第19章 四边形 单元测试卷
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第19章 四边形 单元测试卷
一、选择题(每题4分,共40分)
1.正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数为( )
A.4 B.8 C.6 D.12
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
3.在?ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当?ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )21世纪教育网版权所有
①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
4.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.菱形的周长是它的高的4倍,则菱形中较大的一个角是( )
A.100° B.120° C.135° D.150°
6.以三角形一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.如图,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC的长是( )
A.20 B.15 C.10 D.5
8.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )21·cn·jy·com
A.4 B. C. D.5
9.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E,F,G分别是BD,AC,DC的中点.已知两底之差是6,两腰之和是12,则△EFG的周长是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
10.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③四边形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有( )www.21-cn-jy.com
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每题5分,共20分)
11.如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,BC,DA的中点,则四边形EGFH是______________形.?2·1·c·n·j·y
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是__________.?
13.如图,在?ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是__________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)?【来源：21·世纪·教育·网】
①∠DCF=∠BCD;
②EF=CF; ③S△BEC=2S△CEF;
④∠DFE=3∠AEF.
14.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是__________.?www-2-1-cnjy-com
三、解答题(22,23题每题9分,其余每题6分,共60分)
15.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点
O,AB=5,OA=4,求BD的长.
16.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.猜想线段CD与线段AE的位置关系和大小关系,并加以证明.21·世纪*教育网
17.如图,?ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在点F左侧),BE∥DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=2,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.
18.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF,相交于点D.21教育网
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.2-1-c-n-j-y
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
20.若a,b,c,d是四边形ABCD的四条边长,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.21*cnjy*com
21.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.【出处：21教育名师】
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.
22.如图,△ABC中,D是BC边上的一点,E为AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.【版权所有：21教育】
(1)求证:BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
23.如图①所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B,C,G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM.易证DM=FM,DM⊥FM.(不需写证明过程)21教育名师原创作品
(1)如图②,当点B,C,F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?请写出猜想,并给予证明.
(2)如图③,当点E,B,C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?请直接写出猜想.
参考答案
一、1.【答案】C 2.【答案】D
3.【答案】B
解：根据题意得,当?ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD.∴AC==5.①正确,②正确,③不正确,④正确.故选B.
4.【答案】C
解：根据从一个n边形的某个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分为(n-2)个三角形列出方程n-2=6,解得n=8.
5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】D
8.【答案】C
解：设BE=x.∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=5,∴CE=5-x,根据勾股定理得52-x2=62-(5-x)2,解得x=,∴AE==.21*cnjy*com
9.【答案】B
解：由三角形中位线定理得EG=BC,FG=AD,EF是两底之差的一半,所以△EFG的周长=×12+×6=9.
10.【答案】B
解：①正确,根据三角形的面积公式可得到结论.②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确.③正确,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得.④不正确,根据已知可求得
∠FDO=∠EDO,∠ADE=∠CDF,而无法求得∠ADE=∠EDO.⑤正确,由已知可证得△DEO≌△DFO,从而可推出此结论正确.
二、11.【答案】菱 12.【答案】5
13.【答案】①②④
解：在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD∥BC.
∵F是AD的中点,AD=2AB,∴DF=DC,∴∠DFC=∠DCF.
∵AD∥BC,∴∠DFC=∠BCF,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD,①正确;延长EF交CD的延长线于点M.∵AB∥CD,∴∠A=∠MDF.在△AEF和△DMF中,
∴△AEF≌△DMF,∴EF=FM.∵CE⊥AB,AB∥CD,∴CE⊥CD,∴CF=EM=EF,②正
确;∵EF=FM,∴S△CEF=S△CMF.∵CM>BE,∴S△BEC∠FCE=x,∴∠DCF=90°-x,∠EFC=180°-2x,∴∠DFE=90°-x+180°-2x=270°-3x.∵∠AEF=90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,④正确.
