中考数学压轴题解法探究（7）—图形运动中的函数关系问题

中考数学压轴题解题策略
图形运动中的函数关系问题
【专题解析】
考题研究：
在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.
解题攻略：
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．
由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．
类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．21*cnjy*com
类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．21*cnjy*com
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
解题思路：
图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．
计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．
【真题精讲】
类型一：由比例线段产生的函数关系问题
典例1：（2016·四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；
（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可求得：AB=10，
由题意知：OQ=AP=t，
∴AC=2t，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
∴AD=，
当Q与D重合时，
AD+OQ=OA，
∴+t=6，
∴t=；
（2）当⊙Q经过A点时，如图1，
OQ=OA﹣QA=4，
∴t==4s，
∴PA=4，
∴BP=AB﹣PA=6，
过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，
连接PF，
∴PE∥OA，
∴△PEB∽△AOB，
∴，
∴PE=，
∴由勾股定理可求得：EF=，
由垂径定理可求知：FG=2EF=；
（3）当QC与⊙P相切时，如图2，
此时∠QCA=90°，
∵OQ=AP=t，
∴AQ=6﹣t，AC=2t，
∵∠A=∠A，
∠QCA=∠ABO，
∴△AQC∽△ABO，
∴，
∴，
∴t=，
∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，
当QC⊥OA时，
此时Q与D重合，
由（1）可知：t=，
∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，
综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．2·1·c·n·j·y
变式训练1：
（2016·黑龙江哈尔滨·10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．
类型二：由面积建立函数解析式
典例2：（2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
【解析】二次函数综合题．（1）直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；
（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；
（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，
解得：m1=2，m2=0（舍），
∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；
（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，
若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，
∴BM2+CM2=BC2=CD2，
∴12+（﹣a）2=22，
∴a=，
∵y1抛物线开口向下，
∴a=﹣，
∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），
∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a=，
∴y2=x2+2x+1；
（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，
得BQ=，DQ=3，则BD=2，
∴∠BDQ=30°，
∴PH=，PG=t，
∴S=（PE+PF）×DP=t2，
如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），
S不重合=（t﹣1）2，
S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，
=﹣；
综上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．
变式训练2：
（2016·山东省德州市·4分）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
类型三： 具体条件下所产生的函数关系
典例3; （2016贵州毕节）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．
【解析】二次函数综合题．（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；
（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．
【解答】解：
（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，
∴A点在直线上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A点坐标为（2，8），
又A点在抛物线上，
∴8=22+2b，解得b=2，
∴抛物线解析式为y=x2+2x；
（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，
∴B点坐标为（﹣2，0），
如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，
则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，
当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，
∴OC=AQ=4，
∴C点坐标为（0，4），
又PC∥x轴，
∴P点纵坐标为4，
∵P点在抛物线线上，
∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，
∵P点在A、B之间的抛物线上，
∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，
∴P点坐标为（﹣1，4），
∴PC=﹣1﹣0=﹣1；
（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，
∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，
∵C、E都在直线y=2x+4上，
∴C（m，2m+4），E（，n），
∵PC∥x轴，
∴P点纵坐标为2m+4，
∵P点在抛物线上，
∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），
∴P点坐标为（﹣1，2m+4），
∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m，
∵四边形PCDE为矩形，
∴DE=CP，即﹣m=﹣1﹣m，
整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，
即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0．
变式训练3：
（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．21cnjy.com
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

【过关检测】
1. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
3. （2015，广西钦州，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．
（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；
（2）当t为何值时，∠OCD=180°？
（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．
4. （2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当点M落在AB上时，x=　　；
（2）当点M落在AD上时，x=　　；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【参考答案】
变式训练参考答案：
变式训练1：
（2016·黑龙江哈尔滨·10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．21·世纪*教育网
【解析】二次函数综合题．（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′，则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是PQ的中点，由此表示出点G的坐标并列式，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，
由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），
∴OE=5，
∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，
∴∠EPA′=∠OEF，
∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，
