8.4因式分解同步练习
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沪科版七年级下册数学8.4因式分解同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c=x（a+b）+c
2. 下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．2a2+2a B．a2+2a+1 C．a2﹣1 D．
3. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（ ）
A．100 B．0 C．-100 D．502·1·c·n·j·y
4. 下列各式的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
6. 已知不论x为何值，x2-kx-15=(x+5)(x-3)，则k值为（ ）
A、2 B、-2 C、5 D、-3
7. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)分解因式，一个因式是(m-1)，则另一个因式是（ ）
A、m+1 B、2m C、2 D、m+2
8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x=20，y=10，用上述方法产生的密码不可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A．201010 B．203010 C．301020 D．201030
二、填空题(本大题共6小题)
9. 简便计算：7.292﹣2.712= ．
10. 如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解= ．
11. 已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2016= ．
12. 若对x恒成立，则n= ．
13. 在实数范围内因式分解：= ．
14. 已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是 ．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）a2b﹣2ab+b
（4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y．
16. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
17. 如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．21教育网
若h=a+b，且a，b满足a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
18. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．21·cn·jy·com
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. C
分析：根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．21·世纪*教育网
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
2. D
分析;本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子．
解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），故本选项正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，故本选项正确；
C、a2﹣1=（a+1）（a﹣1），故本选项正确；
D、=（a+2，故本选项错误．
故选D．
3. C
分析：根据因式分解的意义解答即可．
解：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．www-2-1-cnjy-com
比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．2-1-c-n-j-y
4.A
分析：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．
解：A．，正确；
B．，错误；
C．，错误；
D．，错误；故选A．
5.A
分析：根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可．
解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故选：A．
6. B
分析：直接利用多项式乘以多项式得出等式右边多项式进而得出k的值．
解：∵x2-kx-15=（x+5）（x-3），
∴x2-kx-15=x2+2x-15，
∴-k=2，则k=-2．故选B．
7. D
分析：把多项式（m+1）（m-1）+（m-1）提取公因式（m-1）后，即可知答案.
解：（m+1）（m-1）+（m-1）=（m-1）（m+1+1）=（m-1）（m+2），故选D．
8. A
分析：对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），
当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x﹣y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，
所以组成的密码不可能是201010．
故选A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：根据平方差公式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），即可解答出；
解：根据平方差公式得，
7.292﹣2.712=（7.29+2.71）（7.29﹣2.71），
=10×4.58，
=45.8；
故答案为：45.8．
10. 分析：根据图形和等积法可以对题目中的式子进行因式分解．
解：由图可知，
a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b），
故答案为：（a+b）（a+4b）．
11.分析：在代数式a3﹣a2﹣a+2016中提取出a，再将a2﹣a﹣1=0代入其中即可得出结论．
解：∵a2﹣a﹣1=0，
∴a3﹣a2﹣a+2016=a（a2﹣a﹣1）+2016=0+2016=2016．
故答案为：2016．
12.分析：因式分解-十字相乘法等．
解：∵，∴，故，解得：n=4．故答案为：4．
13.分析：实数范围内分解因式．
解：原式==，故答案为：．
14.分析：根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．
解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．依题意得
（a﹣3）2+|b﹣1|=0，则
a﹣3=0．b﹣1=0，
解得 a=3，b=1．
所以a3b3+2a2b2+ab=ab（a2b2+2ab+1）=ab（ab+1）2=3×16=48，
故答案为：48．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：（1）直接提公因式y﹣z即可；
（2）利用平方差分解后，再利用平方差进行二次分解即可；
（3）首先提公因式b，再利用完全平方公式进行分解即可；
（4）首先把后两项组合提公因式3，再提公因式3（x﹣2y）即可．
解：（1）原式=2a（y﹣z）+3b（y﹣z）=（y﹣z）（2a+3b）；
（2）原式=（4﹣a2）（4+a2）=（2﹣a）（2+a）（4+a2）；
（3）原式=b（a2﹣2a+1）=b（a﹣1）2；
（4）原式=3（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）=3（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
16. 分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（3）设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2﹣2x+1）2，
=（x﹣1）4．
17. 分析：（1）侧面四个长方形和上下两个底面也是长方形，所以折叠后能围成长方体．
（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出其左视图；
（3）对a2+b2﹣a﹣6b+10=0进行因式分解，求得a、b的值，则易求h的值，然后由几何体的表面积计算公式进行解答．21cnjy.com
解：（1）根据该包装盒的表面展开图知，该几何体模型的名称为：长方体或底面为长方形的直棱柱．
故答案为：长方体或底面为长方形的直棱柱；
（2）如图所示：
；
（3）由题意得，（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a=2，b=3，
所以h=a+b=2+3=5．
所以表面积为：2（2×3+5×2+3×5）=62．
18. 分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．www.21-cn-jy.com
解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
