陕西省汉中市汉台区2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年陕西省汉中市汉台区高一（上）期末数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．在每小题给出的四个选项只有一个符合题意．）
1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（　　）个元素．
A．1
B．4
C．5
D．6
2．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（ UA）∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|x＜﹣1}
D．{x|x＞3}
3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（　　）
A．f（x）=x2+6x
B．f（x）=x2+8x+7
C．f（x）=x2+2x﹣3
D．f（x）=x2+6x﹣10
4．已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（　　）
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
5．已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）=x+2013
B．f（x）=﹣x+2013
C．f（x）=﹣x﹣2013
D．f（x）=x﹣2013
6．如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（　　）
A．72
B．36
C．24
D．12
7．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题，其中正确命题是
①α∥β l⊥m
②α⊥β l∥m
③l∥m α⊥β
④l⊥m α∥β
A．①与②
B．①与③
C．②与④
D．③与④
9．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（　　）
A．x+2y=0
B．2x﹣y+5=0
C．2x+y+3=0
D．x﹣2y+4=0
10．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）
A．0或1
B．1或
C．0或
D．
11．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）
A．内切
B．外切
C．相交
D．外离
12．直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为（　　）
A．
B．1
C．4
D．2
　
二、填空题（每空4分，共16分）
13．已知幂函数y=f（x）的图象过点=　　．
14．函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为　　．
15．已知函数f（x）=，则f[f（）]=　　．
16．P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为　　．
　
三、解答题（共5小题，计56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣a＜x≤a+3}
（1）若a=1，U=R，求 UA∩B；
（2）若B∩A=B，求实数a的取值范围．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D
不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
19．已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．
（Ⅰ）
求直线l的方程；
（Ⅱ）
求点P（2，2）到直线l的距离．
20．已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．已知点A（0，5），圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0
（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；
（2）点M（﹣1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求△QMN面积的最小值．
　
2016-2017学年陕西省汉中市汉台区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．在每小题给出的四个选项只有一个符合题意．）
1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（　　）个元素．
A．1
B．4
C．5
D．6
【考点】并集及其运算．
【分析】根据集合的运算性质求出A∪B即可．
【解答】解：∵集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，
则A∪B={2，3，4，5，6}，
有5个元素，
故选：C．
　
2．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（ UA）∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|x＜﹣1}
D．{x|x＞3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（CUA）∩B
【解答】解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），
∴CUA=[﹣1，+∞）
∴（CUA）∩B=[﹣1，3）
故选A
　
3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（　　）
A．f（x）=x2+6x
B．f（x）=x2+8x+7
C．f（x）=x2+2x﹣3
D．f（x）=x2+6x﹣10
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】【方法﹣】用换元法，设t=x﹣1，用t表示x，代入f（x﹣1）即得f（t）的表达式；
【方法二】凑元法，把f（x﹣1）的表达式x2+4x﹣5凑成含（x﹣1）的形式即得f（x）的表达式；
【解答】解：【方法﹣】设t=x﹣1，则x=t+1，∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，
∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，
f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；
【方法二】∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5=（x﹣1）2+6（x﹣1），∴f（x）=x2+6x；
∴f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；
故选：A．
　
4．已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（　　）
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：∵a=30.4＞30=1，
b=0.43=0.064，
c=log0.43＜log0.41=0，
∴c＜b＜a．
故选：C．
　
5．已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）=x+2013
B．f（x）=﹣x+2013
C．f（x）=﹣x﹣2013
D．f（x）=x﹣2013
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】先将x＜0转化为﹣x＞0，再利用已知解析式和奇偶性来求解．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
因为x＞0时，f（x）=x﹣2013，
所以f（﹣x）=﹣x﹣2013，
因为函数是奇函数，
所以f（﹣x）=﹣x﹣2013=﹣f（x），
所以f（x）=x+2013，
故选：A．
　
6．如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（　　）
A．72
B．36
C．24
D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，
棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．
所以几何体的体积：
=12．
故选D．
　
7．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】球内接多面体．
【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．
【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，
故选D．
　
8．已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题，其中正确命题是
①α∥β l⊥m
②α⊥β l∥m
③l∥m α⊥β
④l⊥m α∥β
A．①与②
B．①与③
C．②与④
D．③与④
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】①α∥β l⊥m，可由线面垂直的性质进行判断；②α⊥β l∥m，可以由面面垂直的性质进行判断；③l∥m α⊥β面面垂直的判定定理进行判断；④l⊥m α∥β，可由面面平行的判定定理进行判断．
【解答】解：对于①l⊥α，α∥β，m β l⊥m正确；
