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《三角形的中位线定理》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握三角形中位线定理的证明及内容。
（2）正确利永三角形中位线定理解决问题。
2.过程与方法
进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。
3.情感态度和价值观
培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
【教学重点】
探索并证明三角形中位线定理。
【教学难点】
正确利用三角形中位线定理解决问题
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了判定平行四边形的方法，现在我们来练习一下，看大家掌握的情况如何。
判断下列条件能否判定一个四边形是平行四边形。
A．一组对边平行，另一组对边相等。
B．一组对角相等，另一组对角互补。
C．一组对角相等，一组邻角互补。
D．一组对边平行，一组对角互补
（学生回答）
【过渡】看来大家掌握的都不错。今天我们将随着平行四边形的性质与判定来学习一个新的内容。
二、新课教学
1．三角形的中位线定理
【过渡】回忆我们前两节课的内容，不难发现 ( http: / / www.21cnjy.com )，在研究平行四边形的过程中，我们经常会用到三角形的全等的性质，那么，今天我们就来研究一下通过平行四边形得到的三角形的性质。
【过渡】如图所示的三角形，画出△ABC的AB、AC边中点D、E，连接DE。像DE这样的就是三角形的中位线。21cnjy.com
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【过渡】现在大家想一想，一个三角形中有几条中位线呢？
【过渡】三角形有三条边，那么三条边都有中点，分别连接三条边的中点，我们就会得到三条中位线，这三条中位线围成了一个小三角形。21·cn·jy·com
一个三角形有三条中位线。
【过渡】在学习三角形的相关知识的时候，我们学习过三角形中线的相关知识，那么中线和中位线一样吗？如果不一样，他们有什么区别呢？www.21-cn-jy.com
给出一个三角形，我们画出其中线，发现，中线 ( http: / / www.21cnjy.com )是中点与顶点的连线。因此，两者之间的差别是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是中点与对边中点的连线。
【过渡】了解了什么是三角形的中位线之后，我们来看一个问题，中位线与对边的关系如何呢？
课本探究内容。
【过渡】对于两条线段的关系，我们一般从两个方面去考虑它们的关系，一个是位置，一个是大小，通过对图的观察以及之前学过的内容，我们猜想：21世纪教育网版权所有
DE∥BC，DE=BC
你能证明这个猜想吗？
【过渡】通过之前的学习，我们知道，证明线段平行，一般可以通过内错角相等，以及平行四边形的性质。
课件展示证明过程。
【过渡】通过刚刚的证明，我们得出猜想是正确的，因此，我们将其称为三角形的中位线定理。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
【过渡】我们知道，一个三角形中有三条中位线，这三条中位线围成的三角形与原三角形的周长有什么关系呢？面积又有什么关系呢？2·1·c·n·j·y
根据周长和面积的计算公式，以及三角形的中位线定理，可得：
中位线围成的三角形的周长是原三角形的一半，面积是1/4。
【练习】课件展示练习。
【知识巩固】1、如图，在△ABC中，D、E ( http: / / www.21cnjy.com )分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，若∠AFC=90°，EF=3DF，则BC的长为（ D ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．13 B．14 C．15 D．16
2、如图，点D、E、F分别为△ABC的三边的中点，若△DEF的周长是10，则△ABC的周长是（ D ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．10 C．15 D．20
3、如图，M、N分别是△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的边AC和AB的中点，D为BC上任意一点，连接AD，将△AMN沿AD方向平移到△A1M1N1的位置且M1N1在BC边上，已知△AMN的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ A ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14 B．21 C．28 D．7．
4、在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）.
