中考数学压轴题解法探究（9）—等腰三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略
等腰三角形的存在性问题解题策略
【专题解析】
考题研究：
近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。【来源：21cnj*y.co*m】
解题攻略：
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．21cnjy.com
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．21教育名师原创作品
解题思路：
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．?
解题类型：
动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题
背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景
【真题精讲】
类型一：肯定型存在性问题
典例1：（2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点21教育网
（1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
【分析】二次函数综合题．（1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出结论
（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；
（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
当m=2时，a=﹣，
当m=3时，a=﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）a=﹣
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
∴a=﹣，
（3）如图2，
∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，
∴，
∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，
①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，
④﹣⑤化简得，an=﹣1，
∴a=﹣
故答案为a=﹣，
（4）∵OB的长度为2m，AM=m，
∴S△AOB=OB×AM=2m×m=m2，
由（3）有，AN=n
∵PQ的长度为2n，
∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2，
由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣，
∴﹣=﹣，
∴m=n，
∴===，
∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．
变式训练1：
（2016·江西·12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1．
（1）求a的值；
（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
类型二：否定型存在性问题
典例2：（2016海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．综合题．（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；
（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=；
②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），
把C（0，﹣5）代入得a?5?1=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，
作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），
∴PQ=3﹣（﹣3）=6，
∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=?PQ?5=×6×5=15；
（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），
∴DH=﹣x﹣，
而AH+OH=5，
∴﹣x﹣x﹣=5，
整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），
∴OH=，
∴AH=5﹣=，
∵HE∥OC，
∴===；
②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），
当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；21·cn·jy·com
当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6），21*cnjy*com
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．
变式训练2：
（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
类型三：讨论型存在性问题
典例3（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
【解析】三角形综合题．（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC?OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB?OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=x+3，
令y=0代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴E（﹣3，0），
∴OE=3，
∴tan∠BEC==，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（﹣3，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为﹣，
令x=﹣代入y=x+3，
∴y=2，
∴P（﹣，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，
过点P1作P1F⊥x轴于点F，
∴P1B=AB=2，
∴EP1=6﹣2，
∴sin∠BEO=，
∴FP1=3﹣，
令y=3﹣代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴P1（﹣3，3﹣），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，
过点P2作P2G⊥x轴于点G，
∴P2B=AB=2，
∴EP2=6+2，
∴sin∠BEO=，
∴GP2=3+，
令y=3+代入y=x+3，
∴x=3，
∴P2（3，3+），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．
变式训练3：
（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点Cwww-2-1-cnjy-com
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【过关检测】
1. （2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）2·1·c·n·j·y
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2. （2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）2-1-c-n-j-y
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
3. （2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）填空：
①用含m的式子表示点C，D的坐标：
C（　　，　　），D（　　，　）；
②当m=　1　时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
4. （2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

【参考答案】
变式训练参考答案：
变式训练1：
（2016·江西·12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1．
（1）求a的值；
（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）直接把点A1的坐标代入y=ax2求出a的值；
（2）由题意可知：A1B1是点A1的纵坐标：则A1B1=2×12=2；A2B2是点A2的纵坐标：则A2B2=2×（）2=；…则AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=；
B1B2=1﹣=，B2B3=﹣==，…，BnBn+1=；
（3）因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分两种情况讨论：根据（2）的结论代入所得的对应边的比列式，计算求出k与m的关系，并与1≤k＜m≤n（k，m均为正整数）相结合，得出两种符合条件的值，分别代入两相似直角三角形计算相似比．
【解答】解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y=ax2上，
∴a=2；
（2）AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=，
BnBn+1=；
（3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则： =，
2n﹣3=n，n=3，
∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，
②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，
有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，
=， =， =，
所以，k=m（舍去），
ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，
=， =， =，
∴k+m=6，
∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），
∴取或；
当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，
相似比为： ==64，
当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，
相似比为： ==8，
所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1．
变式训练2：
（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【解析】二次函数综合题．（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．
【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
把C（0，4）代入：4=﹣2a，
a=﹣2，
∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），
S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（2，0）、C（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
设M（a，﹣2a+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
则AE的解析式为：y=x+，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（﹣x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴①，
由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，
由①②得：a1=4（舍），a2=，
当a=时，x=，
∴Q（﹣，0）．
　
变式训练3：
（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C21世纪教育网版权所有
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．压轴题；函数及其图象．（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．
（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN==，
∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．
②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，
线段AC的垂直平分线为y=x，
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．【来源：21·世纪·教育·网】
过关检测参考答案：
1. （2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）【版权所有：21教育】
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．
令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，
解得：x=，
∴点B的坐标为（，0）．
∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=，
∴点C的坐标为（2，3），
∴AC=2=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，
解得：x=﹣，或x=3．
∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选A．
2. （2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【分析】二次函数综合题．（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【解答】解：
（1）由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
3. （2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）填空：
①用含m的式子表示点C，D的坐标：
C（　m　，　m　），D（　2m　，　0　）；
②当m=　1　时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
【解析】二次函数综合题．（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；
（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；
②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．
解答： 解：（1）依题意，得，解得
∴y=x2﹣x
（2）C（m，m），D（2m，0），m=1
（3）依题意，得B（m，0）
在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，
∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，
∴CD=OC=m
在RT△AOE中，OA===
∴AC=OA﹣OC=﹣m
在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5
分三种情况讨论：
①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）
②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5
解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）
③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2
解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）
综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．
【点评】 此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．【出处：21教育名师】
4. （2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，
当y=0时，即﹣x2+x+3=0，
∴x1=﹣，x2=3
∴A（﹣，0），B（3，0），
∴OA=，OB=3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，
∴AC2+BC2=48，
∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
（2）如图，

∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
过点P作∥y轴，
设P（a，﹣ a2+a+3），
∴G（a，﹣ a+3），
∴PG=﹣a2+a，
设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC，
S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣（a﹣）2+，
∵0＜a＜3，
∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，），
将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，
连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，
∴P（，）
∴P′（，），
∵点A（﹣，0），
∴直线AP′的解析式为y=x+，
当x=0时，y= ，
∴N（0，），
过点P′作P′H⊥x轴于点H，
∴AH=，P′H=，AP′=，
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=；
（3）在Rt△AOC中，
∵tan∠OAC==，
∴∠OAC=60°，
∵OA=OA1，
∴△OAA1为等边三角形，
∴∠AOA1=60°，
∴∠BOC1=30°，
∵OC1=OC=3，
∴C1（，），
∵点A（﹣，0），E（，4），
∴AE=2，
∴A′E′=AE=2，
∵直线AE的解析式为y=x+2，
设点E′（a， a+2），
∴A′（a﹣2，﹣2）
∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7，
C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49，
①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2
即： a2﹣a+7=a2﹣a+49，
∴a=，
∴E′（，5），
②若A′C1=A′E′，
∴A′C12=A′E′2
即： a2﹣a+49=28，
∴a1=，a2=，
∴E′（，7+），或（，7﹣），
③若E′A′=E′C1，
∴E′A′2=E′C12
即： a2﹣a+7=28，
∴a1=，a2=（舍），
∴E′（，3+），
即，符合条件的点E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．