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《平行四边形的性质》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）记住平行四边形的相关概念，探究平行四边形的性质。
（2）会添加辅助线证明性质，记住性质并能应用性质解决简单的计算。
2.过程与方法
进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。
3.情感态度和价值观
培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
【教学重点】
1、探索并证明平行四边形的性质。
2、应用平行四边形的性质进行简单计算、推理。
【教学难点】
正确利用平行四边形的性质解决问题
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在我们的日常生活中，经常能遇见 ( http: / / www.21cnjy.com )各式各样的图形，除了我们上册学习过的三角形之外，四边形也是比较常见的。现在，大家来看一下这几张图片，你能正确找出其中隐藏的平行四边形吗？21·cn·jy·com
（学生回答）
【过渡】大家都很厉害，那么大家知道平行四边形都有什么样的性质呢？今天我们就来探究一下，平行四边形到底有哪些性质。www.21-cn-jy.com
二、新课教学
1．平行四边形的定义
【过渡】要了解平行四边形的的性质，我们就要先了解什么是平行四边形，从图形中，我们很容易总结出平行四边形的定义：【来源：21·世纪·教育·网】
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
【过渡】对于一个如图所示的平行四边形，我们一般用符号□表示，如平行四边形ABCD记作：□ABCD，读作：平行四边形ABCD。21·世纪*教育网
【过渡】对于平行四边形的定义，我们用几何语言表示：
∵AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）。
反过来
∵四边形ABCD是平行四边形（或在□ABCD中）
∴AB∥CD AD∥BC（平行四边形的定义）。
2、平行四边形的性质1
【过渡】从定义中，我们能够看到，平行四边形的两组对边分别平行，那么它的对角有什么关系呢？对边又有其他的关系吗？www-2-1-cnjy-com
猜想：对角相等，对边相等
【过渡】大家可以动手，按照平行四边形的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )，画出一个平行四边形，然后，用直尺量一下对边的长度，用量角器量一下对角的度数。大家能够发现什么规律吗？【来源：21cnj*y.co*m】
AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D
【过渡】由此，我们发现，我们的猜想是正确的，那么大家能够用自己所学的知识来证明一下这个结论吗？
【过渡】在证明之前，我想先让大家考虑这样一个问题，用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？大家可以动手试一下。【版权所有：21教育】
（学生动手）
【过渡】大家都拼的很好，从中大家有什么启示呢？
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。21*cnjy*com
【过渡】由刚刚得到的结论，我们就来考虑一下如何证明平行四边形的性质吧。
课件展示证明过程。
【过渡】了解了对边与对角的性质之后，大家来思考这样一个问题，已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
展示一个平行四边形，由学生回答。
【过渡】刚刚大家都很迅速的得出了结论，大家有什么简单的方法吗？
（学生回答）
【过渡】这就是简单的利用了平行四边形的对角相等的性质，∠A+∠B=180°，由此来计算其他三个角的度数。21教育名师原创作品
平行四边形中知道一个角就可以求出另外三个角的度数。
例1的讲解。
【过渡】学行四边形之后，我们来看另外 ( http: / / www.21cnjy.com )一个问题，若a // b，作 DA // HG ，分别交 b于D、H，交 a于A、G。则线段DA与HG有什么关系？21*cnjy*com
（学生回答）
【过渡】由平行四边形的对边相等可知，DA=HG，同样的，再画一条平行线之后，得到同样的结论。由此，我们知道，两条平行线之间的平行线段相等。
【过渡】若a // b，D ( http: / / www.21cnjy.com )A、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C。则线段同样相等。在这里，我们看到，是点到直线的距离。由此，我们介绍这样的概念：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
两条平行线之间的距离相等。
【练习】1、已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是
3或5 cm。
3、平行四边形性质2
【过渡】研究了平行四边形的对边与对角的关系之后，我们再来看它的另外一个——对角线的性质。
探究：如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O。OA与OC，OB与OD有什么关系？
【过渡】大家来看这个图形，把两张完全相 ( http: / / www.21cnjy.com )同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么？
课件展示。
【过渡】从刚刚的实验中，我们发现，旋转之后，两个图形是完全重合的，也就是说我们的猜想是正确的。你能证明这个猜想吗？
课件展示证明过程。
【过渡】由此，我们得到平行四边形的性质定理2：
平行四边形的对角线互相平分。
【典题精讲】1、如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，求证：∠ABD=∠DAC。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=AB，
∴AO= AB，∴ =，
∵ = = ，∴＝ ，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC
2、如图，在 ABCD中，AE是∠BAD的平分线交DC于点E，求证：CE+BC=AB。
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∴DC=AD+CE，
∴AB=CE+BC，
即CE+BC=AB．
【知识巩固】1、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=140°，那么∠A= 70° ，∠D= 110° 。
2、如图，在□ABCD中，E，F分别是DC，BA延长线上的点，且AE∥CF，AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：EG=FH。
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，
∴AE=CF，AG=CH，
∴AG-AE=CH-CF，
∴EG=FH
3、平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求平行四边形的各边的长．
解：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，
设较短的边为2x，则较长的为5x，
∴2x+5x=14，
