黑龙江省大庆市杜蒙县2016-2017学年九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（解析版）

2016-2017学年黑龙江省大庆市杜蒙县九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
　
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
2．已知二次函数y=3（x﹣2）2+1，当x=3时，y的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
3．设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）
A．﹣16
B．16
C．﹣8
D．8
4．已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0
B．a＞0，b＞0，c=0
C．a＞0，b＞0，c＜0
D．a＞0，b＜0，c=0
5．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法中，不成立的是（　　）
A．弦的垂直平分线必过圆心
B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦
C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦
7．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（　　）
A．∠AOB=60°
B．∠ADB=60°
C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．2
9．如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
10．半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2+CD2=（　　）
A．28
B．26
C．18
D．35
　
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为　　．
12．将抛物线y=x2﹣2向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　　．
13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；
⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．
其中，正确的说法有　　（请写出所有正确说法的序号）．
14．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为点D，以点C为圆心，3为半径画圆，则A、B、D三点中在圆外的是　　，在圆内的是　　，在圆上的是　　．
16．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是　　．
17．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为　　．
18．已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB=　　
cm．
　
三．解答题：（本大题共10小题，共66分）
19．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（1，0），（0，3）两点，对称轴为直线x=﹣1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设函数图象与x轴的交点为A、B，顶点坐标为C，求△ABC的面积．
20．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
试说明：AC=BD．
21．已知函数y=x2﹣4x+1．
（1）利用配方法求函数的对称轴，顶点坐标和最小值；
（2）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求x12+x22的值．
22．如图，在半径为13的⊙O中，0C垂直AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，求CD的长．
23．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
24．如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6
000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
26．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径．
27．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
28．如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
　
2016-2017学年黑龙江省大庆市杜蒙县九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
【考点】二次函数的定义．
【分析】利用二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
【解答】解：根据二次函数的定义，得m﹣2≠0，即m≠2
∴当m≠2时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数．故选B．
　
2．已知二次函数y=3（x﹣2）2+1，当x=3时，y的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
【考点】二次函数的定义．
【分析】二次函数的求值问题，把自变量x的值代入函数式，直接求值．
【解答】解：把x=3代入二次函数y=3（x﹣2）2+1，得
y=3（3﹣2）2+1=4．
故选A．
　
3．设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）
A．﹣16
B．16
C．﹣8
D．8
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．
【解答】解：根据题意得=0，
解得k=﹣16．
故选A．
　
4．已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0
B．a＞0，b＞0，c=0
C．a＞0，b＞0，c＜0
D．a＞0，b＜0，c=0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．
【解答】解：抛物线经过原点，c=0；
抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，因此a＞0；
由于对称轴在y轴左侧，对称轴为x=＜0，又因为a＞0，得b＞0．
故选B．
　
5．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当a=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选C．
　
6．下列说法中，不成立的是（　　）
A．弦的垂直平分线必过圆心
B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦
C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦
【考点】垂径定理．
【分析】分别根据垂径定理，弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、弦的垂直平分线是直径所在的直线，一定过圆心，正确；
B、弧的中点与圆心的连线是平分弧的直径所在直线，其垂直平分这条弧所对的弦，正确；
C、垂直于弦的直线不一定经过圆心，只有过圆心时才平分这条弦所对的弧，错误；
D、垂直于弦的直径平分这条弦，正确；
故选：C．
　
7．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（　　）
A．∠AOB=60°
B．∠ADB=60°
C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
【考点】圆周角定理．
【分析】由圆周角定理知，∠AEB=∠C=60°，∠AOB=2∠C=120°，∠ADB=∠C+∠CAD＞∠C=60°，所以只有C正确．
【解答】解：∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠ACB=60°，
∠AOB=2∠ACB=120°，
∠ADB=∠ACB+∠CAD＞∠ACB=60°，故只有C正确．
故选C．
　
8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．2
