中考数学压轴题解法探究（6）—图形运动中的计算说理问题

中考数学压轴题解法探究
图形运动中的计算说理问题
【专题解析】
考题研究：
从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。21·cn·jy·com
解题攻略：
计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．
压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．
函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．2·1·c·n·j·y
还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．
代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据?确定交点的个数．【来源：21·世纪·教育·网】
解题思路：
我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．
如图1，已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标．
几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tan∠AOC＝1．
作BE⊥x轴于E，那么．设B(x, x2－2x－3)，于是．
请注意，这个分式的分子因式分解后，．这个分式能不能约分，为什么？
因为x＝－1的几何意义是点A，由于点B与点A不重合，所以x≠－1，因此约分以后就是x－3＝1．
这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．
【真题精讲】
类型一：代数函数类计算综合题
典例1：（2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
【解析】二次函数的应用．（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．www-2-1-cnjy-com
（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．
（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，
解得，
∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，
解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．
∴x2=70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得
w=（﹣0.5x+80）（80+x）
=﹣0.5 x2+40 x+6400
=﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
变式训练1：
(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【来源：21cnj*y.co*m】
类型二：探究归纳规律类计算综合题
典例2：（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=　 　．【出处：21教育名师】
【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【专题】规律型．
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
变式训练2：
（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形的边长是( )
A．()2015 B．()2016 C．()2016 D．()2015
类型三：代数与几何计算类综合问题
典例3（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【解析】二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。
【解答】解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点
∴方程组有且只有一组解．
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4．
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴＝．
同理，＝．
∵＋＝，∴＋＝2．
∴＋＝2．
∴＋＝，即＝．
解方程组得x＝，即PD＝．
由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．
∴＝．
解得b＝8．
(3)不存在．理由如下：
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，
∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．
解得k＝1(舍去k＝－7)．
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．
变式训练3：
（2016·青海西宁·１2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【过关检测】
1. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为　 　．
2. （2015年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
3. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？21*cnjy*com
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
变式训练参考答案：
变式训练1：
(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
【解析】二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
【解答】解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．【版权所有：21教育】
变式训练2：
（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形的边长是( )
A．()2015 B．()2016 C．()2016 D．()2015
[考点]三角形的相似，推理、猜想。
[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°．
∴B2C2＝C1D1·30°＝．∴C2D2＝．
同理，B3C3＝C2D2·30°＝()2；
由此猜想BnCn＝()n－1．
当n＝2016时，＝()2015．
故选D．
变式训练3：
（2016·青海西宁·１2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；
（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．
【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），
抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），
设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，
解得：a=，
故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；
（2）证明：连接DM，
∵△MBC为等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）解：存在．
理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
∵S△ABP=AB|n|，AB=4
∴×4×|n|=5，
即2|n|=5，
解得：n=±，
当时，（m+1）2﹣2=，
解此方程得：m1=2，m2=﹣4
即点P的坐标为（2，），（﹣4，），
当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，
此方程无解，
故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．
过关检测参考答案：
1. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为　（﹣，）　．www.21-cn-jy.com
【解析】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴Bn（﹣2×，1×），
∵矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
2. （2015年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
【解析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
【解答】（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
【点评】本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．21cnjy.com
3. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；21·世纪*教育网
（2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO．
（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，t2﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），
∴点D的纵坐标是4，
又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，
∴4=，
解得x=5，
故点D的坐标是（5，4）．
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，
在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE==3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），
∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+4．
（2）如图2，连接AC，
在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO==，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO==，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，
设P（t，t2﹣t+4），
①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，
解得t1=4+2，t2=4﹣2，
∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），
②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣?+4=，
整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，
∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；
③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣?+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，
∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），
综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．21世纪教育网版权所有
4. （2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．21教育网
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？21*cnjy*com
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；
（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；
（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；
（2）如图1，
过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，
由（1）有，C（0，﹣2），
∵B（0，3），
∴直线BC解析式为y=x﹣2，
∵H（1，y）在直线BC上，
∴y=﹣，
∴H（1，﹣），
∵B（3，0），E（0，﹣1），
∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，
∴G（1，﹣），
∴GH=，
∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，
∴F（，﹣），
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××（3﹣）
=．
（3）如图2，
由（1）有y=﹣x2+x﹣2，
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞），
∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM2+BM2=AB2，
∴m2+4+m2+1=9，
∴m=或m=﹣（舍），
∴M（0，），
∴MD=﹣，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t=﹣；
（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图3，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，
∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，
联立①②得，或（舍），
∴P（，），
即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．