∴x=2，
∴5x=5×2=10，2x=2×2=4，
∴平行四边形的各边的长分别为10cm、4cm、10cm、4cm．
4、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．求证：BE⊥AC。2-1-c-n-j-y
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
又∵E为OA的中点，
∴BE⊥AC．
5、如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，求证：∠ABD=∠DAC。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=AB，
∴AO= AB，∴ =，
∵ = = ，∴＝ ，21世纪教育网版权所有
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC
【达标检测】1、如图，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35°，则∠D的度数为（ A ）21cnjy.com
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A．55° B．35°
C．25° D．30°
2、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ D ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
3、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是（ C ）2·1·c·n·j·y
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A．6 B．8
C．14 D．16．
4、如图，在□ABCD中，AE是∠BAD的平分线交DC于点E，求证：CE+BC=AB。
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∴DC=AD+CE，
∴AB=CE+BC，
即CE+BC=AB。
【拓展提升】1、已知如图，E、F为□ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种方法证明）【出处：21教育名师】
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解：方法①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC。
∴∠BAC=∠DCA。
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE＝CF ；∠BAE＝∠DCF；AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF。
方法②：连接DE、BF，连接BD交AC于O，
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF。
2、求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
【板书设计】
1、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
【教学反思】
平行四边形的性质是本节课的重点，而 ( http: / / www.21cnjy.com )探究性质更是本节课的难点，所以在这个环节里我需要把难点击破，那就需要学生进行配合，教学相长。实践出真知！我通过小组合作的方式让学生自己动手操作，结合“想一想、量一量、拼一拼”等过程，尤其是对两个全等三角形进行拼凑成平行四边形，使他们实际操作中验证性质的成立并能从中体会性质的证明思路。通过小组间的合作交流学习，进行有的放矢的探究活动，把平行四边形转化为我们熟知的三角形，由已知探未知，从中形成科学的“猜想——验证——实验”的解题思路，养成科学的学习习惯。这是从感性认识到理性认识的一个飞跃过程。21教育网
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《平行四边形的性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．13 B．17 C．20 D．26
2．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )
D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．如图，在□ABCD中，对角线AC、B ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于点O，点E、F分别是AD、CD的中点，则△OEF的面积S1与△BOC面积S2的关系是（ ）21教育网
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A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1＝S2
4．如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长是（ ）厘米。
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A．6 B．9 C．12 D．3
5．如图，平行四边形ABCD的周长是 ( http: / / www.21cnjy.com )26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）21cnjy.com
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A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
二、解答——知识提高运用
6．已知平行四边形的最大角比最小角大100°，求它的各个内角的度数。
7．如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：∠1=∠2。
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8．如图，已知在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，FC=1cm，求AB，BC的长及ABCD面积。21·cn·jy·com
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9．在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，求∠A的度数。
10．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E。
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（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值。
11．已知□ABCD，E、F分别在边DC、BC上，且AE=AF，过D点作DG⊥AF，过B作BH⊥AE，求证：DG=BH。www.21-cn-jy.com
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17。
故选：B。
2．【答案】C
【解析】
A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
