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《矩形的性质》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；
（2）探索并能证明矩形的性质；会用矩形的性质解决相关问题；
（3）理解“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。”这一重要推论。
2.过程与方法
进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。
3.情感态度和价值观
培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
【教学重点】
矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明。
【教学难点】
正方形的性质及直角三角形性质的正确应用。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】上节课我们学行四边形的相关性质，按照边、角及对角线的不同，具有一定的性质，大家能够回忆一下这些性质都是什么吗？21世纪教育网版权所有
（学生回答）
【过渡】在生活中，我们经常能够看到各式各样的平行四边形，也会看到一些特殊的四边形。
课件展示几组图片。
【过渡】这样的图形我们并不陌生，通常我们 ( http: / / www.21cnjy.com )称这种图形为长方形。其实在数学中，它应该叫做矩形，这种与平行四边形类似的矩形，是否也具有与平行四边形类似的性质呢？今天我们就来探究一下，我们常见的矩形具有什么样的性质。21·cn·jy·com
二、新课教学
1．矩形的性质
【过渡】类比于平行四边形，我们先将其中的一个角变为90°，如图所示。这个时候，我们就得到了一个矩形。www.21-cn-jy.com
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
【过渡】从定义中可以看出，矩形是特殊的平行四边形。像刚刚的图片，矩形是生活中经常能够看到的图形，一般我们也将它称为长方形。21·世纪*教育网
图片展示几个矩形。
【过渡】认识一个新的图形，我们就要从它的性质入手。既然矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的性质。【版权所有：21教育】
（1）矩形的两组对边分别平行；
（2）矩形的两组对边分别相等；
（3）矩形的两组对角分别相等；
（4）矩形的两条对角线互相平分；
（5）矩形的邻角互补。
【过渡】除了这些性质之外，矩形还具有哪些特殊的性质呢？
【过渡】观察矩形，结合所学知识，你们有什么猜想吗？
猜想1：矩形的四个角都是直角。
猜想2：矩形的对角线相等。
【过渡】根据矩形所具有的平行四边形的性质，你们能证明这两个猜想吗？
课件展示证明过程。
【过渡】通过刚刚的证明，我们证实了我们的猜想是正确的。因此，矩形也具有这样两个性质;
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
【过渡】画出矩形的对角线，我们发现，矩形可 ( http: / / www.21cnjy.com )以由两个全等的直角三角形构成。上节课中，我们利用平行四边形研究了三角形的中位线定理。那么，现在我们利用矩形，又能得到直角三角形的什么性质呢？21教育网
【过渡】如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
( http: / / www.21cnjy.com / )
得到了一个直角三角形。
【过渡】Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？21*cnjy*com
【过渡】根据矩形的性质，我们知道，对角线AC=BD，而BO= BD，因此BO= AC。这就是直角三角形的一个性质，即：【出处：21教育名师】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【过渡】通常，利用矩形的性质和直角三角形的性质，可以解决一些简单的问题。
课本例1。
【过渡】对于例1的这个问题，一般情况下，还会有这样几种变式问题。
课件展示并讲解。
【知识巩固】1、长方形ABCD中，AB=8，对角线AC=10，求矩形ABCD的面积。
解：AB=8，AC=10，
矩形ABCD各内角为直角，
∴在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，
∴BC==6，
∴矩形ABCD的面积为6×8=48。
答：矩形ABCD的面积为48。
2、如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE=3∠BAE，求∠OAE与∠DAO的度数。21教育名师原创作品
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解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，∴∠OAE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DAO=∠DAE-∠OAE=67.5°-45°=22.5°。
3、3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，O是BD中点，E是AC中点，试说明OE⊥AC。2·1·c·n·j·y
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解：连接OA、OC，
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∵∠BAD=∠BCD=90°，O是BD中点，
∴OA= BD，OC= BD，
∴OA=OC，
又E是AC中点，
∴OE⊥AC．
4、已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点。【来源：21·世纪·教育·网】
求证：GF⊥DE。
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解：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．同理，EG=BC．
∴DG=EG（等量代换）。
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE。
【达标检测】1、已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AB=6，BC=8，则点O到AB、BC的距离分别是（ D ）21cnjy.com
A．3、5 B．4、5 C．3、4 D．4、3
2、已知矩形ABCD中，对角线AC=10，周长为28，则矩形的面积为 48 。
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ C ）2-1-c-n-j-y
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A．60° B．45° C．30° D．75°
4、如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD边上的点，且AE=CF，点G、H分别为DE和BF的中点，求证：AG=CH。 www-2-1-cnjy-com
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解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠BCF=90°，AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∵点G、H分别为DE和BF的中点，
∴AG= DE，CH= BF，
∴AG=CH。
【拓展提升】1、如图所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF。【来源：21cnj*y.co*m】
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解：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．
∵矩形对角线相等，
∴△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD①
又∵ AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°
∵ ∠CHG是△CHF的外角，∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH②
由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF。
