能力；【来源：21·世纪·教育·网】
3.初步理解一次函数与正比例函数的概念；
4.知道一次函数与正比例函数的联系和区别，体验特殊和一般的辩证关系；
5.会判断两个变量之间的关系是一次函数还是正比例函数；
6.能根据问题信息，确定一次函数与正比例函数的表达式，提升数学应用能力；
7.会根据一次函数与正比例函数的概念，求字母的取值；
8.在一次函数和正比例函数概念的形成与应用过程中, 体验函数与人类生活的密切联系，增强对函数学习的求知。感受合作交流的必要性，同时提高学生的观察、抽象、概括的能力和语言表达能力，从而培养学生对学习数学的兴趣。【来源：21cnj*y.co*m】
四、教学重、难点
1.重点：
（1）一次函数、正比例函数的概念及关系；
（2）会根据已知信息写出一次函数的表达式。
2.难点：
（1）根据实际情景写出一次函数的表达式；
（2）应用一次函数知识解决实际问题。
3.突出重点的措施：
（1）通过大量的具体实例，归纳建立正比例函数、一次函数的概念；
（2）通过探究、解决问题，提高学生“根据已知信息写出一次函数的表达式”的能力。
4.突破难点的策略：
①在新知的导入上，通过大量的具体实例，归纳出一类用y=kx+b表示的函数，建立正比例函数、一次函数的概念。【出处：21教育名师】
②提供丰富多彩的生活素材，设计情境，以沟通一次函数与正比例函数的关系，并引导学生从一次函数知识的“内部”加以解释，让学生初步感受正比例函数是一次函数的特例。【版权所有：21教育】
③通过教学环节进一步巩固建立一次函数、正比例函数所表示的变化与对应思想。
④通过多媒体课件展示问题情境、自主探索、合作交流等形式突破建立一次函数的难点。
五、教法与学法
基于本节课的特点：本节课在教法上体现教师的“启发、引导”，帮助学生实现认识上与态度上的跨越；在学法上突出学生自主探究、合作交流基础上的探索、类比、发现，即在教学过程中立足于让学生自主的基础上的合作，在观察、类比、发现、探究中学习。其理论依据是以数学的课程理念、教育理论为依据，以课程目标为导向，突出教师的主导地位、学生的主体地位，体现教师的引导和学生练习的有机结合。21教育名师原创作品
六、评价设计
1.通过对问题1、2的讨论、分析检测目标1的达成。
2.通过对问题3的讨论、分析检测目标2的达成。
3.通过对例题1与问题1、2、3的解答检测目标3、4、5的达成。
4.通过对例题2、3、4的解答检测目标6、7的达成。
5.通过对问题1、2、3及例题1、2、3、4、5的解答检测目标8的达成。
七、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、利用生活实例，创设情境导入新课（10分钟）
出示课件：
问题1 某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
问题2 某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。
(1)完成下表：
路程x/km
0
50
100
150
200
300
余油量y/L
（2）你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x之间的关系吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x之间的关系吗？
问题3
将“问题一”和“问题二”的三个函数关系式填入表格中，并完成表格相关内容：
函数解析式
自变量
因变量（函数）
常数
（常量）
（1）
（2）
（3）
学生课前预习，独立完成作业。
学生在小组内合作交流,完成填表后，，统一对问题的认识，派出代表给出答案。
课前预习：
从学生比较熟悉的情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发, 使学生逐步加深对函数概念的理解，也为导出一次函数、正比例函数概念做好铺垫。在情境中设计了一个填表活动，一方面让学生感受到x的变化引起y的变化情况，另一方面让学生体会到建立函数表达式反映变化与对应的联系的意义与必要性。
通过函数关系式，引导学生在思考、对比、分析、类比、迁移中，亲身经历一次函数的概念的构建过程，有利于学生数学思维的形成。
二、入情入境，在归纳总结中抽象概念（10分钟）
三、拓展练习,在类比中应用（15分钟）
说明：此过程中，教师要参与学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，了解同学质疑，并适时点拨，共同概括出一次函数的概念。
因此我们得到一次函数的概念如下：（板书）
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
提问：上述一次函数的定义中，限制了k≠0，那么b能否为0呢？若b=0，上述式子变形为什么样？
由问题总结， 板 书：
特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。
教师向学生进一步说明：
通过一次函数和正比例函数的定义，
判断y=kx+b是一次函数需要具备哪些条件？
判断y=kx+b是正比例函数需要具备哪些条件？
我们学习了一次函数和正比例函数的概念，下面我们来看下面的练习：（出示课件）
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）；y是x的正比例函数的是（ ）
①y=；②y=；③y=；④y=3x；⑤y=4x2-8
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（km）与行驶时间x（h）之间的关系式；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y（cm）。
例3：已知变量x、y之间的关系式是y= (k-2)x+2k+1,（其中k是常数）y是x的一次函数吗？k满足什么条件时，y是x的一次函数？k满足什么条件时，y是x的正比例函数？
例4：已知函数y= (m-3)x+m+2
①当m= 时，y是x的一次函数；
②当m= 时，y是x的正比例函数；
学生通过教师的提问引起思维冲突，在思考中理解正比例函数是特殊的一次函数。
学生大胆发言，互相补充。
例1以抢答的方式进行，看谁反应得快。
学生板书例2的答案。
