第六课时
交集、并集
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学习要求：
1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。
2、注意用数轴、文氏图来解决交集、并集问题。
3、分类讨论思想在解题中的应用。
【精典范例】
一、交集并集性质的应用
例1、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。
(1)判断B、C、D间的关系；
(2)求A∩B。
【解】：
B=C∪D
A∩B={(),(－2,
－1)}∪{(4，－4)}.
二、交集、并集在实际生活中的应用
例2、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小组的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。
思维分析：题目以应用为背景，解题关键是将文字转化为集合语言，用集合运算来解决错综复杂的现实问题。
解：由文氏图易得，既参加航模小组又参加电脑小组的人数最大值是25人，最小值是7人。
三、数形结合思想与交集并集的应用
例3、已知集合A={x|－2
0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0－2}，求a、b的值。
答案：a=－1，b=2.
评注：此题应熟悉集合的交与并的含义，掌握在数轴上表示集合的交与并的方法.
四、分类讨论思想与交集并集的综合应用
例4、已知集合A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值范围。
分析：先求出集合A，由A∪B=A，由A∩C=CCA,然后根据方程根的情况讨论。
答案：a=2或a=4,
－2评注：本例考查A与B，A与C的关系和分类讨论的能力。
追踪训练
1、集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.
答案：{x<－3或x>4}
2、集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.
A、0
B、1
C、2
D、－1
答案：D
3、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。
答案：P=8,
a=5
,b=－6
4、集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.
答案：x≠－1且x≠0且x≠3
5、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B，求实数a的值。
(2)若A∪B=B,求实数a的值。
答案：(1)a=1或a≤－1；
(2)a=1第二课时
集合的表示
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学习要求
1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法；
2．初步理解集合相等的概念，并会
初步运用，
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课堂互动】
自学评价
1.
集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素一一列举出来，并________
____________表示集合的方法叫列举法.
注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③各元素的出现无顺序；
④集合里的元素不能重复；
⑤集合里的元素可以表示任何事物.
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质（
）表示出来，写成_________的形式,
称之为描述法.
注意：
①写清楚该集合中元素满足性质；
②不能出现未被说明的字母；
③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；
④所有描述的内容都要写在集合的括号
内；
⑤用于描述的语句力求简明，准确.
思考:还有其它表示集合的方法吗？
【答】
文字描述法：是一种特殊的描述法，
如：{正整数}，{三角形}
图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
2.
集合相等
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，
___________________________________
则称这两个集合相等，记为：_____________
【精典范例】
一、用集合的两种常用方法具体地表示
集合
例1．用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的
集合；
（5）由所确定的实数
集合.
（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N
}
分析：先求出集合的元素，再用列举法
表示.
【解】
（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s
}；
（3）{2，3，5，7
}；
（4）{-1，0，1，2}；
（5）{-2，0，2}；
（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}
点评:
（1）用列举法表示集合的步骤为：
①求出集合中的元素
②把这些元素写在花括号内
（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了
然；缺点是不易看出元素所具有的属性.
例2．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合；
分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.
【解】
（1）{x|x=3k，k∈Z}
（2）{x|x≤2且x≠0
}
（3）
（4）{(x,y)|
y=-x2+3x-6}
（5）{(x,y)|
或
点评:
用描述法表示集合时，注意确定和简
化集合的元素所具有的共同特性.
追踪训练一
1.用列举法表示下列集合：
(1)
{x|x2+x+1=0}
(2){x|x为不大于15的正约数}
(3)
{x|x为不大于10的正偶数}
(4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z}
2.
用描述法表示下列集合：
(1)
奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3)不等式2x-3>5的解集；
(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的
集合；
.
3.
下列集合表示法正确的是
(1)
{1，2，2}；
(2)
{Ф}；
(3)
{全体有理数}；
(4)
方程组的解的集合为
{2，4}；
（5）不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}.
例3．已知A={a|}，
试用列举法表示集合A．
分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪
些条件．
【解】
当a=2时，
当a=1时，
当a=0时，
当a=-1时，
当a=-2时，
当a=-3时，
∴
A={2，1，0，-3}
点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的
整数a的值，若将题目改为，
则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.
二、有关集合相等方面的问题
例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
分析：含字母的两个集合相等，并不意味着
按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.
【解】
分两种情况讨论：①
1+a2+b2=2
②
这与集合的性质矛盾，
∴
1+a2+b2=2
追踪训练
1．集合A={x|y=x2+1}，B={t|p=t2+1}
C={y|x
=}，这三个集合
的关系？
2．已知A={x|}，试用列举法表示集合A．
思维点拔：
例5．
已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.
点拔：
本题集合B={x|}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论
.