故选：C。
3．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，OB=OD，
∵点E、F分别是AD、CD的中点，
∴DE= AD= BC，OF= BC，OF∥BC，
∴DE∥OF，DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形，
∴△OEF的面积=△ODF的面积= △BCD的面积= △BOC的面积，
即S1=S2，
故选：D。
4．【答案】D
【解析】∵□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24厘米，
∴OB+0A=12厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=18-12=6厘米，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3厘米，
故选：D。
5．【答案】B
【解析】∵□ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）-（OA+OB+AB）=AD-AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm。
∴BC=AD=8cm。
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE= BC=4cm；
故选：B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】
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如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A-∠B=100°，
∴∠A=140°，∠B=40°，
∴∠A=∠C=140°，∠B=∠D=40°。
7．【答案】连接BD，如图所示：
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠1=∠2。
8．【答案】∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠EAF-∠AFC=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
设BE=a，则AB=2a，
∵CE=3cm，FC=1cm，
∴DF=2a-1，
又∵∠AFD=90°，∠D=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AD=2DF=4a-2，
∵AD=BC=a+3，
解得a=，
∴AB=2a= ，BC=a+3= +3＝ ，
∵∠AEB=90°，AB= ，BE=，
∴AE= ，
∴平行四边形ABCD的面积是：BC AE= ×＝，
即AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是cm2．。
9．【答案】根据平行四边形的性质和题意画出图形，分三种情况：①如图1所示
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠BDE=90°-20°=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD= （180°-70°）=55°；
②如图2所示：同①得：∠BDE=70°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A=70°÷2=35°；
上所述：∠A的度数为55°或35°．
10．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DF∥BC，
∴∠AFB=∠FBG，
∵BF平分∠ABG，
∴∠ABF=∠FBG，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF；
（2）解：∵FD∥CG，
∴△EFA∽△EBC，
∴＝＝=，
∴ =
11．【答案】连接BE、DF，如图所示：
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∵△ADF的面积= AD AD边上的高，△ABE的面积= AB AB边上的高，
平行四边形ABCD的面积=AD AD边上的高=AB AB边上的高，
∴△ADF的面积= 平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积，
∴AF DG= AE BH，
又∵AE=AF，
∴DG=BH。
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人教版 八年级下册
18.1 平行四边形的性质
导入新课
寻找生活中的平行四边形
新课学行四边形的定义
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD
平行四边形ABCD
□ABCD
记作：
读作：
A
D
C
B
两要素
新课学习
∵AB∥CD， AD∥BC
∴四边形ABCD是□
∵四边形ABCD是□
∴ AB∥CD， AD∥BC
（平行四边形的定义）
（平行四边形的定义）
几何语言
新课学习
1.平行四边形的边具有哪些性质？
2.平行四边形的角具有哪些性质？
A
B
C
D
平行四边形的性质
探究1
猜想
对边相等，对角相等
新课学习
请用直尺,量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确
量一量
A
B
C
D
结果：AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D
猜想正确。
你能证明吗？
新课学习
从拼图可以得到什么启示？
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？
新课学习
求证：AB=CD，AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D.
已知：四边形ABCD为□
证明：
∵四边形ABCD为□
∴AD∥BC，AB ∥CD
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4
在△ADC与△CBA中
∠1=∠2，
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ADC≌△CBA
∴ AD=CB,AB=CD, ∠B=∠D
又∵∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠BAD=∠DCB
连结AC
A
B
C
D
4
1
3
2
新课学行四边形性质定理1：
平行四边形的对边相等.
∵四边形ABCD为□
∴ AB=CD,AD=BC
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD为□
∴ ∠A=∠C, ∠B=∠D
A
B
C
D
新课学行四边形中知道一个角就可以求出另外三个角的度数。
想一想
已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
新课学习
例1 如图， □ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是□，
∴∠A=∠C，AD=CB.
∵DE⊥AB，BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∴△AED≌△CFB.
∴AE=CF.