对于②l⊥α，m β，α⊥β l∥m；l与m也可能相交或者异面；
对于③l∥m，l⊥α m⊥α，又因为m β则α⊥β正确；
对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；
综上所述①③正确，
故选B．
　
9．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（　　）
A．x+2y=0
B．2x﹣y+5=0
C．2x+y+3=0
D．x﹣2y+4=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．
【解答】解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．
求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为
=﹣，故直线l的斜率为2，
故直线l的方程为
y﹣1=2（x+2
），化简可得：2x﹣y+5=0．
故选：B．
　
10．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）
A．0或1
B．1或
C．0或
D．
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．
【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．
当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由≠，解得：a=．
综上，a=0或，
故选：C．
　
11．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）
A．内切
B．外切
C．相交
D．外离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；
圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径
R=3．
∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．
∴R﹣r＜＜R+r．
∴两圆相交．
故选：C．
　
12．直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为（　　）
A．
B．1
C．4
D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，圆心在直线x﹣y=0上，即可求出弦长．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心在直线x﹣y=0上，
故直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2，
故选D．
　
二、填空题（每空4分，共16分）
13．已知幂函数y=f（x）的图象过点=　3　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．
【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），
∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴，解得．
∴．
∴．
故答案为3．
　
14．函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为　[1，10]　．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】根据函数f（x）的解析式，利用二次函数的性质求得函数的最值，从而求得函数的值域．
【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，
则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10，
故该函数值域为[1，10]，
故答案为[1，10]．
　
15．已知函数f（x）=，则f[f（）]=　　．
【考点】函数的值．
【分析】根据函数表达式进行求解即可．
【解答】解：由函数表达式得f（）=log4=log44﹣2=﹣2，
f（﹣2）=3﹣2=，
故f[f（）]=f（﹣2）=，
故答案为：
　
16．P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为　3　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，用2加上半径1，即为所求．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，
故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3，
故答案为：3．
　
三、解答题（共5小题，计56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣a＜x≤a+3}
（1）若a=1，U=R，求 UA∩B；
（2）若B∩A=B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）求出 UA，即可求 UA∩B；
（2）若B∩A=B，分类讨论求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣1＜x＜4}，
CUA={x|x＜1或x＞5}，∴（CUA）∩B={x|﹣1＜x＜1}；
（2）∵B∩A=B，∴B A
①当B= 时，满足B A，此时﹣a≥a+3，得a≤﹣
②当B≠ 时，要使B A
则，解得﹣＜a≤﹣1．
综上所述：a≤﹣1．
　
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D
不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD 平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD 平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F 平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F 平面ADE，AD 平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
　
19．已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．
（Ⅰ）
求直线l的方程；
（Ⅱ）
求点P（2，2）到直线l的距离．
【考点】两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．
【分析】（Ⅰ）
求出交点坐标，求出斜率即可求直线l的方程；
（Ⅱ）
利用点到直线的距离公式之间求解点P（2，2）到直线l的距离．
【解答】解：（Ⅰ）联立，解得其交点坐标为（4，2）．…
因为直线l与直线2x﹣2y﹣5=0平行，所以直线l的斜率为1．…
所以直线l的方程为y﹣2=1×（x﹣4），即x﹣y﹣2=0．…
（Ⅱ）
点P（2，2）到直线l的距离为．…
　
20．已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）根据对数的真数大于零列出不等式组，即可求出函数的定义域；
（2）根据奇偶函数的定义域进行判断．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
解得﹣3＜x＜3，
所以函数的定义域是（﹣3，3）；
（2）函数f（x）是偶函数，
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
因为f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
　
21．已知点A（0，5），圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0
（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；
（2）点M（﹣1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求△QMN面积的最小值．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）求出圆心和半径．设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，即得到直线方程，注意讨论斜率不存在的情况；
（2）求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值，进而可求△ABC的面积最小值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0，其圆心坐标为（﹣2，6），半径为r=4，点P（0，5），
当直线斜率不存在时，直线方程为：x=0，
当x=0时，y2﹣12y+24=0，解得y=6±2，
可得弦长为6+2﹣（6﹣2）=4成立；
当直线斜率存在时，设过P的直线方程为：y=kx+5，化为一般方程：kx﹣y+5=0，
圆心到直线的距离d==．
又（2）2+d2=r2=16，
解得：k=，
所以3x﹣4y+20=0，
综上可得直线l：x=0或3x﹣4y+20=0；
（2）直线MN的方程为﹣x+y=1，即x﹣y+1=0．
圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0，其圆心坐标为（﹣2，6），半径为r=4，
可得圆心（﹣2，6）到直线MN的距离为d==，
圆上的点到直线距离的最小值为﹣4．
由|MN|=，可得△ABC的面积最小值是××（﹣4）=﹣2．
　
2017年2月27日