14.【答案】10
解：如图,连接DE,交AC于P',连接BP',则P'B+P'E即为PB+PE的最小值.∵四边形ABCD是正方形,∴B,D关于直线AC对
称,∴P'B=P'D,∴P'B+P'E=P'D+P'E=DE.∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,∴AD=AB=8,∴DE==10,故PB+PE的最小值是10.
三、15.解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB,AC⊥BD,
∴在Rt△AOB中,OB===3,
∴BD=2OB=6.
16.解:线段CD与线段AE的位置关系和大小关系是平行且相等.
证明:∵CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO,∠DAO=∠ECO.又
∵OA=OC,∴△ADO≌△CEO,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴CD∥AE,CD=AE.【来源：21cnj*y.co*m】
17.(1)证明:连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO.
又∵∠EOB=∠FOD,∴△BEO≌△DFO.
∴BE=DF.又BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:∵AB⊥AC,AB=4,BC=2,
∴AC=6,∴OA=3,
∴BO==5.
又∵四边形BEDF是矩形,∴OE=OB=5,
∴点E在OA的延长线上,且AE=2.
18.(1)证明:由旋转可知,∠EAF=∠BAC,AF=AC,
AE=AB.
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,
即∠BAE=∠CAF.
又∵AB=AC,∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
(2)解:∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1,
∴AC∥DE,DE=AE=AB=1.
又∵∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,
∴∠BAE=90°,
∴BE===.
∴BD=BE-DE=-1.
19.(1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分21cnjy.com
线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.
(2)解:当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形,证明如下:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于
D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.
由(1)知四边形ADCE是矩形,∴四边形ADCE是正方形.
解：(2)题答案不唯一.
20.解:四边形ABCD是菱形.理由:因为a4+b4+c4+d4=4abcd,所以a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,所以
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0,所以a2-b2=0且c2-d2=0且ab-cd=0.因为a,b,c,d是四边形ABCD的四条边长,所以a>0,b>0,c>0,d>0,所以a=b=c=d,所以四边形ABCD是菱形.
21.(1)解:∵四边形ABCD是菱
形,∴CB=CD,AB∥CD,∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠2=∠ACD,∴MC=MD.∵ME⊥CD,∴CD=2CE=2,∴BC=CD=2.
(2)证明:如图,延长DF交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCA=∠DCA,BC=CD.∵BC=2CF,CD=2CE,∴CE=CF.∵CM=CM,∴△CEM≌△CFM,∴ME=MF.∵AB∥CD,∴∠2=∠G,∠BCD=∠GBF.∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF.∵∠1=∠2,∠G=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.
分析：利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法,遇到中点延长一倍,是常见的辅助线作法.
22.(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠ECD.
又∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AFE与△DCE中,∵
∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=CD.
又∵AF=BD,∴BD=CD.
(2)解:当AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
证法一:由(1)知,D为BC的中点,又∵AB=AC,
∴AD⊥BC.
∵AF∥BC,∴∠DAF=∠ADB=90°.
∵△AFE≌△DCE(已证),∴CE=EF.
∴DE为△BCF的中位线,∴DE∥BF.
∴∠FBD=∠EDC=90°,
∴四边形AFBD是矩形.
证法二:∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
由(1)知,D为BC的中点,又∵AB=AC,
∴AD⊥BC(三线合一),即∠BDA=90°.
∴?AFBD是矩形.
23.解:(1)DM=FM,DM⊥FM.
证明:连接DF,NF.如图.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE.∴AD∥GE.
∴∠DAM=∠NEM.
∵M是AE的中点,∴AM=EM.
∵∠AMD=∠EMN,
∴△MAD≌△MEN.
∴DM=NM,AD=EN.
∵AD=CD,∴CD=EN.
∵CF=EF,∠FCD=∠FEN=90°,
∴△DCF≌△NEF.
∴DF=NF,∠CFD=∠EFN.
∵∠EFN+∠CFN=90°,
∴∠CFD+∠CFN=90°,即∠DFN=90°.