学生独立思考，同桌交流，通过展示检查反馈各组学生对一次函数的概念的理解情况。
通过问题的设置引出正比例函数的概念，同时，让学生体会到正比例函数是特殊的一次函数。体验特殊和一般的辩证关系。
通过引导学生动脑思考，培养学生思维的灵活性和深刻性，充分体会一次函数标准形式的表示方法，为以后学习一次函数的图象和性质打下良好的基础。
遵循学生的认知规律，多角度，多层次、由浅入深地设置习题，在类比中应用，在应用中加深学生对一次函数概念的理解。
四、小结归纳，在反思中升华（4分钟）
五、评价检测，在体验中成功（5分钟）
例5：2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3％的所得税……如果某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3％=10.8（元）。
（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。
（2）某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
说明：教师要深入学生中间，参与讨论、点拨、点评。通过抽查小组同学的学习情况检查反馈各组学生对一次函数的概念的理解情况。对完成得好的小组或个人加以表扬鼓励。
收获与反思
通过本节课的学习：
（1）今天我学习了什么内容？
（2）我最大的收获是什么？
（3）我还有什么不懂的地方？
评价与检测
1.下列函数中是一次函数的是（ ）；是正比例函数的是（ ）。
①y =-8x ②y = ③y =5x2+6 ④ y=-3x-1
2.用100元去买单价为8元的书，则剩余的钱y（元）与买这种书的本数x之间的函数关系式是 ；y是x的 函数。
3.已知函数y=，
①当m 时，y是x的一次函数；
②当m 时，y是x的正比例函数。
学生通过例5的学习，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，感悟函数的思想。
学生围绕着对自身感触最大的方面进行交流，以获得情感、态度、价值观的升华。
学生独立完成，仔细检查。
通过现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,让学生体会数学的广泛应用,充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展。
学生在小结归纳的基础上，能及时将新知识纳入已有的知识系统，并进一步加深对一次函数概念的理解的基础上体会概念间的内在联系。
检查学生对知识的掌握情况，检查课堂达标率。
第1题主要检测目标3的达成。
第2题主要检测目标1、3的达成。
第3题主要检测目标3、7的达成。
六、完成作业，在类比中拓展(1分钟)
基本达标题：（知识技能）课本151页：1、2；
能力提升题：（问题解决）课本151页：3；
作业的设计突出一个层次性，满足不同基础水平学生的需要，使不同的人在数学上得到不同的发展。
作业（1）是为巩固对一次函数概念的理解，作业（2）是为以后学习一次函数应用做好铺垫，同时也是类比的学习方法应用中，进一步体会“类比思想”。
板书
设计
一次函数
1.一次函数的定义：y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
b=0
正比例函数的定义：y=kx(k是常数，k≠0)
正比例函数
2.条件：判断函数y=kx+b是一次函数的条件：
判断函数y=kx+b是正比例函数的条件：
附件：
一次函数导学案
荣成市第三十七中学 孙向阳
学习目标
1．理解一次函数、正比例函数的概念，以及它们之间的相互关系；
2．能根据已知条件确定函数表达式，会判断两个变量之间是否是一次（正比例）函数关系；
3．能用一次函数解决简单的实际问题；
学教过程：
问题与探究：
问题一：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增1
千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
问题二：某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L．
(1)完成下表：
路程x/km
0
50
100
150
200
300
剩余油量y/L
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
观察与发现
将“问题一”和“问题二”的三个函数关系式填入表格中，并完成表格：
自学指导：如果设自变量用x表示，自变量的系数用k表示，函数（因变量）用y表示，常数用b表示，你能得到什么样的函数关系式？21世纪教育网版权所有
归纳与总结
1.一次函数的定义：若两变量x、y满足 （ k,b是 ,k ）的形式，则称 是 的一次函数．（x为 ，y为 ）21教育网
当b＝0时，解析式y＝kx＋b（k≠0）变为y＝kx（k≠0）称为 是 的正比例函数．
函数是一种特殊的一次函数。
2.函数y＝kx＋b是一次函数的条件 ；
函数y＝kx＋b是正比例函数的条件： ；
巩固与应用
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）；y是x的正比例函数的是（ ）
①y=3（x-6）；②y=；③y=；④y=3x；⑤y=4x2-8
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（km）与行驶时间x（h）之间的关系式；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y（cm）
例3：已知变量x、y之间的关系式是y＝(k－2)x＋2k＋1,（其中k是常数）y是x的一次函数吗？k满足什么条件时，y是x的一次函数？k满足什么条件时，y是x的正比例函数？21cnjy.com
例4：已知函数y＝(m-3)x3-︱m︱+m+2．
①当m 时，y是x的一次函数；
②当m 时，y是x的正比例函数；
拓展与提升
例5：2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3％的所得税……如果某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3％=10.8（元）．21·cn·jy·com