【考点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．
【分析】欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．
【解答】解：过O点作OD⊥AB，则OD=1；
∵O是△ABC的内心，
∴∠OAD=30°；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，
∴AD=OD cot30°=，
∴AB=2AD=2．
故选D．
　
9．如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【考点】圆周角定理．
【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径，可证∠ADB=90°，由圆周角定理可证∠A=∠C=30°，即可求∠ABD．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠C=30°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=60°．
故选D．
　
10．半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2+CD2=（　　）
A．28
B．26
C．18
D．35
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM2=DO2﹣DM2=4﹣（）2、ON2=OA2﹣AN2=4﹣（）2，所以OM2+ON2=4﹣（）2+4﹣（）2=1，由此解得AB2+CD2=28．
【解答】解：连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM2+ME2=OE2（勾股定理），
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2；
∵OM2=DO2﹣DM2=4﹣（）2；
又∵ON2=OA2﹣AN2=4﹣（）2，
∴OM2+ON2=4﹣（）2+4﹣（）2=1，
∴AB2+CD2=28．
故选A．
　
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为　y=2x2﹣4x+1　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】因为抛物线的顶点为（1，﹣1），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，把（2，1）代入解析式可求a，从而确定这个函数的表达式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，
把点（2，1）代入解析式得：a﹣1=1，
解得a=2，
∴这个函数的表达式为y=2（x﹣1）2﹣1，
即y=2x2﹣4x+1．
故答案为y=2x2﹣4x+1．
　
12．将抛物线y=x2﹣2向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　y=（x+2）2﹣1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先得到抛物线y=x2﹣2的顶点坐标（0，﹣2），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），把点（0，﹣2）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣1），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1．
故答案为：y=（x+2）2﹣1．
　
13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；
⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．
其中，正确的说法有　①②④　（请写出所有正确说法的序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线的开口方向可以确定a的符号，由抛物线对称轴和开口方向可以确定b的符号；
②利用图象与x轴的交点坐标即可确定方程ax2+bx+c=0的根；
③当x=1时，y=a+b+c，结合图象即可判定是否正确；
④由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性；
⑤当y＞0时，图象在x轴的上方，结合图象也可判定是否正确．
【解答】解：①∵抛物线开口方向朝上，∴a＞0，又对称轴为x=1，∴b＜0，∴ab＜0，故正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，故正确；
③∵当x=1时，y=a+b+c，从图象知道当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故错误；
④∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，故正确；
⑤∵当y＞0时，图象在x轴的上方，而抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x＜﹣1，x＞3，故错误．
故正确的结论有①②④．
　
14．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　y=（x﹣2）2﹣1　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【解答】解：因为开口向上，所以a＞0
∵对称轴为直线x=2，
∴﹣=2
∵y轴的交点坐标为（0，3），
∴c=3．
答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
　
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为点D，以点C为圆心，3为半径画圆，则A、B、D三点中在圆外的是　B　，在圆内的是　D　，在圆上的是　A　．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵CD⊥AB，
∴CD==．
∵AC=3，CD=＜3，BC=4＞3，
∴点A在圆上，点B在圆外，点D在圆内．
故答案为：B、D、A．
　
16．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是　30°或150°　．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由半径等于弦长，得到三角形AOB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠AOB为60°，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍求出∠ACB的度数，再利用圆内接四边形的对角1互补求出∠ADB的度数，即可得出弦AB所对圆周角的度数．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示，
∵OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB与∠ACB都对，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
又∵四边形ACBD为圆O的内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=150°，
∴弦AB所对的圆周角为30°或150°．
故答案为：30°或150°
　
17．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为　3cm或8cm　．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm．
故答案为：3cm或8cm．
　
18．已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB=　2或4　
cm．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的性质再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图1所示：连接AO，交BC于点D，连接BO，
∵底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，
∴BD=DC=4cm，
∴BO=AO=5cm，
∴AD=2cm，
∴AB==2（cm），
如图2所示：连接AO，并延长交BC于点D，连接CO，
∵底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，
∴BD=DC=4cm，
∴CO=5cm，
∴AD=8cm，
∴AB==4（cm），
综上所述：腰长AB为2或4cm．
故答案为：2或4．
　
三．解答题：（本大题共10小题，共66分）
