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《矩形的判定》教案
【教学目标】
1.知识与技能
经历图形性质的探讨，掌握矩形的判定定理。
2.过程与方法
在参与观察、实验、猜想、证明。能用矩形的判定定理解决一些简单的问题。。
3.情感态度和价值观
在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服 困难的意志，建立自信心。
【教学重点】
矩形判定定理的推导。
【教学难点】
正确运用矩形的判定定理。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】大家看老师手里拿到的一个相框，大家说一下，根据你观察到的，这个相框是什么形状呢？
（学生回答）
【过渡】很多同学都在说，这是一个矩形，大家能用什么方法来证明呢？
（学生回答）
【过渡】利用上节课我们所学的矩形的相关性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，我们可以利用直尺或量角器来证明这个相框是矩形。除了这种方法之外，今天我们再来学习几种矩形的判定方法。21教育网
二、新课教学
1．矩形的判定
【过渡】首先，像刚刚大家说的那样，根据矩形的定义，我们可以判断一个四边形是否为矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
【过渡】除了这种方法之外，还有别的吗？大家看一下课本思考的内容。
在日常生活中，我们经常能看到这样的场景。工 ( http: / / www.21cnjy.com )人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？21cnjy.com
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
【过渡】大家能证明这个猜想吗？
【过渡】证明时，我们需要结合矩形的定义，从证明一个角为90°入手，再根据平行四边形的性质，从而找出已知条件。大家动手试一下吧。21·cn·jy·com
课件展示证明过程。
【过渡】由此，我们得到了矩形的另一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
【过渡】在上一节课的学习当中，我们知道一个矩形的四个角都是直角，如果将这个命题反过来，即它的逆命题还成立吗？2·1·c·n·j·y
如果上述逆命题成立，那么进一步说，至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
【过渡】我们该如何证明这个猜想呢？
按照刚刚的判定定理的证明，大家能有什么样的思路呢？
（学生回答证明）
课件展示证明过程。
【过渡】矩形的另一个判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形。
课本例2讲解。
【过渡】今天我们主要学习了矩形的判定定理，现在，大家来练习一下吧。
【知识巩固】1、□ABCD中，AE、CF、BF、DE分别为四个内角平分线，求证：EGFH是矩形。
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别是内角的平分线，
∴∠BAG=∠DAG=∠BAD，∠ABG=∠CBE=∠ABC，
∴∠BAG+∠ABG=（∠BAD+∠ABC）=90°，
同理：∠E=∠F=90°，
∴∠EGF=90°，∴四边形EGFH是矩形。
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于E．若AB=2，AE=2，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=2，
∵AB2+BE2=22+22=8=（2 ）2=AE2，
∴△ABE是直角三角形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
3、如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形。
【达标检测】1、四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ B ）www.21-cn-jy.com
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD
2、下列命题中，假命题是（ C ）
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
3、有下列说法：①四个角都 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中，正确的个数是（ B ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。
（1）请判断四边形ABEC的形状；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
解：（1）四边形ABEC是平行四边形；理由如下：
∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）当∠BAC=90°，四边形ABEC是矩形；理由如下：
∵四边形ABEC是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【拓展提升】1、如图，在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，角线AC、BD相交于点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，求出经过几秒后，四边形BPDQ是矩形？21世纪教育网版权所有
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解： 设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形；
则AE=CF=t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC=6，OB=OD=BD=4，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，
此时6-t=4，或t-6=2，
解得：t=2，或t=8，
即经过2秒或8秒后，四边形BPDQ是矩形。
【板书设计】
1、矩形的判定：
（1）定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
【教学反思】
本节课主要是关于判定的推导，采用的 ( http: / / www.21cnjy.com )教学方法是以实际物体及实例进行开展，通过不断创设有效的教学情境刺激学生的思维，与学生进行真诚的交流，让学生在整堂课中能在不断出现的问题及不断被自己"聪明"的解决问题的成功喜悦中进行学习，享受学习的乐趣，从而获得好的教学效果。
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《矩形的判定》练习
一、选择——基础知识运用
1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD
B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D．∠A=∠B=90°，AC=BD
2．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
3．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．如果再增加条件AC=BD，此四边形一定是（ ）21cnjy.com
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
4．有下列说法：①四个角都相等的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
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对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对）
二、解答——知识提高运用
6．已知，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD是矩形。
7．如图所示，在□ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：□ABCD是矩形。
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8．已知：在△ABC中，∠A=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形。21教育网
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9．如图，□ABCD与□ABEF中，BC=BE，∠ABC=∠ABE，求证：四边形EFDC是矩形。
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10．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F。
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形。
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11．如图，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。
（1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边得四边形是矩形？
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴B正确；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，∴C不正确；
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC＝BD；AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴D正确；
故选：C。
2．【答案】C
【解析】根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形。21·cn·jy·com
故选C。
3．【答案】B
【解析】∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形。
故选：B。
4．【答案】C
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=360°÷4=90°，∴①正确；
如图1AD∥BC，∠A=∠B=90°，不能推出∠C和∠D也是90°，如直角梯形，∴②错误；
∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴③正确；