【板书设计】
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【教学反思】
举例生活中给人以矩形形象物 ( http: / / www.21cnjy.com )体；给学生一个感性认知。引导学生利用实验由特殊到一般认识的对矩形的性质研究，得出结论，并让所有的学生用推理的形式给以证明。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用总之，本节课的设计的每个环节都是以学生为主体，充分体现新课标的理念，对于新知识的获取能够建立在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，并能体会到自己的探索是有意义、有价值的能培养他们在学习上的自信心，也便于激发他们对学习的浓厚兴趣。另外，学生对自己探究出的结论，记忆也会更加深刻久远，理解也更加渗透到位。这样一种教学方式，更加有助于学生完善学习过程，学生的探索创新思维、创新精神和创造能力将获得极大的提高。21*cnjy*com
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《矩形的性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
2．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD等于（ ）21教育网
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A．5 B．6 C．7 D．8
3．Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（ ）
A．5cm B．15cm C．10cm D．2.5cm
4．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（ ）21cnjy.com
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A．17 B．21 C．24 D．27
5．如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有（ ）21·cn·jy·com
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OA ( http: / / www.21cnjy.com )BC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）2·1·c·n·j·y
二、解答——知识提高运用
7．如果把电视屏幕看作一个长方形平面， ( http: / / www.21cnjy.com )建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是 。
8．长方形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为 。
9．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小。【来源：21·世纪·教育·网】
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10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的。
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11．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF。
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（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长。
12．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D。
2．【答案】C
【解析】∵矩形ABCD，
∴∠ADC=90°，
∵EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠EDC，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=E=3，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∵AE=5，EF=3，
由勾股定理得：AF=4，
∴AD=AF+DF=3+4=7。
故选C。
3．【答案】A
【解析】∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=10cm，
∵CD是AB的中线，
∴CD= AB=5cm．
故选A。
4．【答案】A
【解析】∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，
∴FM= BC= ×10=5，
同理可得，ME= BC= ×10=5，
又∵EF=7，
∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17。
故选A。
5．【答案】C
【解析】∵S△ABD与S△ADF，底边为AD，高为AB，
∴S△ABD=S△ADF
∴S△ABD-S△ADE=S△ADE，
∴S△ABE=S△DEF，
∵S△ABF与S△BDF，底边为BF，高为AB，
∴S△ABF=S△BDF，
S△ADF与S△BCD，等底，等高，
∴S△ADF=S△BDC，
∴图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，
故选：C。
6．【答案】B
【解析】由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B′AC=∠DCA，
∴AD=CD，
设OD=x，则DC=6-x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2+OD2=AD2，
即9+x2=（6-x）2，
解得：x=，
∴点D的坐标为：（0，-），
故选：B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（32，28）
【解析】长方形对边相等，且邻边垂直，
且右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），
则右上方的横坐标为32，纵坐标为28，
故右上方点的坐标是（32，28），
故答案为 （32，28）。
8．【答案】设矩形的长为x，宽为y，
周长为14，则x+y=7，
面积为12，则xy=12，
解得x=4，y=3，
则对角线AC= =5。
故答案为：5。
9．【答案】如图，连接AC，则AC=BD=CF，
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所以∠F=∠5
而且∠1=∠3
∠4=∠6-∠7=∠BEF+∠F-∠7
=90°-∠7+∠F
=∠1+∠F
=∠3+∠5
=∠2
∴∠4=∠2= =45°，
∴∠BAF的度数为45°。
10．【答案】当F为BC上的中点时，△FDE是等腰三角形，
证明：∵DC⊥DB，F为BC上的中点，
∴DF= BC，
∵BE⊥EC，F为BC上的中点，
∴EF= BC，
∴DF=EF，
∴△FDE是等腰三角形。
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴EF=AF；
（2）解：BF=BC-FC=12-7=5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF= = =，
则EF=AF=。
12．【答案】如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来38盆红花；理由如下：
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴一条对角线用了38盆红花，
∴还需要从花房运来红花38盆；
如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来48盆红花；理由如下：
一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点，49-1=48，
∴还需要从花房运来红花48盆。
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人教版 八年级下册
18.2 矩形的性质
导入新课
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形有哪些性质？
①边:
②角:
③对角线:
A
B
C
D
对边平行且相等.