19．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（1，0），（0，3）两点，对称轴为直线x=﹣1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设函数图象与x轴的交点为A、B，顶点坐标为C，求△ABC的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）由题意可知：B（1，0），根据对称性得出A（﹣3，0），则AB=4，利用对称轴求出C的纵坐标，根据面积公式求△ABC的面积为8．
【解答】解：（1）据题意可列方程组，
解得：，
所以二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，∵对称轴为直线x=﹣1，且B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB=4，
当x=﹣1时，y=﹣1+2+3=4，
∴C（﹣1，4），
∴S△ABC=×4×4=8；
答：△ABC的面积为8．
　
20．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
试说明：AC=BD．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD．
【解答】解：作OE⊥AB，
则AE=BE，CE=DE，
故BE﹣DE=AE﹣CE；
即AC=BD．
　
21．已知函数y=x2﹣4x+1．
（1）利用配方法求函数的对称轴，顶点坐标和最小值；
（2）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求x12+x22的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；二次函数的三种形式．
【分析】（1）加4再减4，化成完全平方，得y=（x﹣2）2﹣3，分别写出对称轴，顶点坐标和最小值；
（2）由根据与系数的关系先计算：x1+x2=4，x1x2=1，再将x12+x22进行变形为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+1=x2﹣4x+4﹣4+1=（x﹣2）2﹣3，
∴当x=2时，y最小值=3，
对称轴为x=2，顶点为（2，﹣3）；
（2）由题意，x1，x2是方程x2﹣4x+1=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=42﹣2×1=14．
　
22．如图，在半径为13的⊙O中，0C垂直AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，求CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD=12，根据勾股定理求出OD，即可得出答案．
【解答】解：
连接OA，
∵AB⊥CO，OC过O，
∴AD=BD=AB=12，
在Rt△OAD中，∠ODA=90°，OA=13，AD=12，由勾股定理得：OD=5，
∴CD=13﹣5=8．
　
23．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；两点间的距离．
【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
（2）根据两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，由题意，得x1+x2=﹣2，求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
得出b2﹣4ac＞0，
∴1﹣4×c＞0，
解得：c＜，
（2）设抛物线与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，
∵两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，由题意，得x1+x2=﹣2，
解得x1=0，x2=﹣2，
∴=x1 x2=0，
即c的值为0．
　
24．如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【分析】连接OD，只要证明CD⊥OD即可．
【解答】证明：连接OD；
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∴∠BOC=∠COD．
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
　
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6
000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
【考点】二次函数的应用；二次函数的最值．
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）=6
000
解得x=5或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5．
（2）设涨价z元时总利润为y，
则y=（10+z）
=﹣20z2+300z+5
000
=﹣20（z2﹣15z）+5000
=﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000
=﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6
125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
　
26．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．
【解答】（1）证明：连接OT；
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD==1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=，
∴在Rt△AOM中，
；
即⊙O的半径为2．
　
27．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1
）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
y=x2﹣x﹣2
=（
x2﹣3x﹣4
）
=（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为
（，﹣）．
（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．
当y=0时，
x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B
（4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m=．
解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，
则，
解得：．
∴．
∴当y=0时，，．
∴．
　
28．如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．
【解答】解：（1）令y=0，
得x2﹣1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=﹣1
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=∠CBO=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x2﹣1上，
∴a+1=a2﹣1．
解得a1=2，a2=﹣1（不合题意，舍去）．
∴PE=3．
∴四边形ACBP的面积S=AB OC+AB PE
=×2×1+×2×3=4；
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3
设M点的横坐标为m，则M（m，m2﹣1）
①点M在y轴左侧时，则m＜﹣1．
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有．
∵AG=﹣m﹣1，MG=m2﹣1．
即
解得m1=﹣1（舍去）m2=（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m=﹣1（舍去）m2=﹣2．
∴M（﹣2，3）．
②点M在y轴右侧时，则m＞1
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1，MG=m2﹣1
∴
解得m1=﹣1（舍去）m2=．
∴M（，）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m1=﹣1（舍去）m2=4，
∴M（4，15）．
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（﹣2，3），（，），（4，15）．
　
2017年2月26日