∴DM=FM,DM⊥FM.
(2)DM=FM,DM⊥FM.
一、选择题(每题4分,共40分)
1.正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数为( )
A.4 B.8 C.6 D.12
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
3.在?ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当?ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )21世纪教育网版权所有
①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
4.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.菱形的周长是它的高的4倍,则菱形中较大的一个角是( )
A.100° B.120° C.135° D.150°
6.以三角形一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.如图,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC的长是( )
A.20 B.15 C.10 D.5
8.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )21·cn·jy·com
A.4 B. C. D.5
9.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E,F,G分别是BD,AC,DC的中点.已知两底之差是6,两腰之和是12,则△EFG的周长是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
10.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③四边形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有( )www.21-cn-jy.com
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每题5分,共20分)
11.如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,BC,DA的中点,则四边形EGFH是______________形.?2·1·c·n·j·y
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是__________.?
13.如图,在?ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是__________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)?【来源：21·世纪·教育·网】
①∠DCF=∠BCD;
②EF=CF; ③S△BEC=2S△CEF;
④∠DFE=3∠AEF.
14.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是__________.?www-2-1-cnjy-com
三、解答题(22,23题每题9分,其余每题6分,共60分)
15.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点
O,AB=5,OA=4,求BD的长.
16.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.猜想线段CD与线段AE的位置关系和大小关系,并加以证明.21·世纪*教育网
17.如图,?ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在点F左侧),BE∥DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=2,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.
18.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF,相交于点D.21教育网
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.2-1-c-n-j-y
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
20.若a,b,c,d是四边形ABCD的四条边长,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.21*cnjy*com
21.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.【出处：21教育名师】
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.
22.如图,△ABC中,D是BC边上的一点,E为AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.【版权所有：21教育】
(1)求证:BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
23.如图①所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B,C,G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM.易证DM=FM,DM⊥FM.(不需写证明过程)21教育名师原创作品
(1)如图②,当点B,C,F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?请写出猜想,并给予证明.
(2)如图③,当点E,B,C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?请直接写出猜想.
参考答案
一、1.【答案】C 2.【答案】D
3.【答案】B
解：根据题意得,当?ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD.∴AC==5.①正确,②正确,③不正确,④正确.故选B.
4.【答案】C
解：根据从一个n边形的某个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分为(n-2)个三角形列出方程n-2=6,解得n=8.
5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】D
8.【答案】C
解：设BE=x.∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=5,∴CE=5-x,根据勾股定理得52-x2=62-(5-x)2,解得x=,∴AE==.21*cnjy*com
9.【答案】B
解：由三角形中位线定理得EG=BC,FG=AD,EF是两底之差的一半,所以△EFG的周长=×12+×6=9.
10.【答案】B
解：①正确,根据三角形的面积公式可得到结论.②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确.③正确,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得.④不正确,根据已知可求得
∠FDO=∠EDO,∠ADE=∠CDF,而无法求得∠ADE=∠EDO.⑤正确,由已知可证得△DEO≌△DFO,从而可推出此结论正确.
二、11.【答案】菱 12.【答案】5
13.【答案】①②④
解：在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD∥BC.
∵F是AD的中点,AD=2AB,∴DF=DC,∴∠DFC=∠DCF.
∵AD∥BC,∴∠DFC=∠BCF,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD,①正确;延长EF交CD的延长线于点M.∵AB∥CD,∴∠A=∠MDF.在△AEF和△DMF中,
∴△AEF≌△DMF,∴EF=FM.∵CE⊥AB,AB∥CD,∴CE⊥CD,∴CF=EM=EF,②正
确;∵EF=FM,∴S△CEF=S△CMF.∵CM>BE,∴S△BEC
14.【答案】10
解：如图,连接DE,交AC于P',连接BP',则P'B+P'E即为PB+PE的最小值.∵四边形ABCD是正方形,∴B,D关于直线AC对
称,∴P'B=P'D,∴P'B+P'E=P'D+P'E=DE.∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,∴AD=AB=8,∴DE==10,故PB+PE的最小值是10.
