6.2 立方根
教学目标
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的唯一性.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立方根与平方根的区别。
3、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力，会用计算器计算立方根【来源：21cnj*y.co*m】
重点、难点
重点: 了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根，用立方运算求一个数的立方根.www.21-cn-jy.com
难点: 用立方运算求一个数的立方根，认识平方根与立方根的区别.
教学过程
1、 复习
请同学们回忆上节课我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？
生：如果，那么叫做的平方根（或二次方根）。符号表示：“”其中（教师板书）
师：昨天我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的？
生：开立方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。平方（互为逆运算）
师：那么平方根有什么样的性质呢？
生：正数有两个平方根，它们是互为相反数；0的平方根还是0；负数没有平方根。
设计意图：通过对平方根的复习，可以增加学 ( http: / / www.21cnjy.com )生对平方根的印象，同时，教师也能通过学生复习过程的表现，间接了解学生对知识的掌握程度，也能让学生再学习完立方根的新知识后，更好的对这两个概念进行比较。21世纪教育网版权所有
2、 情景导入
问题1：要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？你是怎么知道的？
设这种包装箱的棱长为,则=27.这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m.
三、探究新知
本题是已知一个数的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数，从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念。21*cnjy*com
师：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？
学生谈论思考，教师引导归纳概念：
概念归纳 ：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根（教师板书）21教育名师原创作品
师：因此，在上面问题中，因为，所以3是27的立方根。
类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。（板书）
填表：
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正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。因此，我们可以通过开立方与开平方的这种关系来求一个数的立方根。21教育网
设计意图：联系平方根的概念，让学生类比地给出立方根的概念，学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别。21*cnjy*com
根据探究的计算我们会发现，这样表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示出来呢？类似于平方根，一个数是被开方数，3是根指数。
师：现在我们学习了立方根的符号表示，就可以将探究中的数值用立方根的符号来表示出来：
①因为，所以 ②因为，所以
③因为，所以 ④因为，所以⑤因为，所以⑥因为，所以
⑦因为，所以
教师在书写过程中要重点强调：此处教师可以通过举反例的方法来引起学生的注意。
学习了立方根的符号后，大家是否有个疑问，立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢？如果有，它的根指数是多少？
教师通过学生的回答情况，教师强调：算术平方根的也有根指数，且为2,因此也可以读作“二次根号”，但是这里的根指数可以省略。
我们已经学过算术平方根的符号中的必需是非负数，那么立方根的符号中的取值有什么限制吗？
生：立方根符号中的没有限制，可以取任何数。
教师通过这个问题总结出：任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有非负数才有平方根。
讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
教师将题目板书出来，然后要求学生口答，然后让学生观察、讨论，归纳出立方根的性质。
①因为，所以8的立方根是（ 2 ） ②因为，所以8的立方根是（ ）
③因为，所以的立方根是（ ）④因为，所以的立方根是（ ）⑤因为，所以8的立方根是（ 0 ）⑥因为，所以的立方根是（ ）
⑦因为，所以的立方根是（ ）21·世纪*教育网
生：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
设计意图：让学生动手计算，亲身感受任何一个 ( http: / / www.21cnjy.com )数都有一个立方根，以及一个数的立方根的唯一性，并体会到立方根与立方互为逆运算，求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理。教学中，教师注意引导学生养成边做边总结的习惯，有利于学生明晰道理，学的明辨。
探究：因为所以
因为，所以
请同学们计算出上式，看看你能得出什么结论来？
学生计算出各题的答案后，能得出两者是相等的，教师再引导学生总结出一般规律： 。
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。（互为相反数的立方根也互为相反数）2-1-c-n-j-y
利用计算器计算，把结果填上空格.
= ， .
= .
结论：当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位.