∴△PEA′≌△EFB′，
∴PA′=EB′=﹣t，
则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+；
（3）如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，
∵EH⊥ED，
∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，
∴FB′=A′E=5﹣（﹣t2﹣t+4）=t2+t+1，
∴F（t2+t+1，5+t），
∴点H的横坐标为： t2+t+1，
y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，
∴H（t2+t+1，﹣t2﹣t+4），
∵G是DH的中点，
∴G（，），
∴G（t2+t﹣2，﹣t2﹣t+2），
∴PH∥x轴，
∵DG=GH，
∴PG=GQ，
∴=t2+t﹣2，
t=，
∵P在第二象限，
∴t＜0，
∴t=﹣，
∴F（4﹣，5﹣）．
变式训练2：
（2016·山东省德州市·4分）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．21教育网
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；21·cn·jy·com
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．21教育名师原创作品
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
【解答】解（1）∵x2+4x+3=0，
∴x1=﹣1，x2=﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m=﹣1，n=﹣3，
∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3，
∴C（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=，
∴QF=1，
当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，
PM=t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
∴S=PM×QF=（﹣t2﹣3t）=﹣t2+t，
如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，
PM=t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），
∴S=PM×QF=（t2﹣3t）=t2﹣t
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD是直角三角形．
变式训练3：
（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。
【解答】：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组有且只有一组解．
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4．
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴＝．
同理，＝．
∵＋＝，∴＋＝2．
∴＋＝2．
∴＋＝，即＝． 5分
解方程组得x＝，即PD＝． 6分
由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4． 7分
∴＝．
解得b＝8．
(3)不存在．理由如下：
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，
∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．
解得k＝1(舍去k＝－7)．
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．
过关检测参考答案：
1. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）www.21-cn-jy.com
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
【解析】二次函数综合题．（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；【版权所有：21教育】
（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；
（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积．
【解答】解：
（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，
∴OB=5，
∴B点坐标为（5，0），
∵y=x2﹣4x﹣5，
∴C点坐标为（0，﹣5）；
（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，
∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5，
∴圆的半径为，
∴圆的面积为π（）2=π．
2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．www-2-1-cnjy-com
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
【解析】二次函数综合题．（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；21世纪教育网版权所有
（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．
②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线L经过O、P、A三点，
∴有，
解得：，
∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．
（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），
∴S△OAE+SOCE=OA?yE+OC?xE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，
∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．
　
3. （2015，广西钦州，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．【出处：21教育名师】
（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；
（2）当t为何值时，∠OCD=180°？
（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．
【解析】一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E的坐标为（t+4，8）；
（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，可求得EC=，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，即从而可解得t的值；
（3）三角形OCF的面积=，从而可得S与t的函数关系式．
【解答】解：（1）∵点B坐标为（0，8），
∴OB=8．
∵AD=OB，EF垂直平分AD，
∴AE=4．
∴BE=t+4．
∴点E的坐标为（t+4，8）；
（2）如图所示；过点D作DH⊥OF，垂足为H．
∵AC⊥OA，
∴∠OAC=90°．
∴∠BAO+∠EAC=90°．
又∵∠BOA+∠BAO=90°，
∴∠EAC=∠BOA．
又∵∠OBA=∠AEC，
∴△OBA∽△AEC．
∴，即．
∴EC=．
∴点C的坐标为（t+4，8﹣）
∵∠OCD=180°，
∴点C在OD上．
∵CF∥DH，
∴，即
解得：，（舍去）．
所以当t=4﹣4时，∠OCD=180°．
（3）三角形OCF的面积=×OF?FC=（t+4）（8t）=，
∴s与t的函数关系式为s=．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t的式子表示点C的坐标是解题的关键．
4. （2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）
（1）当点M落在AB上时，x=　4　；
（2）当点M落在AD上时，x=　　；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【解析】三角形综合题．（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得==，由此即可解决问题．
（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．
【解答】解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4，所以x==4．
故答案为4．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．
∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴==，∵AC=8，
∴PA=，
∴x=÷=．
故答案为．
（3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，
∵AP=x，
∴EF=PE=x，
∴y=S△PEF=?PE?EF=x2．
②当4＜x≤时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．
∵PQ=PC=8﹣x，
∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，
∴y=S△PMQ﹣S△MEG=（8﹣x）2﹣（16﹣3x）2=﹣x2+32x﹣64．
③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，
∴y=S△PMQ=PQ2=（8﹣x）2=x2﹣16x+64．
综上所述y=．