8.3.1平方差公式同步练习
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沪科版七年级下册数学8.3.1平方差同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )
A.2 B.4 C.4a D.2a2+2
2. 若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是 ( )
A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2
3. 下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )
A.y-x B.x-y C.x+y D.-x-y
4. 计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
5若|x+y-5|+(x-y-3)2=0，则x2-y2的结果是（ ）
A.2 B.8 C.15 D.无法确定
6. 下列因式分解正确的是( )
A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D.-x2-y2=(x-y)(x+y)【出处：21教育名师】
7.计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A.a8-b8 B.a6-b6 C.b8-a8 D.b6-a6
8. .如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有（ ）。【版权所有：21教育】
.①②③④ B、.③④ C、.①②D、.①②③
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如果x+y=-4,x-y=8,那么代数式x2-y2的值是 .
10. (a+1)(a-1)(1-a2)=_____．
11. (x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．
12. 若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．
13.观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．
14. 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．21教育名师原创作品
（1）从0开始第7个智慧数是 ______ ；
（2）不大于200的智慧数共有 ______ ．
三、计算题(本大题共5小题)
15. 先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝，b＝-1．
16. 化简． (1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
17.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.2-1-c-n-j-y
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.21*cnjy*com
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
18如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
19.老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析：将a+1和a-1看成一个整体，用平方差公式解答．
解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C.
2.A
分析：对左边进行转化后利用平方差公式即可解答。
解： (3x-y2)=（-y2+3x）
则（-y2+3x）（-y2-3x）= y4-9 x2，故选项为A
3.A
分析：几何平方差公式进行解答。
解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故选A．
4. A
分析：先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故选A．
5.C
分析：根据绝对值和平方的非负性得到x、y的值，再利用平方差公式解答即可
解：由|x+y-5|+（x-y-3）2=0，得 x+y-5=0，x-y-3=0，
即x+y=5，x-y=3，
故x2-y2=（x+y）（x-y）=5×3=15．
故选C．
6. C
分析：结合平方差公式对每个式子进行分析得到答案。
解：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2，不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项错误；21教育网
B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项错误；
C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项正确；
D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2，故此选项错误；
故选：C．
7.C
分析：多次运用平方差公式计算即可．
解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故选C．
8. A
解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），故可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式； 21·cn·jy·com
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）（a-b）．可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式； www.21-cn-jy.com
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（2b+2a）?（a-b）=（a+b）（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）?（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式．2·1·c·n·j·y
故答案是：①②③④．
分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2-b2=（a+b）（a-b）． 二、填空题(本大题共6小题)21cnjy.com
9.分析：由题目可发现x2-y2=(x+y)(x-y),然后用整体代入法进行求解
解：因为x+y=-4,x-y=8,
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案:-32
10. 分析：根据平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出答案．
解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1；
11.分析：根据平方差公式解答即可．
解：∵（x-y+z）[z-（x-y）]=z2-（x-y）2，
∴要填入的是z-x+y．
故答案为：z-x+y．
12.分析：先按照平方差公式把x2-y2=48写成（x+y）（x-y）=48的形式，再由x+y=6得出x-y的值，然后把3x-3y写成3（x-y）的形式，最好把x-y的值代入即可．
解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48， ∵x+y=6，∴x-y=8， 则3x-3y=3（x-y）=3×8=24．【来源：21·世纪·教育·网】
13.
分析：根据题目信息，可得：（a-1）（an+an-1+an-2+…+a2+a+1）=an+1-1，由此计算即可．
解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1； 22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1．
14. 分析：此题主要考查了新定义，得出智慧数的分布规律是解题关键．
解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（2）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
（1）根据智慧数的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案；
（2）根据（1）中规律可得．
三、计算题(本大题共5小题)
15. 分析：首先利用平方差公式进行化简后再代入计算即可。
解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)·(a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab- b2=-2 ab.当a=，b=-l时，原式＝1． 21·世纪*教育网
16. 分析：利用平方差公式进行计算即可。
解：(1)原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32．21世纪教育网版权所有
(2)原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
=(232-1)．
17.分析：（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2。21*cnjy*com
（2）根据（1）得出的值，直接可写出乘法公式。
解：(1)图1中阴影部分面积为S1=a2-b2;图2中阴影部分面积为S2=(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).www-2-1-cnjy-com
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
18. 解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数． (2)(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．【来源：21cnj*y.co*m】
19.解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数． (3)证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
一、选择题(本大题共8小题)
1.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )
A.2 B.4 C.4a D.2a2+2
2. 若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是 ( )
A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2
3. 下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )
A.y-x B.x-y C.x+y D.-x-y
4. 计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
5若|x+y-5|+(x-y-3)2=0，则x2-y2的结果是（ ）
A.2 B.8 C.15 D.无法确定
6. 下列因式分解正确的是( )
A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D.-x2-y2=(x-y)(x+y)【出处：21教育名师】
7.计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A.a8-b8 B.a6-b6 C.b8-a8 D.b6-a6
8. .如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有（ ）。【版权所有：21教育】
.①②③④ B、.③④ C、.①②D、.①②③
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如果x+y=-4,x-y=8,那么代数式x2-y2的值是 .