设计意图：让学生自己动手计算，亲身感受并寻找出立方根的规律。
四、例题讲解
例：求下列各式的值：
分析：教师分析出每题的含义，然后再求解。
解：
例2、利用计算器计算：
解：依次按键1728=，显示： ，所以= 。
设计意图：例题着眼于弄清立方根的概念，因此 ( http: / / www.21cnjy.com )不仅用立方根的方法求立方根，且让学生学会从立方根与立方是互为逆运算中寻找解题途径，及时安排课堂练习可巩固这种学习成果。
例3、若=0，求x+y的值
解：由题意可知(x-5)与(y-6)互为相反数
所以(x-5)+(y-6)=0
即x+y=11
设计意图：在学生掌握了用计算器求算术平方根之后，小组展开讨论，在教学中，运用平方根的性质进行算术平方根的大小比较。
五、随堂练习
1．求下列各数的立方根
（1）-216； （2）0.008；
（3）-106； （4）
2、 下列各式中，正确的是（ ）
A、 B. ±=4 C.=-3 D.
3. 下列说法正确的是：（ ）
（A）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零。
（B）一个数的立方根与这个数同号，且零的立方根是零。
（C）1的立方根是±1。
（D）负数没有立方根。
4．利用计算器来求下列各式的值：（精确到0.001）
(1) （2） （3） （4）
5、求下列各式中的x
(1) (2) (3)
设计意图：随堂练习可以帮助学生巩固新知，老师从学生解题过程中了解教学效果，逐步提高解决问题的能力.
六、拓展延伸
1、已知：a的立方根
2、已知A=是a+b+3的算术平方根，B=是a+2b的立方根，试求B-A的立方根【出处：21教育名师】
设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。【版权所有：21教育】
七、课堂小结
1、如果一个数的立方等于a，那么这 ( http: / / www.21cnjy.com )个数叫做a的______或______方根，即如果x3=a，那么_____叫做____的立方根.表示为x=______；2·1·c·n·j·y
2、正数的立方根是__数；负数的立方根是___数；0的立方根是_；
3、_____；
4、当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位。
5、平方根与立方根的联系与区别？
设计意图：让学生回顾整节课的学习活动中自己的学习状况，学到的知识、方法及参与程度，同时逐渐让学生明白不仅要重视结果，更要重视探索过程.
八、教学反思
在解决问题的同时引导学生对解决方法 ( http: / / www.21cnjy.com )进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值
参考答案
随堂练习
1、(1)-6 (2)0.2 (3) (4)-3
2、C
3、B
4、解：(1) 9.539 (2) 0.753 (3)-0.684 (4) ±13.392
5、(1) ∵ ∴ x＝0.2
(2)∵ ∴x＝
(3) ∵x-1 ∴x=5
拓展延伸
1、解：∵
∴ =0
∴
∴
∴
2、解：由题意得：
∴
∴A==3，B=
∴B-A=2-3=-1
∴
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第六章 实数
6.2 立方根
1、练习：
（1）正数a的平方根是： 。
（2）正数a的算术平方根是： 。
（3）0的平方根是： 。
0的算术平方根是： 。
复习回顾
.
0
0
问题 : 要制作一个容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应当是多少？
情景导入
分析：设这种包装箱的边长为 x m,则x3 =___ ，这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为33 =27，所以x = . 即这种包装箱的边长应为____ m
27
3
3
这就是要求一个数，使它的立方等于27。你能算出来吗？
情景导入
33 =27，所以３是27的立方根。
立方根的定义：
探究新知
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根。即：如果 x3 = a，那么x叫做 a 的立方根。
如果 x3 = a ，则 x 叫做 a 的立方根。
记作：x= , 读作“三次根号a”．
注意：在中，根指数3不能省略，当根指数3省略时，它只表示算术平方根。
立方根的记法：
探究新知
算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2。因此，也可读作“二次根号a”
根号
根指数
被开方数
正如开平方与平方互为逆运算一样，
开立方与立方也互为逆运算．
我们可以根据这种关系求一个数的立方根．
探究新知
1
-2
3
-3
求立方
1
-8
27
-27
1
-8
27
-27
1
-2
3
-3
开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
归纳 正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____
数；0的立方根是_____.