根据对角线相等和有一个角是直角不能推出四边形是平行四边形，即不是矩形，∴④错误；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴⑤正确；
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
即AB是两平行线AD和BC间的高，
∵CD=AB，
∴CD应也是AD和BC间的高，
∴CD⊥BC，
根据矩形的定义得出四边形是矩形，∴⑥正确；
∴正确的个数是4个，
故选C。
5．【答案】A
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形。
所以乙的作业正确；
故选A。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵AB=5，AD=12，BD=13．
∴AB2+AD2=BD2，
∴∠BAD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
7．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=DC，
∴∠D+∠A=180°，
∵E是AD边的中点，
∴AE=DE，
∵△CBE是等边三角形，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
AB＝DC ；AE＝DE ；BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SSS），
∴∠A=∠D，
∵∠D+∠A=90°，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是矩形。
8．【答案】∵M，N分别是DE，BE的中点，
∴MN是△BDE的中位线，
∴MN∥AB，MN=BD，
同理：PN∥CE，PN=CE，MQ∥CE，MQ=CE，
∴PN=MQ，PN∥MQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴BA⊥CA，
∵MN∥AB，MQ∥AC，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∴四边形PQMN是矩形。
9．【答案】∵在□ABCD与□ABEF中，AB∥CD，AB=CD，AB∥EF，AB=EF，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∵BC=BE，∠ABC=∠ABE，
∴AB⊥CE，
∴CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴四边形EFDC是矩形。
10．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE；
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形。
11．【答案】（1）当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24-t=3t，
解得，t=6，
即当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形。
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人教版 八年级下册
18.2 矩形的判定
导入新课
如何判断相框是否为矩形？
使用直尺和量角器，利用矩形的定义及性质。
还有其他的方法吗？
新课学习
矩形的判定
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
平行四边形ABCD
∠A=90°
四边形ABCD是矩形。
矩形的判定1：
新课学习
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？
新课学习
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
分析：平行四边形的性质
邻角相等
90°
矩形的定义，得证。
新课学习
证明
∴ AB=CD, BC=BC（平行四边形对边相等）
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）
在 △ABC和△DCB中
AB=CD （已证）
BC=BC （已证）
AC=BD （已知）
∴ ∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）
又∵ ∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补）
∴ ∠ABC=90°（等式的性质）
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）
A
B
C
D
又∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）
新课学习
矩形的判定2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形。
几何语言：
A
B
C
D
O
新课学习
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
1、矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。
想一想
2、如果上述逆命题成立，那么进一步说，至少有几个
角是直角的四边形是矩形呢？
新课学习
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°
D
A
B
C
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝90°
∴∠A＋∠B＝180°
∴AD∥BC
同理：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A＝90°
∴四边形ABCD是矩形。
新课学习
矩形的判定3：
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：
新课学习
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC,OB=OD=BD
又OA=OD，
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=90°
又∠OAD=50°
∴∠OAB=40°
知识巩固
1. □ABCD中，AE、CF、BF、DE分别为四个内角平分线，求证：EGFH是矩形。
分析：由平行四边形的性质得出邻角互补，由角平分线的定义得出∠AGB=90°，同理：∠E=∠F=90°，得出∠EGF=90°，即可得出结论。
知识巩固
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别是内角的平分线，
∴∠BAG=∠DAG=∠BAD，∠ABG=∠CBE=∠ABC，
∴∠BAG+∠ABG=（∠BAD+∠ABC）=90°，
同理：∠E=∠F=90°，
∴∠EGF=90°，∴四边形EGFH是矩形。
知识巩固
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于E．若AB=2，AE=2，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由
分析：由平行线的性质和已知条件得出∠D+∠C=180°，证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由平行线的性质和已知条件得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB=2，由勾股定理的逆定理证出△ABE是直角三角形，∠B=90°，即可得出四边形ABCD是矩形．
知识巩固
解：四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=2，
∵AB2+BE2=22+22=8=（2 ）2=AE2，
∴△ABE是直角三角形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
知识巩固
3.如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
知识巩固
解：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，∴EO=BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=AC，∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形。
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的判定：
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
达标检测
1.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD
分析：由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
B
达标检测
2.下列命题中，假命题是（ ）
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
分析：利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可.
C
达标检测
3.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中，正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B
达标检测
4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。
（1）请判断四边形ABEC的形状；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
达标检测
解析：（1）四边形ABEC是平行四边形；理由如下：
∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）当∠BAC=90°，四边形ABEC是矩形；理由如下：
∵四边形ABEC是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
拓展提升
1.如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、BD相交于点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，求出经过几秒后，四边形BPDQ是矩形？
拓展提升
解析：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形；
则AE=CF=t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，
此时6-t=4，或t-6=2，
解得：t=2，或t=8，
即经过2秒或8秒后，四边形BPDQ是矩形．