新课学习
H
A
D
G
若a // b，作 DA // HG ，分别交 b于D、H，交 a于A、G。则线段DA与HG有什么关系？
由平行四边形的对边性质可知：DA=HG
两条平行线之间的平行线段相等.
b
a
两条平行线之间的距离：
又作 CB // HG ，交 b于C，交 a于B。则线段CB与HG有什么关系？
CB=HG=DA
C
B
新课学习
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
则 DA HG CB.
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
A
B
C
D
a
b
H
G
=
=
两条平行线之间的距离相等。
牛刀小试
已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是 cm。
分析：当如图1所示时，
两平行线间的距离=4﹣1=3cm；
当如图2所示时，
两平行线间的距离=4+1=5cm．
故答案为：3或5。
3或5
知识巩固
1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=140°，那么∠A= ，∠D= ．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得∠A=∠C，∠B=∠D，又由∠A+∠C=140°，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即可求得答案．
110°
70°
知识巩固
2.如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，BA延长线上的点，且AE∥CF，AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：EG=FH．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，又由AE∥CF，即可证得四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，继而可证得HF=GE．
知识巩固
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，
∴AE=CF，AG=CH，
∴AG-AE=CH-CF，
∴EG=FH．
知识巩固
3.平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求平行四边形的各边的长．
分析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，可设较短的边为2x，则较长的为5x，根据题意列方程即可求出．
知识巩固
解析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，
设较短的边为2x，则较长的为5x，
∴2x+5x=14，
∴x=2，
∴5x=5×2=10，2x=2×2=4，
∴平行四边形的各边的长分别为10cm、4cm、10cm、4cm．
新课学习
新课讲解
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交
于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
平行四边形的对角线互相平分。
探究2
猜想
新课学习
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
旋转180°后与自身重合平行四边形 ABCD是中心对称图形，点O是对称中心
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
新课学习
已知：如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
在△AOB和△COD中
∴AB∥CD，AD ∥BC(平行四边形的性质)
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
∠2= ∠1
AB＝CD
∠4= ∠3
∴ △AOB≌△COD(ASA )
∴OA=OC，OB=OD.（全等三角形的对应边相等）
1
2
3
4
新课学行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
平行四边形性质定理2：
新课学习
例2 如图，在口ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及口ABCD的面积．
A
O
C
B
D
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴ΔABC是直角三角形.
∴AC==6
又 OA=OC
∴ OA=AC=3，∴S口ABCD=BC·AC=8×6=48
知识巩固
4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．求证：BE⊥AC．
分析：由平行四边形的性质得出BD=2OB，再证明OB=AB，由E为OA的中点，根据三线合一性质即可证出BE⊥AC．
知识巩固
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
又∵E为OA的中点，
∴BE⊥AC．
知识巩固
分析：根据AC=AB证明＝ ，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．
5、如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，求证：∠ABD=∠DAC．
知识巩固
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=AB，
∴AO=AB，∴ =，
∵==，∴＝ ，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC
利用平行线所截的内错角相等。
达标检测
1、如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35°，则∠D的度数为（ ）
A．55° B．35°
C．25° D．30°
A
达标检测
2、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
D
达标检测
3、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是（ ）
A．6 B．8
C．14 D．16．
C
达标检测
4.如图，在 ABCD中，AE是∠BAD的平分线交DC于点E，求证：CE+BC=AB。
分析：根据平行四边形的性质，可以得到AB=CD，AD=BC，由AE是∠BAD的平分线，灵活变化即可得到CE、BC、AB的关系，本题得以解决．
达标检测
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∴DC=AD+CE，
∴AB=CE+BC，
即CE+BC=AB．
课堂小结
1、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
拓展提升
1.已知如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF。（用两种方法证明）
分析：①由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAC=∠DCA，由SAS证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可；
②连接DE、BF，连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论。
拓展提升
解析：方法①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAC=∠DCA．∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE＝CF
∠BAE＝∠DCF
AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF。
拓展提升
解析：方法②：连接DE、BF，连接BD交AC于O，
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
拓展提升
2.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
分析：这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程。作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2
拓展提升
解析：如图：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，
求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF。
拓展提升
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