（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．www.21-cn-jy.com
（2）某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
收获与反思
今天我学习了什么内容？我最大的收获是什么？我还有什么不懂的地方？
评价与检测
1.下列函数中是一次函数的是（ ）；是正比例函数的是（ ）
①y=-8x ②y= ③y=5x2+6 ④ y=-3x-1
2. 用100元去买单价为8元的书，则剩余的钱y（元）与买这种书的本数x之间的函数关系式是 ；y是x的 函数．
3．已知函数y=，
①当m 时，y是x的一次函数；
②当m 时，y是x的正比例函数；
强化与延伸
基本达标题：（知识技能）课本151页：1、2；
能力提升题：（问题解决）课本151页：3；
鲁教版初中数学七年级上册第六章第二节
《一次函数》评测练习
基础类：
1、下列说法不正确的是（ ）
A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就不一定是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就一定不是一次函数
2、（1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是____________。
（2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数。
(3 )关于x的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m应取_________。
3、根据下列条件，确定函数关系式：
（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；
（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）。
4、已知y=+,与x+2成正比，是x+1的2倍，并且当x=0时，y=4,试求函数y与x的关系式。21世纪教育网版权所有
能力提高类:
5、（2011年重庆） 当m、n为何值时，函数y=(5m－3)x2-n+(m+n)
（1）是一次函数 （2）是正比例函数
6、 (2013年安顺)点燃蜡烛，按照与时间成正比例关系变短，长21cm的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后变短ycm，求：21教育网
（1）用x表示函数y的解析式；（2）自变量的取值范围；
（3）此蜡烛几分钟燃烧完？
7、(2012年青岛)甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资。
课件11张PPT。第六章 第二节一次函数y0x鲁教版
义务教育课程标准实验教科书1．理解一次函数、正比例函数的概念，以及它们之间的相互关系；
2．能根据已知条件确定函数表达式，会判断两个变量之间是否是一次（正比例）函数关系；
3．能用一次函数解决简单的实际问题。学习目标问题二：某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L．
(1)完成下表：
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？问题与探究 问题一：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？ 将“问题一”和“问题二”的三个函数关系式填入，并完成表格：自学指导：
如果设自变量用x表示，自变量的系数用k表示，
函数（因变量）用y表示，常数用b表示，你能得到什么样的函数关系式？观察与发现 1. 定义：若两变量x、y满足y＝kx＋b（ k,b是常数,k≠0 ）的形式，则称y是x的一次函数．（x为自变量，y为因变量）
当b=0时，变成y＝kx，称y是x的正比例函数．
所以，正比例函数是一种特殊的一次函数．
2. 函数y＝kx＋b是一次函数的条件
函数y＝kx＋b是正比例函数的条件归纳与总结例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）；
y是x的正比例函数的是（ ）
①y=3（x-6）；②y= ；③y= ；④y=3x；⑤y=4x2-8
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（km）与行驶时间x（h）之间的关系式；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y（cm）巩固与应用 例3：已知变量x、y之间的关系式是y＝(k－2)x＋2k＋1,（其中k是常数）y是x的一次函数吗？k满足什么条件时，y是x的一次函数？k满足什么条件时，y是x的正比例函数？
例4：已知函数y＝(m-3)x +m+2．
①当m 时， y是x的一次函数；
②当m 时， y是x的正比例函数；巩固与应用 3-︱m︱ 例5：2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3％的所得税……如果某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3％=10.8（元）．
（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．
（2）某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？拓展与提升 今天我学了什么内容？
我最大的收获是什么？
我还有什么不懂的地方？收获与反思1.下列函数中是一次函数的是（ ）；是正比例函数的是（ ） A 、 B 、 C 、 D、2. 用100元去买单价为8元的书，则剩余的钱y（元）与买这种书的本数x之间的函数关系式是 ；y是x的 函数．
3．已知函数y= ，
①当m 时，y是x的一次函数；
②当m 时，y是x的正比例函数；评价与检测A 、DAy=100-8x 一次=1≠-1基础达标题：（知识技能）
课本151页：1、2；能力提升题：（问题解决）
课本151页：3；强化与延伸