三、15.解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB,AC⊥BD,
∴在Rt△AOB中,OB===3,
∴BD=2OB=6.
16.解:线段CD与线段AE的位置关系和大小关系是平行且相等.
证明:∵CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO,∠DAO=∠ECO.又
∵OA=OC,∴△ADO≌△CEO,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴CD∥AE,CD=AE.【来源：21cnj*y.co*m】
17.(1)证明:连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO.
又∵∠EOB=∠FOD,∴△BEO≌△DFO.
∴BE=DF.又BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:∵AB⊥AC,AB=4,BC=2,
∴AC=6,∴OA=3,
∴BO==5.
又∵四边形BEDF是矩形,∴OE=OB=5,
∴点E在OA的延长线上,且AE=2.
18.(1)证明:由旋转可知,∠EAF=∠BAC,AF=AC,
AE=AB.
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,
即∠BAE=∠CAF.
又∵AB=AC,∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
(2)解:∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1,
∴AC∥DE,DE=AE=AB=1.
又∵∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,
∴∠BAE=90°,
∴BE===.
∴BD=BE-DE=-1.
19.(1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分21cnjy.com
线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.
(2)解:当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形,证明如下:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于
D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.
由(1)知四边形ADCE是矩形,∴四边形ADCE是正方形.
解：(2)题答案不唯一.
20.解:四边形ABCD是菱形.理由:因为a4+b4+c4+d4=4abcd,所以a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,所以
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0,所以a2-b2=0且c2-d2=0且ab-cd=0.因为a,b,c,d是四边形ABCD的四条边长,所以a>0,b>0,c>0,d>0,所以a=b=c=d,所以四边形ABCD是菱形.
21.(1)解:∵四边形ABCD是菱
形,∴CB=CD,AB∥CD,∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠2=∠ACD,∴MC=MD.∵ME⊥CD,∴CD=2CE=2,∴BC=CD=2.
(2)证明:如图,延长DF交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCA=∠DCA,BC=CD.∵BC=2CF,CD=2CE,∴CE=CF.∵CM=CM,∴△CEM≌△CFM,∴ME=MF.∵AB∥CD,∴∠2=∠G,∠BCD=∠GBF.∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF.∵∠1=∠2,∠G=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.
分析：利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法,遇到中点延长一倍,是常见的辅助线作法.
22.(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠ECD.
又∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AFE与△DCE中,∵
∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=CD.
又∵AF=BD,∴BD=CD.
(2)解:当AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
证法一:由(1)知,D为BC的中点,又∵AB=AC,
∴AD⊥BC.
∵AF∥BC,∴∠DAF=∠ADB=90°.
∵△AFE≌△DCE(已证),∴CE=EF.
∴DE为△BCF的中位线,∴DE∥BF.
∴∠FBD=∠EDC=90°,
∴四边形AFBD是矩形.
证法二:∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
由(1)知,D为BC的中点,又∵AB=AC,
∴AD⊥BC(三线合一),即∠BDA=90°.
∴?AFBD是矩形.
23.解:(1)DM=FM,DM⊥FM.
证明:连接DF,NF.如图.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE.∴AD∥GE.
∴∠DAM=∠NEM.
∵M是AE的中点,∴AM=EM.
∵∠AMD=∠EMN,
∴△MAD≌△MEN.
∴DM=NM,AD=EN.
∵AD=CD,∴CD=EN.
∵CF=EF,∠FCD=∠FEN=90°,
∴△DCF≌△NEF.
∴DF=NF,∠CFD=∠EFN.
∵∠EFN+∠CFN=90°,
∴∠CFD+∠CFN=90°,即∠DFN=90°.
∴DM=FM,DM⊥FM.
(2)DM=FM,DM⊥FM.