求证：∠DEF=∠HFE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；
同理可证∠CDE=∠B，
∴∠DEF=∠B．
又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，
∴HF=BF，
∴∠B=∠BHF，
∴∠HFE=∠B=∠DEF．
即∠HFE=∠DEF。
【拓展提升】1、在四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )CBD相交于O点，AC=BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由．
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解：如图，取BC边的中点G，连接EG，FG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EG∥AC，EG= 1/2AC，
同理：FG∥BD，FG= 1 /2 BD，
∵AC=BD，∴EG=FG，∴∠GEF=∠GFE．
∵EG∥AC，∴∠OMN=∠GEF．
同理，∠ONM=∠GFE．∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON．即△MON是等腰三角形
【板书设计】
1、三角形的中位线：
一个三角形中有3条中位线。
2、三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
【教学反思】
本节内容主要是结合平行四边形的相关 ( http: / / www.21cnjy.com )知识进行，因此，在此基础上，通过学生的猜想、证明等参与，使学生掌握三角形中位线的定义及定理，并通过练习加强记忆。21教育网
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《三角形的中位线定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）21世纪教育网版权所有
A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图，在△ABC中，AC=8，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（ ）21教育网
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A．2 B． C．3 D．4
3．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（ ）
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A．点G是△ABC的重心
B．DE∥BC
C．△ABC的面积=2△ADE的面积
D．BG=2GE
4．如图，在矩形ABCD中，P ( http: / / www.21cnjy.com )、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（ ）
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A．线段EF的长逐渐增长
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长始终不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
5．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通 ( http: / / www.21cnjy.com )过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）21cnjy.com
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A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
二、解答——知识提高运用
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN= AC。21·cn·jy·com
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7．如图，已知：四边形ABCD中，AD=B ( http: / / www.21cnjy.com )C，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。www.21-cn-jy.com
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8．如图，在梯形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．则四边形AEFD是什么特殊的四边形？请说明理由。
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9．如图，在△ABC中，E，F分别为A ( http: / / www.21cnjy.com )B，BC边上的中点，G，H是AC的三等分点，EG，FH的延长线交于点D．求证：①DG：EG=2：1；②四边形ABCD是平行四边形。
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10．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE。2·1·c·n·j·y
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11．如图，△ABC的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，依此类推。【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）若△ABC的周长为1，则第2014个三角形的周长是多少？第n个三角形的周长呢？
（2）若S△ABC=1，则第2014个三角形的面积是多少？第n个三角形的面积呢？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且DE= AC，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：6×2=12。
故选：C。
2．【答案】A
【解析】∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCD，
在△ACD和△FCD中，
∠ACD＝∠FCD；CD＝CD；∠ADC＝∠FDC，
∴△ACD≌△FCD，
∴FC=AC=8，AD=DF，
∴BF=BC-CF=4，
∵E为AB的中点，AD=DF，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE= BF=2，
故选：A。
3．【答案】C
【解析】∵△ABC的中线BE与CD交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴DE∥BC且DE= BC，所以选项A、B正确；
∵点G是△ABC的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得BG=2GE，
∴选项D正确；
由△ADE∽△ABC，可知△ABC的面积=4△ADE的面积，
所以选项C错误。
故选C。
4．【答案】C
【解析】连接AR，
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∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，
∴AD和DR不变，
∵由勾股定理得：AR2= AD2+DR2，
∴AR的长不变，
∵E、F分别为AP、RP的中点，
∴EF=AR，
即线段EF的长始终不变，
故选C。
5．【答案】D
【解析】∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，CM=AM，
∴MN∥AB，MN= AB，AB=2MN=12m，CM：MA=1：1，
∴△CMN∽△CAB；
故选：D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】作DM∥BN交AC于M，
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∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，又DM∥BN，
∴NM=MC，
∵点P是AD的中点，DM∥BN，
∴AN=NM，
∴AN=NM=MC，即AN= AC。
7．【答案】连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF。如下图：
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∵E是CD的中点，且EM∥AD，
∴EM= AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点
∴MF∥BC，且MF= BC。
∵AD=BC，
∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE。
∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF
∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF
∴∠AHF=∠BGF。
8．【答案】四边形AEFD是平行四边形；理由如下：
∵AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥DC，
∵AE⊥BD，
∴AE∥DC，
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点，
∴EF是△BDC的中位线，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形。
9．【答案】②连接BD交AC于O，连结BG，BH，如图所示：
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∵E是AB中点，AG=GH
∴AE=BE，EG是△ABH的一条中位线，
∴EG∥BH，即GD∥BH，
同理可证BG∥DH，
∴四边形BHDG是平行四边形．
∴BO=OD，GO=OH，
又∵AG=HC，
∴AG+GO=HC+OH，
即AO=OC，
又∵BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2AE，AB∥CD，
∴△CDG∽△AEG，
∴DG：EG=CD：AE=2：1。
10．【答案】作BF∥AC交EC于F，
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∴∠FBC=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠FBC=∠ABC，
∵BF∥AC，BE=AB，
∴BF= AC，CF= CE，
∵CD是AB边上的中线，∴BD= AB，
∴BF=BD，
在△FBC和△DBC中，
BF＝BD；∠FBC＝∠DBC；BC＝BC，
∴△FBC≌△DBC，
∴CD=CF，
∴CD= CE。
11．【答案】（1）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的周长之比是1：2，
则第二个三角形的周长为，
第三个三角形的周长为，
则第2014个三角形的周长是，第n个三角形的周长；
（2）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的面积之比是1：4，
则第二个三角形的面积为，
第三个三角形的面积为，
则第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积。
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人教版 八年级下册
18.1 三角形的中位线定理
导入新课
判断下列条件能否判定一个四边形是平行四边形。
A．一组对边平行，另一组对边相等。
B．一组对角相等，另一组对角互补。
C．一组对角相等，一组邻角互补。
D．一组对边平行，一组对角互补
不能
不能
不能
能
新课学习
三角形的中位线定理
如图，画出△ABC的AB、AC边中点D、E，连接DE．
D
E
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
F
一个三角形有几条中位线呢？
一个三角形有三条中位线。
新课学习
三角形中位线与三角形中线有什么区别？
想一想
A
B
C
D
E
F
（2）三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．
中位线是 点与 点的连线；中线是 点与对边 点的连线．
中
顶
中
中
新课学习
如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
D
E
位置关系
数量关系
猜想：
DE与BC的关系
DE∥BC
探究
DE=BC
如何证明？
新课学习
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC ，DE=BC
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
截长补短
分析：
D
E
F
新课学习
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC，EF=DE
∴ CF∥DA，CF=DA
∴ CF∥BD，CF=BD
∴ DF∥BC，DF=BC
又DE= DF
∴DE∥BC且DE= BC
新课学习
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理：
A
B
C
D
E
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE= BC
符号语言：
（ ∵AD=BD, AE=CE )
新课学习
三角形的三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？面积又有什么关系呢？
想一想
D
E
F
=
=
牛刀小试
A、B两点被池塘阻隔，如何测两点距离？
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N。测出MN的长，就可知A、B两点的距离。
根据三角形的中位线定理，找到AB连线的中位线，如图MN所示。测出MN距离即可。
如果MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
知识巩固
1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，若∠AFC=90°，EF=3DF，则BC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
分析：根据直角三角形的性质得到EF=6，根据EF=3DF，得到DF=2，求出DE，根据三角形中位线定理解答即可。
D
知识巩固
2.如图，点D、E、F分别为△ABC的三边的中点，若△DEF的周长是10，则△ABC的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
分析：根据三角形的中位线定理，△ABC的各边长等于△DEF的各边长的2倍，从而得出△ABC的周长。
D
知识巩固
3.如图，M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，D为BC上任意一点，连接AD，将△AMN沿AD方向平移到△A1M1N1的位置且M1N1在BC边上，已知△AMN的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．7．
分析：根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN= BC，得到△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可．
A
知识巩固
解析：∵M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，
∴MN∥BC，MN= BC，
∴△AMN∽△ACB，相似比为1：4，
∵△AMN的面积为7，
∴△ABC的面积为28，
由平移的性质可知，△AMN的面积=△A1M1N1的面积=7，
∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14，
故选：A．
知识巩固
4.在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）.
求证：∠DEF=∠HFE．
分析：EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证∠FHB=∠CDE．
知识巩固
解：∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；
同理可证∠CDE=∠B，
∴∠DEF=∠B．
又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，
∴HF=BF，∴∠B=∠BHF，∴∠HFE=∠B=∠DEF．
即∠HFE=∠DEF。
课堂小结
1、三角形的中位线
2、三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
拓展提升
1.在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由．
分析：取BC边的中点G，连接EG，FG．根据三角形中位线定理得到GE=GF，根据平行线的性质和等量代换得到∠OMN=∠ONM，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
拓展提升
解析：如图，取BC边的中点G，连接EG，FG．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EG∥AC，EG= AC，
同理：FG∥BD，FG= BD，
∵AC=BD，∴EG=FG，∴∠GEF=∠GFE．
∵EG∥AC，∴∠OMN=∠GEF．
同理，∠ONM=∠GFE．∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON．即△MON是等腰三角形