10. (a+1)(a-1)(1-a2)=_____．
11. (x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．
12. 若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．
13.观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．
14. 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．21教育名师原创作品
（1）从0开始第7个智慧数是 ______ ；
（2）不大于200的智慧数共有 ______ ．
三、计算题(本大题共5小题)
15. 先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝，b＝-1．
16. 化简． (1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
17.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.2-1-c-n-j-y
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.21*cnjy*com
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
18如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
19.老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析：将a+1和a-1看成一个整体，用平方差公式解答．
解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C.
2.A
分析：对左边进行转化后利用平方差公式即可解答。
解： (3x-y2)=（-y2+3x）
则（-y2+3x）（-y2-3x）= y4-9 x2，故选项为A
3.A
分析：几何平方差公式进行解答。
解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故选A．
4. A
分析：先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故选A．
5.C
分析：根据绝对值和平方的非负性得到x、y的值，再利用平方差公式解答即可
解：由|x+y-5|+（x-y-3）2=0，得 x+y-5=0，x-y-3=0，
即x+y=5，x-y=3，
故x2-y2=（x+y）（x-y）=5×3=15．
故选C．
6. C
分析：结合平方差公式对每个式子进行分析得到答案。
解：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2，不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项错误；21教育网
B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项错误；
C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项正确；
D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2，故此选项错误；
故选：C．
7.C
分析：多次运用平方差公式计算即可．
解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故选C．
8. A
解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），故可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式； 21·cn·jy·com
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）（a-b）．可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式； www.21-cn-jy.com
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（2b+2a）?（a-b）=（a+b）（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）?（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式．2·1·c·n·j·y
故答案是：①②③④．
分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2-b2=（a+b）（a-b）． 二、填空题(本大题共6小题)21cnjy.com
9.分析：由题目可发现x2-y2=(x+y)(x-y),然后用整体代入法进行求解
解：因为x+y=-4,x-y=8,
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案:-32
10. 分析：根据平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出答案．
解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1；
11.分析：根据平方差公式解答即可．
解：∵（x-y+z）[z-（x-y）]=z2-（x-y）2，
∴要填入的是z-x+y．
故答案为：z-x+y．
12.分析：先按照平方差公式把x2-y2=48写成（x+y）（x-y）=48的形式，再由x+y=6得出x-y的值，然后把3x-3y写成3（x-y）的形式，最好把x-y的值代入即可．
解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48， ∵x+y=6，∴x-y=8， 则3x-3y=3（x-y）=3×8=24．【来源：21·世纪·教育·网】
13.
分析：根据题目信息，可得：（a-1）（an+an-1+an-2+…+a2+a+1）=an+1-1，由此计算即可．
解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1； 22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1．
14. 分析：此题主要考查了新定义，得出智慧数的分布规律是解题关键．
解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（2）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
（1）根据智慧数的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案；
（2）根据（1）中规律可得．
三、计算题(本大题共5小题)
15. 分析：首先利用平方差公式进行化简后再代入计算即可。
解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)·(a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab- b2=-2 ab.当a=，b=-l时，原式＝1． 21·世纪*教育网
16. 分析：利用平方差公式进行计算即可。
解：(1)原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32．21世纪教育网版权所有
(2)原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
=(232-1)．
17.分析：（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2。21*cnjy*com
（2）根据（1）得出的值，直接可写出乘法公式。
解：(1)图1中阴影部分面积为S1=a2-b2;图2中阴影部分面积为S2=(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).www-2-1-cnjy-com
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
18. 解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数． (2)(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．【来源：21cnj*y.co*m】
19.解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数． (3)证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．