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第六章 实数
6.1.3 平方根
(1)已知一正方形面积为9平方米，那么它的边 长应为多少？
( )2=9；
(2)已知一个数的平方等于0.25，那么这个数是多少？
( )2 =0.25
复习导入
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
32＝9
(－3)2＝9
∴平方等于9的数是3或－3.
3或－3可以简单记作：±3.
x
49
36
16
1
x2
填表.
±1
±4
±6
±7
±
探究新知
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
平方根概念
由练习知：±3是9的平方根；
±0.5是0.25的平方根；
数学语言：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
探究新知
x
x2
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
由此可见：平方与开平方互为逆运算！
x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
x
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
开平方
探究新知
例1. 求下列各数的平方根：
(1)100； (2) ； (3)0.25.
解：(1) ∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10；
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，∴0.25的平方根是±0.5.
(2) ∵(±)2＝ ，∴的平方根是± ；
例题讲解
练习：
求下列各数的平方根.
(1)121 (2)0 (3)-
解：(1) ∵(±11)2＝121，∴121的平方根是±11；
(2) ∵(0)2＝0，∴0的平方根是0；
(3) ∵x2≥0，∴-没有平方根。
1.正数的平方根有两个，它们互为相反数.
3.负数没有平方根.
2.0有一个平方根，它是0本身.
1.一个正数有几个平方根？它们有什么特点？
2.0有几个平方根？是多少？
3.负数呢？
思考：
探究新知
判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）81的平方根是9；
（2）a是的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是±8a；
（5）-36的平方根是-6．
练习：
读作 “正、负根号a”
25的平方根是±5,用符号语言表达为:
正数a的算术平方根
正数a的算术平方根的相反数（即正数a的负的平方根）
正数a的平方根
表示
表示
表示
例如：16的平方根是±4,用符号语言表达为:
平方根的表示方法
探究新知
思考：
表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？
探究新知
表示算术平方根，这里的x是大于等于0的数
例题讲解
例2、求使
解：∵x+1≥0且1-x≥0
∴x≥-1且x≤1
∴-1≤x≤1
练习：
1、如果 。
2、如果 。
6
2或3
例3 说出下列各式的意义，并求它们的值：
解：（1）；
（2）；
（3）.
36的算术平方根
0.81的负的平方根
的平方根
例题讲解
1.平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个.
2.存在条件相同.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根和算术平方根均为0
正数a的算术平方根有一个
正数a的平方根有两个
如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数就叫做a的算术平方根
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根
符号不同
个数不同
定义不同
联系
区
别
算术平方根
平方根
用表示
用表示
平方根与算术平方根的比较
探究新知
1．如果a是负数，那么的平方根是（ ）．
A．a B．-a C．±a D．
2．使得有意义的 有（ ）．
A． 0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对
3．下列说法中正确的是（ ）．
A．若a<0 ，则 B.x是实数，且 ，则a>0
C． 有意义时，x≤0 D．0.1的平方根是±0.01
C
B
C
随堂练习
5.计算下列各式的值：
4.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=____，
这个正数是＿＿.
4
-1
随堂练习
1、若 y=，求2x+y的值．
解：∵ ，4-
∴ 。
∴
∴
∵
∴
∴
∴2
拓展延伸
2、已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2a.解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，
a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
拓展延伸
1、如果_____________等于a，那么这个数就叫做的平方根或二次方根；
2、非负数的平方根表示为______.
3、± 中的a称为___ 数，其中有意义的条件是_______;
4、一个正数有____个平方根，它们互为_____；0的平方根是___，负数______平方根.
5、平方根与算术平方根的联系与区别？
一个数的平方
0
±
被开方
a≥0
两
相反数
没有
课堂小结6.1.3 平方根
教学目标
1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；
2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根
重点、难点
重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.
难点: 平方根与算术平方根的区别和联系
教学过程
1、 复习导入
1、提问
(1)．已知一正方形面积为9平方米，那么它的边长应为多少？
(2)．已知一个数的平方等于0.25，那么这个数是多少？
( )2=9； (2)．( )2 =0.25
设计意图：利用复习导入，让学生回顾旧知识 ( http: / / www.21cnjy.com )的同时将新知识纳入自己的认知体系做好铺垫，学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正，由练习引出平方根的概念．21教育网
二、探究新知
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个， ( http: / / www.21cnjy.com )它们是3和－3。受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数。注意（－3）2＝9中括号的作用。www.21-cn-jy.com
使学生完成课本填表练习。
填表：
1 16 36 49
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的平方根．即：如果x2＝a，那么x叫做ａ的平方根。21·cn·jy·com
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
观察：课本45页中的图6．1－2。
图6．1－2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质。
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根。
例1：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
建议教师要规范书写格式。
练习：
求下列各数的平方根.
(1)121 (2)0 (3)-
思考：
1.一个正数有几个平方根？它们有什么特点？
2.0有几个平方根？是多少？
3.负数呢？
引导学生通过观察=a中的a和x的取值范围和取值个数得出．
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太 ( http: / / www.21cnjy.com )习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点．21世纪教育网版权所有
练习：
判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）81的平方根是9；
（2）a是的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是±8a；
（5）-36的平方根是-6．
引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用表示。
思考：表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？
例2、求使
练习：
1、如果 。
2、如果 。
例3 说出下列各式的意义，并求它们的值
（1）；（2）；（3）.
要让学生明白各式所表示的意 ( http: / / www.21cnjy.com )义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式．平方根和算术平方根的概念，两者既有区别又有联系。区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根。
三、例题讲解
例1：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
例2、求使
例3 说出下列各式的意义，并求它们的值
（1）；（2）；（3）.
设计意图：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。
四、随堂练习
1．如果a是负数，那么的平方根是（ ）．
A．a B．-a C．±a D．
2．使得有意义的 有（ ）．
A． 0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对
3．下列说法中正确的是（ ）．
A．若a<0 ，则 B.x是实数，且 ，则a>0
C． 有意义时，x≤0 D．0.1的平方根是±0.01
设计意图：随堂练习可以帮助学生巩固新知 ( http: / / www.21cnjy.com )，老师从学生解题过程中了解教学效果，从简单图形到复杂图形、从单一知识到几个知识的综合运用，进一步提高学生的识图能力，逐步提高推理能力和解决问题的能力.21cnjy.com
五、拓展延伸
1、若 y=，求2x+y的值．
2、已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
设计意图：在学生探索的过程中，特别是构造图形这个环节，适当引导，让学生养成“缺什么补什么”的意识，培养学生的逻辑推理能力．2·1·c·n·j·y
六、课堂小结
什么叫做一个数的平方根？
正数，0，负数的平方根有什么规律？
怎样求出一个数的平方根？数ａ的平方根怎样表示？
设计意图：回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
七、教学反思
本课主要是在算术平方根的基础上建立 ( http: / / www.21cnjy.com )平方根的概念，要以等式=a和已有算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．【来源：21·世纪·教育·网】
有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法．21·世纪*教育网
参考答案
随堂练习
1、C．
2、B
3、C．
4、-1，2
5、(1)13，(2)-0.07，(3)
拓展延伸
1、解：∵ ，4-
∴ 。
∴
∵
∴
∴
∴
∴2
2、解：根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2a.解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，
a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
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