2017年中考数学二轮专题复习讲义第19讲四边形综合问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（19）四边形综合问题
【专题点拨】
四边形是中考中的重要考点，主要考察学生对图形的认识、图形知识的掌握，辅助线的添加等内容，综合性较强，注重学生正确的推理与计算能力的培养。21*cnjy*com
【解题策略】
解决这类问题的关键应把握四边形的性质与判定，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间关系，进行观察、解析找到解决途径，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系。【典例解析】【出处：21教育名师】
类型一：平行四边形问题
例题1：（2016·山东省菏泽市·3分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．21*cnjy*com
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
变式训练1：
（2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
类型二：特殊平行四边形问题
例题2：（2016·山东省济宁市·3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【考点】正方形的性质．
【解析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=CM．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2=BD2，
∵BD=，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1；
（2）CN=CM．
证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴AF=CN，
∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，
∴∠BAF=∠OCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABF=∠COM=90°，
∴△ABF∽△COM，
∴=，
∴==，
即CN=CM．
变式训练2：
（2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
类型三：四边形与图形变换综合问题
例题3：（2016·山东省东营市·10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．
【考点】等腰三角形——等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形——正方形的性质、旋转——旋转的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性质、相似三角形——相似三角形的判判定和性质
【解析】（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.
【解答】(l)解：BD＝CF成立．
证明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.
(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，
在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②解：如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.
在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.
在Rt△BMD与Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.
∴AB＝2，AD＝3，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.
∴MB＝3－2＝1,DB＝＝.
∵＝.∴＝.
∴DH＝.
【点评】本题考查了全等三角形的判判定和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；
变式训练3：
（2015?随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　∠BAD=2∠EAF　关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
类型四：四边形探究问题
例题4：（2016·浙江省绍兴市·14分）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．
（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．
【考点】四边形综合题．
【解析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣
则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）
直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3
则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；
（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，
如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
则Rt△ABP≌Rt△PNM，
∴AB=PN=4，MN=BP，
设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，
∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），
x=，
∴M（，）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M1（x，2x﹣3），
过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，
则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，
∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），
∴x+3﹣（2x﹣3）=4，
x=2
∴M1（2，1）；
设M2（x，2x﹣3），
同理可得x+2x﹣3﹣3=4，
∴x=，
∴M2（，）；
综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；
（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x≤2．
　
变式训练4：
（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【能力检测】
1. （2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
2. （2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：21教育网
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
3. （2015?内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．21cnjy.com
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；www-2-1-cnjy-com
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
4. 已知：正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/秒的速度运动，与此同时，点F也从点D出发沿DC方向相同的速度运动，记运动的时间为t（0≤t≤4），AF与BE交于P点．
（1）如图，在运动过程中，AF与BE相等吗？请说明理由．
（2）在运动过程中，要使得△BPC是等腰三角形，t应为何值？请画出图形，并求出所有满足条件的t值．
5. （2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【参考答案】
变式训练1：
（2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．
【解析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，
∴EM=BE=，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=，
∴MC=3，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，
∴EC===10．
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值为10．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
变式训练2：
（2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．21·世纪*教育网
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【解析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断解析．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
变式训练3：
（2015?随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．21·cn·jy·com
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　∠BAD=2∠EAF　关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
变式训练4：
（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【考点】四边形综合题．
【解析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF?cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2，
∴EB=EG﹣BG=2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，
∴FH=CF?cos30°=（2﹣2）?=3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
【能力检测】
1. （2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【解析】（1）如图所示；
（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD，OA=OC．
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF．
∵在△BEO与△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE=DF．
2. （2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．
【解析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；【版权所有：21教育】
（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFC=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
3. （2015?内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．www.21-cn-jy.com
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；21教育名师原创作品
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
【考点】 几何变换综合题．
【解析】（1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．
【解答】 解：（1）DF=DE．理由如下：
如答图1，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．
依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．【来源：21cnj*y.co*m】
∵＞0，
∴该抛物线的开口方向向上，
∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．
【点评】 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键．
4. 已知：正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/秒的速度运动，与此同时，点F也从点D出发沿DC方向相同的速度运动，记运动的时间为t（0≤t≤4），AF与BE交于P点．
（1）如图，在运动过程中，AF与BE相等吗？请说明理由．
（2）在运动过程中，要使得△BPC是等腰三角形，t应为何值？请画出图形，并求出所有满足条件的t值．
【解析】（1）结论：AF=BE，只要证明△ABE≌△DAF即可．
（2）分两种情形讨论：①如图2中，当CP=CB时，作CM⊥BE垂足为O，交AB于M，先证明AM=BM，再证明△ABE≌△CBM即可，②如图3中，当点E运动到与点D重合，点F运动到与点C重合时，△PBC是等腰三角形，求出t即可．
【解答】（1）结论：AF=BE，
证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF．
（2）①如图2中，当CP=CB时，作CM⊥BE垂足为O，交AB于M．
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠APE=90°，
∴AF⊥BE，
∴OM∥AP，
∵OP=OB，
∴AM=BM，
∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，
∴∠AEB=∠CMB，
在△ABE和△CBM中，
，
∴△ABE≌△CBM，
∴AE=BM=2，
∴t=2，
②如图3中，当点E运动到与点D重合，点F运动到与点C重合时，△PBC是等腰三角形，此时t=4，
③当t=0时，点E在点A处，点F在点D处，则AF于BE的交点P于点A重合，此时，△BPC显然是等腰直角三角形
∴t=0或2或4时，△BPC是等腰三角形．
【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考常考题型．
5. （2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【考点】平行四边形的判定与性质．
【解析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．2-1-c-n-j-y