对角相等且邻角互补.
互相平分.
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
导入新课
特殊的平行四边形
新课学习
矩形的性质
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
新课学习
新课学习
四、矩形的两条对角线互相平分；
三、矩形的两组对角分别相等；
二、矩形的两组对边分别相等；
五、矩形的邻角互补。
矩形的性质1：
一、矩形的两组对边分别平行；
新课学习
想一想：
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
如何证明？
新课学习
已知：四边形ABCD是矩形,∠B=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90°
∴∠B=∠D=90° ∠A=∠C
∵ ∠B+ ∠A=180°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
猜想1：
新课学习
已知：四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD
猜想2：
新课学习
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD.
矩形的性质2：
新课学习
矩形的性质
平行四边形的性质 矩形的性质 矩形特有的性质
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
没什么特别的
四个角都是直角
对角线相等
知识巩固
1.长方形ABCD中，AB=8，对角线AC=10，求矩形ABCD的面积。
分析：矩形各内角为直角，已知AC，AB，根据勾股定理即可求得BC的值，根据AB，BC即可求得矩形ABCD的面积
知识巩固
解：AB=8，AC=10，
矩形ABCD各内角为直角，
∴在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，
∴BC==6，
∴矩形ABCD的面积为6×8=48。
答：矩形ABCD的面积为48。
知识巩固
2.如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE=3∠BAE，求∠OAE与∠DAO的度数。
分析：根据矩形性质求出OA=OB，∠BAD=90°，求出∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，求出∠ABO的度数和推出∠OAB=∠OBA，即可求出答案。
知识巩固
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，∴∠OAE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DAO=∠DAE-∠OAE=67.5°-45°=22.5°。
新课学习
A
B
C
D
O
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
B
C
O
A
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
探究
直角三角形
新课学习
A
B
C
D
O
B
C
O
A
AC=BD
BO=BD
BO=AC
新课学习
O
C
D
A
B
┛
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
Rt△ABC中，AO=BC
新课学习
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,
AB=4㎝,求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分，∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形，
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长
AC=BD=2OA=8(㎝)
D
C
B
A
O
方法小结:如果矩形两对角
线的夹角是60°或120°,
则其中必有等边三角形.
新课学习
变式1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4cm，则AC= .
A
B
C
D
O
变式2：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB:∠BOC=1:2 ，AB=4cm，则AC= .
变式3：如图，矩形ABCD的ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=8，则AB=_____.
8cm
8cm
4cm
知识巩固
3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，O是BD中点，E是AC中点，试说明OE⊥AC。
知识巩固
解析：连接OA、OC，
∵∠BAD=∠BCD=90°，O是BD中点，
∴OA=BD，OC=BD，
∴OA=OC，
又E是AC中点，
∴OE⊥AC．
知识巩固
4.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点。
求证：GF⊥DE。
知识巩固
解析：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．同理，EG=BC．
∴DG=EG（等量代换）．
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE。
课堂小结
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
达标检测
1.已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AB=6，BC=8，则点O到AB、BC的距离分别是（ ）
A．3、5 B．4、5 C．3、4 D．4、3
分析：作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，由等腰三角形的性质得出AM=BM，BN=CN，证出OM、ON是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出OM=BC=4，ON=AB=3即可．
D
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2.已知矩形ABCD中，对角线AC=10，周长为28，则矩形的面积为 ．
分析：设长方形的长为x、宽为y，根据长方形的周长可以计算x+y的值，根据勾股定理即可列出关于x、y的方程式，即可求得x、y的值．
48
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3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
分析：根据轴对称的性质可知∠CED=∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
C
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4.如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD边上的点，且AE=CF，点G、H分别为DE和BF的中点，求证：AG=CH。
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解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠BCF=90°，AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∵点G、H分别为DE和BF的中点，
∴AG=DE，CH=BF，
∴AG=CH．
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1.如图所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF
分析：只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
拓展提升
解析：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．
∵矩形对角线相等，
∴△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD①
又∵ AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．
∵ ∠CHG是△CHF的外角，∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH②
由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF。
