第19章 矩形、菱形与正方形 单元达标检测卷
(测试时间45分钟 试题总分100分)
一、选择题(每小题4分，共28分)
1.已知四边形ABCD，下列说法正确的是 ( )
A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2.顺次连结矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是 ( )
A.邻边不等的平行四边形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
3.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是( )21cnjy.com
A.3 B.4
C.5 D.7
4.如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是 ( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
5.已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的有 ( )
①当AB=BC时，它是菱形；
②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连结DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；21·cn·jy·com
④S△BEF=.在以上4个结论中，正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是 ( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题5分，共25分)
8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .21世纪教育网版权所有
9.如图，?ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合.若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 .2·1·c·n·j·y
10.如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2.
11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 .21·世纪*教育网
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= .www-2-1-cnjy-com
三、解答题(共47分)
13.(10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AF=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.2-1-c-n-j-y
求证：四边形ABCD为菱形.
14.(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC的中点，△DEF是等边三角形.21教育网
(1)求证：△ADF≌△BEF.
(2)求△BEF的周长.
15.(12分)如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF.www.21-cn-jy.com
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形.
(2)①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形.
(直接写出答案，不需要说明理由)
16.(13分)如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B，C不重合)，连结AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC'，延长QC'交BA的延长线于点M.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论.
(2)若AB=3，BP=2PC，求QM的长.
(3)当BP=m，PC=n时，求AM.
第19章 矩形、菱形与正方形 单元达标检测卷
(测试时间45分钟 试题总分100分)
一、选择题(每小题4分，共28分)
1.已知四边形ABCD，下列说法正确的是 ( )
A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【解析】选B.∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确.
2.顺次连结矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是 ( )
A.邻边不等的平行四边形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
【解析】选D.如图：E，F，G，H分别为矩形的各边中点，连结AC，BD.根据三角形中位线定理，得EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，EH=BD.21·cn·jy·com
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC=BD，∴EF=EH.
∴平行四边形EFGH为菱形.
3.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是( )www.21-cn-jy.com
A.3 B.4
C.5 D.7
【解题指南】解答本题的三个关键
(1)由矩形的性质和EF⊥EC，EF=EC，得出△AEF≌△DCE.
(2)由全等得AE=CD，再结合矩形的周长，求出AD.
(3)用AD减DE得出AE的长.
【解析】选A.∵矩形ABCD中，EF⊥EC，
∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
又∵EF=EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE=CD，
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，
∴CD+AD=8，∴AD-2+AD=8，AD=5，
∴AE=AD-DE=5-2=3.
4.如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是 ( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
【解析】选A.∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
∴△AOD≌△EOD；
∵在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC；
∵△AOD≌△EOD，∴△BOC≌△EOD；
故B，C，D选项均正确.
5.已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的有 ( )
①当AB=BC时，它是菱形；
②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；21世纪教育网版权所有
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知当AC=BD时，它是矩形，故④错误；
故不正确的有1个.
6.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连结DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；www-2-1-cnjy-com
④S△BEF=.在以上4个结论中，正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长为12，∴BE=EC=EF=6.
设AG=GF=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理可得：(x+6)2=62+(12-x)2，
解得x=4，∴AG=GF=4，∴BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，③错误；
S△BEG=×6×8=24，S△BEF=·S△BEG=×24=，④正确.
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是 ( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【解析】选D.∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，∴△AEO≌△AFO，
∴OE=OF，∠AOE=∠AOF，∴AD⊥EF.
当∠A=90°时，四边形AEDF为矩形，则AD=EF，
又AD⊥EF，∴四边形AEDF为正方形；
∵DE=DF，∴AE2+DF2=AE2+DE2=AD2，
AF2+DE2=AF2+DF2=AD2，
∴AE2+DF2=AF2+DE2.
二、填空题(每小题5分，共25分)
8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
矩形、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形.
答案：矩形和正方形
【易错警示】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【知识归纳】特殊平行四边形的对称性
(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.
(2)矩形与菱形有两条对称轴，正方形有四条对称轴.
(3)对角线的交点是它们的对称中心，过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.
9.如图，?ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合.若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 .21*cnjy*com
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，△ACD的面积为3，所以△ACD与△ABC的面积都等于3.因为四边形ACFE是矩形，所以S△ABE+S△CBF=S△ABC=3.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：3
10.如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2.
【解析】连结AC，BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，
∵E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，
∴EH=BD且EH∥BD，FG=BD且FG∥BD，∴EHFG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC⊥BD，EF∥AC，FG∥BD，∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB=6cm，∴AC=6cm，【出处：21教育名师】
∴AO=AC=3cm，
在Rt△AOB中，BO===3，
∴EF=3cm，FG=3cm，
∴S矩形EFGH=EF·FG=9cm2.
答案：9
11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 .21教育名师原创作品
【解析】过E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE===5.
答案：5
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= .21cnjy.com
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°.
∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°.
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF(SSS)，
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=(∠AOB-∠EOF)÷2
=(90°-60°)÷2=15°.
答案：15°
三、解答题(共47分)
13.(10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AF=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.【版权所有：21教育】
求证：四边形ABCD为菱形.
【证明】∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，
∵DF∥BE，∴∠BEF=∠DFE，∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD，∴AB=CD.
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
14.(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC的中点，△DEF是等边三角形.2·1·c·n·j·y
(1)求证：△ADF≌△BEF.
(2)求△BEF的周长.
【解析】(1)∵BC=2AD=2，点E是BC的中点，
∴AD=BE=CE=，∵AD∥BC，
∴四边形DEBA是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴四边形DEBA是矩形，
∴∠DEB=∠ADE=90°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=∠FDE=60°，DF=EF，
∴∠ADF=∠FEB=90°-60°=30°，
在△ADF和△BEF中，
∴△ADF≌△BEF.
(2)过点F作FH⊥CB交CB的延长线于H，
∵∠C=60°，CE=，
∴DE=·=3，即EF=3，
∴EH=EF=，
FH=EF=，∴BH=EH-BE=-=，
在Rt△BFH中，BF=
==，
∴△BEF的周长=3++=2+3.
15.(12分)如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF.21·世纪*教育网
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形.
(2)①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形.
(直接写出答案，不需要说明理由)
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△FCG≌△EDG(ASA)，∴FG=EG，
∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)①3.5 ②2
16.(13分)如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B，C不重合)，连结AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC'，延长QC'交BA的延长线于点M.2-1-c-n-j-y
(1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论.
(2)若AB=3，BP=2PC，求QM的长.
(3)当BP=m，PC=n时，求AM.
【解析】(1)AP=BQ，理由：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AP⊥QB，∠C=90°，
∴∠APB+∠PBQ=∠CQB+∠CBQ=90°，
∴∠APB=∠BQC，
在Rt△BCQ和Rt△ABP中
∴Rt△BCQ≌Rt△ABP，∴AP=BQ.
(2)由(1)可知：QC=PB，
∵AB=3，PB=2PC，∴QC=2.
由折叠的性质可知：QC'=2，∠CQB=∠C'QB，CB=C'B=3，
∵DC∥AB，∴∠MBQ=∠CQB，
∴∠C'QB=∠MBQ，∴MQ=MB，
设AM=x，则QM=3+x，MC'=1+x，
在Rt△BMC'中，由勾股定理得：(1+x)2+32=(3+x)2，解得x=0.25，∴QM=3.25.21教育网
(3)∵BP=m，PC=n，
设AM=a，
则BM=(m+n)+a，MC'=n+a，C'B=m+n，
在Rt△BMC'中，由勾股定理得：(n+a)2+(m+n)2=(m+n+a)2，
解得：a=，∴AM=.