因为______= ，所以 的立方根是______.
因为______=-8，所以-8的立方根是_____；
因为______=8 ，所以8的立方根是______；
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为______=0.064，所以0.064的立方根是_____；
因为______=0，所以0的立方根是________；
0.4
2
0
-2
负
正
0
探究新知
讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？
被开方数 平方根 立方根
正数
负数
零
有两个互为相反数
无平方根
零
有一个，是正数
有一个，是负数
零
探究新知
∵=____ ，_______;
∴ _____
∵=____ ，_______;
∴ _____
-2
-2
-3
=
-3
=
结论：一般地, .
探究新知
例1、 求下列各式的值：
(1) (2) (3)
解: (1) ______；(2)=______
(3)_______
4
例题讲解
(2) (3) (4)
解: (1) =____ (2) =______
(3) =_______(4)=_______
求下列各式的值：
10
-1
-0.1
牛刀小试
50的立方根记作 .
问题：有多大呢？
因为,
所以 < .
3
因为，
所以 <<
4
3.6
3.7
探究新知
……
如此进行下去，可以得到更精确的的近似值.事实上，=3.68403149……，它是一个无限不循环小数.
实际上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数，如，等都是_________ 小数，我们可以用 数近似地表示它们．
无限不循环
有理
探究新知
例2、利用计算器计算：
例题讲解
解：依次按键1845=，显示： ， 所以= 。
12.26494082
12.26494082
利用计算器计算，把结果填上空格.
= ， .
= .
结论：当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位.
0.06
0.6
6
右
1
左
1
探究新知
1、用计算器计算 （精确到0.001）并利用你发现的规律说出， ，的近似值.
解：≈ ，≈
≈ ，≈
4.642
0.04642
0.4642
46.42
牛刀小试
比较下列各组数的大小。
(1)与2.5 (2)与
解：(1) ∵
∴<2.5
(2) ∵
∴<
牛刀小试
例题讲解
例3、若=0，求x+y的值
解：由题意可知(x-5)与(y-6)互为相反数
所以(x-5)+(y-6)=0
即x+y=11
若的值。
解：由题意可知：(2y-4)与(4-3x)互为相反数。
所以(2y-4)+(4-3x)=0
即：2y=3x
所以
牛刀小试
1、求下列各数的立方根
2、 下列各式中，正确的是（ ）
（1）-216； （2）0.008；
（3）-106； （4）
- 6
0.2
- 102
C
-3
随堂练习
3、 下列说法正确的是：（ ）
（A）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零。
（B）一个数的立方根与这个数同号，且零的立方根是零。
（C）1的立方根是±1。
（D）负数没有立方根。
B
随堂练习
4、利用计算器来求下列各式的值：（精确到0.001）
（1） ≈ ，（2） ≈
（3） ≈ ，（4） ≈
解：(1) ∵ ∴ x＝0.2
(2)∵ ∴x＝
(3) ∵x-1 ∴x=5
(1) （2） （3）
5、求下列各式中的x
9.539
0.753
－0.684
±13.392
随堂练习
1、已知：a的立方根
解：∵
∴ =0
∴
拓展延伸
∴
∴
2、已知A=是a+b+3的算术平方根，B=是a+2b的立方根，试求B-A的立方根
解：由题意得：
∴
∴A==3，B=
∴B-A=2-3=-1
∴
课堂小结
2、正数的立方根是__数；负数的立方根是___数；0的立方根是_；
1、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的______或______方根，即如果x3=a，那么_____叫做____的立方根.表示为x=______；
3、 _____；
5、平方根与立方根的联系与区别？
立方根
三次
0
负
正
a
x
4、当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位。
右
1
1
左