∵大正方形的面积=（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
一、选择题(本大题共8小题)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c=x（a+b）+c
2. 下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．2a2+2a B．a2+2a+1 C．a2﹣1 D．
3. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（ ）
A．100 B．0 C．-100 D．502·1·c·n·j·y
4. 下列各式的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
6. 已知不论x为何值，x2-kx-15=(x+5)(x-3)，则k值为（ ）
A、2 B、-2 C、5 D、-3
7. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)分解因式，一个因式是(m-1)，则另一个因式是（ ）
A、m+1 B、2m C、2 D、m+2
8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x=20，y=10，用上述方法产生的密码不可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A．201010 B．203010 C．301020 D．201030
二、填空题(本大题共6小题)
9. 简便计算：7.292﹣2.712= ．
10. 如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解= ．
11. 已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2016= ．
12. 若对x恒成立，则n= ．
13. 在实数范围内因式分解：= ．
14. 已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是 ．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）a2b﹣2ab+b
（4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y．
16. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
17. 如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．21教育网
若h=a+b，且a，b满足a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
18. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．21·cn·jy·com
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. C
分析：根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．21·世纪*教育网
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
2. D
分析;本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子．
解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），故本选项正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，故本选项正确；
C、a2﹣1=（a+1）（a﹣1），故本选项正确；
D、=（a+2，故本选项错误．
故选D．
3. C
分析：根据因式分解的意义解答即可．
解：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．www-2-1-cnjy-com
比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．2-1-c-n-j-y
4.A
分析：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．
解：A．，正确；
B．，错误；
C．，错误；
D．，错误；故选A．
5.A
分析：根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可．
解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故选：A．
6. B
分析：直接利用多项式乘以多项式得出等式右边多项式进而得出k的值．
解：∵x2-kx-15=（x+5）（x-3），
∴x2-kx-15=x2+2x-15，
∴-k=2，则k=-2．故选B．
7. D
分析：把多项式（m+1）（m-1）+（m-1）提取公因式（m-1）后，即可知答案.
解：（m+1）（m-1）+（m-1）=（m-1）（m+1+1）=（m-1）（m+2），故选D．
8. A
分析：对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），
当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x﹣y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，
所以组成的密码不可能是201010．
故选A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：根据平方差公式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），即可解答出；
解：根据平方差公式得，
7.292﹣2.712=（7.29+2.71）（7.29﹣2.71），
=10×4.58，
=45.8；
故答案为：45.8．
10. 分析：根据图形和等积法可以对题目中的式子进行因式分解．
解：由图可知，
a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b），
故答案为：（a+b）（a+4b）．
11.分析：在代数式a3﹣a2﹣a+2016中提取出a，再将a2﹣a﹣1=0代入其中即可得出结论．
解：∵a2﹣a﹣1=0，
∴a3﹣a2﹣a+2016=a（a2﹣a﹣1）+2016=0+2016=2016．
故答案为：2016．
12.分析：因式分解-十字相乘法等．
解：∵，∴，故，解得：n=4．故答案为：4．
13.分析：实数范围内分解因式．
解：原式==，故答案为：．
14.分析：根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．
解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．依题意得
（a﹣3）2+|b﹣1|=0，则
a﹣3=0．b﹣1=0，
解得 a=3，b=1．
所以a3b3+2a2b2+ab=ab（a2b2+2ab+1）=ab（ab+1）2=3×16=48，
故答案为：48．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：（1）直接提公因式y﹣z即可；
（2）利用平方差分解后，再利用平方差进行二次分解即可；
（3）首先提公因式b，再利用完全平方公式进行分解即可；
（4）首先把后两项组合提公因式3，再提公因式3（x﹣2y）即可．
解：（1）原式=2a（y﹣z）+3b（y﹣z）=（y﹣z）（2a+3b）；
（2）原式=（4﹣a2）（4+a2）=（2﹣a）（2+a）（4+a2）；
（3）原式=b（a2﹣2a+1）=b（a﹣1）2；
（4）原式=3（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）=3（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
16. 分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（3）设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2﹣2x+1）2，
=（x﹣1）4．
17. 分析：（1）侧面四个长方形和上下两个底面也是长方形，所以折叠后能围成长方体．
（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出其左视图；
（3）对a2+b2﹣a﹣6b+10=0进行因式分解，求得a、b的值，则易求h的值，然后由几何体的表面积计算公式进行解答．21cnjy.com
解：（1）根据该包装盒的表面展开图知，该几何体模型的名称为：长方体或底面为长方形的直棱柱．
故答案为：长方体或底面为长方形的直棱柱；
（2）如图所示：
；
（3）由题意得，（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a=2，b=3，
所以h=a+b=2+3=5．
所以表面积为：2（2×3+5×2+3×5）=62．
18. 分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．www.21-cn-jy.com
解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
∵大正方形的面积=（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．