27.1.2 黄金分割 同步练习
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27.1.2 黄金分割
基础训练
知识点1 比例中项
1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.?
2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )
A.3 cm B.±3 cm C.±18 cm D.18 cm
3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )
A.4∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶4
4.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )21教育网
A. B.
C.± D.
知识点2 黄金分割
5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )
A.AB∶AC=AC∶BC B.AB∶BC=BC∶AC
C.AC∶BC=BC∶AB D.AC∶AB=AB∶BC
6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则
①AB=AC;②AC=AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )21·cn·jy·com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).?www.21-cn-jy.com
提升训练
考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题
8.已知线段a,b,c满足==,且a+2b+c=26.
(1)求a,b,c的值;
(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.
考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)
9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.2·1·c·n·j·y
(1)求MA,DM的长;
(2)求证:AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?
考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)
10.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,心理学测试表明,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感,现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳得出以下作图步骤(如图所示:)
第一步:任作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形(可取AB=2).
11.如图是一张矩形纸片ABCD,E,F分别是BC,AD上的点(但不与顶点重合),如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分:21世纪教育网版权所有
(1)问得到的两个四边形是否相似?若相似,请求出相似比;若不相似,请说明理由.
(2)这样的直线可以作几条?
12.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为 .【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
1.【答案】±6
解：∵x是2和18的比例中项,∴x=±=±6.
2.【答案】A
解：∵线段c的长度为正数,∴答案在A,D中选.∵c是a,b的比例中项,∴c2=ab=18,∴c=3 cm.21·世纪*教育网
3.【答案】B
4.【答案】D
解：易知OA=1,OD==2,
∴线段OA,OD的比例中项线段的长度为==.
5.【答案】A
解：根据黄金分割的定义判断.
6.【答案】B
解：由点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,可得==,由此可以判断③④正确,所以正确的说法有2个.故选B.www-2-1-cnjy-com
解题策略:解这类问题要明确在由黄金分割点分得的两条线段中,较长线段是较短线段和原线段的比例中项.
7.【答案】7
解：设她要穿x cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果.根据题意,得=,解得x≈7.
8.解:(1)=====2,
∴a=6,b=4,c=12.
(2)因为线段x是线段a,b的比例中项,所以x2=ab.
所以x===2.
9.(1)解:如图,∵P为边AB的中点,
∴AP=AB=1,∴DP===.∴PF=PD=.∴FA=PF-AP=-1.∴AM=FA=-1,DM=AD-MA=3-.21cnjy.com
(2)证
明:∵AM2=(-1)2=6-2,AD·DM=2(3-)=6-2,∴AM2=AD·DM.
(3)解:图中的点M为线段AD的黄金分割点.
10.证明:在正方形ABCD中,取AB=2.
∵N为BC的中点,∴NC=BC=1.
在Rt△DNC中,ND===.
又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=-1,
∴=.故矩形DCEF为黄金矩形.
11.解:(1)设AF=a,DF=b,BE=m,EC=n,
AB=CD=h(a,b,m,n,h均大于零).
由题意知S梯形ABEF=S梯形CDFE,即(a+m)·h=(b+n)·h,所以a+m=b+n.①
又AD=BC,所以a+b=m+n,即a=m+n-b.②
把②代入①,得m+n-b+m=b+n,
所以m=b,即DF=BE.
所以AF=EC.故有====1.
在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,∠BEF=∠DFE.
所以四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似,且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条.
分析:(1)分别设出直线分矩形两边所成的四条线段,由分成的两部分面积相等可得各边关系.(2)过对角线交点的任一条直线都满足条件.
12.(,0) 点拨:由题意,点A1的坐标为(1,0),
点A2的坐标为(3,0),即(,0),
点A3的坐标为(9,0),即(,0),
点A4的坐标为(27,0),即(,0),
,…,
∴点An的坐标为(,0).
基础训练
知识点1 比例中项
1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.?
2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )
A.3 cm B.±3 cm C.±18 cm D.18 cm
3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )
A.4∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶4
4.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )21教育网
A. B.
C.± D.
知识点2 黄金分割
5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )
A.AB∶AC=AC∶BC B.AB∶BC=BC∶AC
C.AC∶BC=BC∶AB D.AC∶AB=AB∶BC
6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则
①AB=AC;②AC=AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )21·cn·jy·com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).?www.21-cn-jy.com
提升训练
考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题
8.已知线段a,b,c满足==,且a+2b+c=26.
(1)求a,b,c的值;
(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.
考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)
9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.2·1·c·n·j·y
(1)求MA,DM的长;
(2)求证:AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?
考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)
10.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,心理学测试表明,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感,现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳得出以下作图步骤(如图所示:)
第一步:任作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形(可取AB=2).
11.如图是一张矩形纸片ABCD,E,F分别是BC,AD上的点(但不与顶点重合),如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分:21世纪教育网版权所有
(1)问得到的两个四边形是否相似?若相似,请求出相似比;若不相似,请说明理由.
(2)这样的直线可以作几条?
12.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为 .【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
1.【答案】±6
解：∵x是2和18的比例中项,∴x=±=±6.
2.【答案】A
解：∵线段c的长度为正数,∴答案在A,D中选.∵c是a,b的比例中项,∴c2=ab=18,∴c=3 cm.21·世纪*教育网
3.【答案】B
4.【答案】D
解：易知OA=1,OD==2,
∴线段OA,OD的比例中项线段的长度为==.
5.【答案】A
解：根据黄金分割的定义判断.
6.【答案】B
解：由点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,可得==,由此可以判断③④正确,所以正确的说法有2个.故选B.www-2-1-cnjy-com
解题策略:解这类问题要明确在由黄金分割点分得的两条线段中,较长线段是较短线段和原线段的比例中项.
7.【答案】7
解：设她要穿x cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果.根据题意,得=,解得x≈7.
8.解:(1)=====2,
∴a=6,b=4,c=12.
(2)因为线段x是线段a,b的比例中项,所以x2=ab.
所以x===2.
9.(1)解:如图,∵P为边AB的中点,
∴AP=AB=1,∴DP===.∴PF=PD=.∴FA=PF-AP=-1.∴AM=FA=-1,DM=AD-MA=3-.21cnjy.com
(2)证
明:∵AM2=(-1)2=6-2,AD·DM=2(3-)=6-2,∴AM2=AD·DM.
(3)解:图中的点M为线段AD的黄金分割点.
10.证明:在正方形ABCD中,取AB=2.
∵N为BC的中点,∴NC=BC=1.
在Rt△DNC中,ND===.
又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=-1,
∴=.故矩形DCEF为黄金矩形.
11.解:(1)设AF=a,DF=b,BE=m,EC=n,
AB=CD=h(a,b,m,n,h均大于零).
由题意知S梯形ABEF=S梯形CDFE,即(a+m)·h=(b+n)·h,所以a+m=b+n.①
又AD=BC,所以a+b=m+n,即a=m+n-b.②
把②代入①,得m+n-b+m=b+n,
所以m=b,即DF=BE.
所以AF=EC.故有====1.
在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,∠BEF=∠DFE.
所以四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似,且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条.
分析:(1)分别设出直线分矩形两边所成的四条线段,由分成的两部分面积相等可得各边关系.(2)过对角线交点的任一条直线都满足条件.
12.(,0) 点拨:由题意,点A1的坐标为(1,0),
点A2的坐标为(3,0),即(,0),
点A3的坐标为(9,0),即(,0),
点A4的坐标为(27,0),即(,0),
,…,
∴点An的坐标为(,0).