【解】
当x2-2≠0时，x+a=x2+a
⊿=0a=-，此时，x=，符合题意，
当a=时，x=，符合题意，
当a=-时，x=，也符合题意，
∴
A={，，-}
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
列举法
集合的表示
描述法
听课随笔第1课时
集合的含义
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．PL(A,B)
7．①④⑤
8．
9．解：①
2，3，5，7，11
②
0，1
③
-2，0，2
④（0，1），（1，0），（2，1），（3，4），（4，9）
10．解：
△＝
b2－4ac
当△＜0，即b2＜4ac时，解集为空集；
当△＝0，即b2＝4ac时，解集含一个元素；
当△＞0，即b2＞4ac时，解集含两个元素。
11．解：若x=0，则xy=0，这与集合的互异性矛盾，
∴
x≠0
若x≠0,xy=0，则y=0，则第二个集合出现两个0元素，这与集合的互异性也矛盾，∴
xy≠0
若=0，则x=y，由两个集合是同一个集合可知xy=|x|，即x2=|x|，得到x=1或-1，但x=1时，y=1，也与集合的互异性也矛盾，所以x=y=-1
∴
实数x，y的值是确定。
第2课
集合的表示
1．D
2．C
3．A
4．B
5．B
6．{1,2,3,4}
7．解：
①{x|x=2k+1，k∈N}
②{(x,y)|x<0，y<0}
③{周长为10cm的三角形}
④
8．解：分两种情况讨论：
①
a+aq2-2aq=0，
∵
a≠0，
∴
q2-2q+1=0，即q=1，但q=1时，N中的三个元素均相等，此时无解．
②
∵
a≠0，
∴
2q2-q-1=0
又q≠1，∴
，
∴
当M=N
时，
9．解：
∵
5∈A
∴
a2+2a-3=5
即a=2或a=-4
当a=2时，A={2，3，5}，B=
{2，5}，与题意矛盾；
当a=-4时，A={2，3，5}，B={2,1}，
满足题意，
∴
a=-4
10．证明：
∵
x1∈A，x2∈A
∴设x1=a1+b1，x2=a2+b2
∴x1x2=(
a1+b1)(
a2+b2)
=(a1a2++2b1b2)+(a1b2+a2b1)∈A
∴
x1x2∈A
11．答：（1）是互不相同的集合．
（2）①{x|y=x2+3x-2}=R，
②{y|
y=x2+3x-2}={y|y≥1}
③{(x,y)|
y=x2++3x-2}={点P是抛物线y=x2+3x-2上的点}
第3课
子集、全集、补集
1．A
2．D
3．D
4．A
5．C
6．M
=
P
7．B
A
8．A
B
9．解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得x=2或x=3．
（2）∵2∈B，B
A，
∴
即x=2，a=或
（3）
∵
B
=
C，
∴
即x=-1，a=-6或x=3，a=-2．
10．
略解
x=2
11．
解：P={x|x2+x-6=0}={-3，2}
①当m=0时，M=
②当m≠0时，M={x|x=}
∵
M是P的真子集
∴
=-3或=2
即m=或
m=
综上所述，m=0或m=或
m=
12．
D
,C
第4课
交集
1．A
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．③
8．a=1或2
9．解：由A∩B={2}，得2∈A，2∈B．又由={4，6，8}，知
{2，4，6，8}B，且4∈A，6A，8A．
再由={1，9}，得1A，9A，１B，９B．
这样对于U在１到９这９个数字中，就剩３，５，７这３个数字，由反
证法可得出３，５，７都不是集合B的元素，且都为A的元素．
所以A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}．
10．解：①
∵A∩B=A
∴
AB
∴
a≥3
②
∵A∩B=B
∴
BA
∴
a≤3
③
={x|x≥3}
={x|x≥a}
∵是的真子集
∴
a<3
11．解：∵B∩CA
当BA时，x2-ax+a-1=0，(x-1)(x-a+1)=0，要么有两个相等的根为1，要么一根为1，另一根为2
∴a=2或a=3
当CA时，由于x2-mx+2=0没有x=0的根，故C={x|
x2-mx+2=0}．
①C=，⊿=m2-8<0，
即；
②C={1}，或C={2}时，m∈；
③C={1，2}时，m=3．
这样，a=2或a=3；m=3，或
第5课
并
集
1．C
2．D
3．A，C
4．D
5．A
6．C
7．D
8．a≥3，a<3，a≤-4
9．解：∵A={-3，2}，B=(-3，3)，C={1}
∴A∩B={2}
∴(A∩B)∪C={1，2}
10．解：
A={-2，1}
∵A∪B=A，
∴BA={-2，1}．
若
m=0，则方程
mx+1=0无解，
∴B=满足BA，
∴m=0符合要求；
若
m≠0，则方程
mx+1=0的解为，
∴B={}．由题意知：
∈{-2，1}．∴m=0符合要求；
∴=-2或=1，
∴m=或m=-1，
故所求m的集合为{-1，0，}．
11．解：分别化简集合A、B得A={1，2}，B={1，a-1}，
∵
BA
∴
a-1≠1且a-1≠2
所以
a-1≠2，3．
第6课
交集、并集
1、D
2、C
3、C
4、－1或5
5、A
6、C
7、1
8、9
9、解：设听数学、历史、音乐讲座的学生分别构成集合A、B、C。
用card(A)_表示听数学讲座的人数，用card(B)表示听历史讲座的人数，用card(C)表示听音乐讲座的人数。则
card(A)
=75，card(B)=68，
card(C)=61，card(A)
=17，card(A)
=12，card(C)
=9，
card(A)=6。
由于card(A)
=
card(A)
+card(B)+
card(C)－
card(A)
－card(A)
－card(C)+
card(A)=75＋68＋61－17－12－9＋6=172（人）
所以听讲座的人数为172人。
10、解：分类讨论：
①A=时,A=A,只有一种分拆
②A是单元素集时,依题意知有6种
③A是双元素集合时,
A有3种选法
比如A=｛a,a｝则A=｛a｝或｛a,
a｝或｛a,
a｝
或｛a,a,
a｝共4种,
所以共有3×4=12种
④A=A时,
A可任意取元素有8种取法,
综上,共有1+6+12+8=27种不同分拆。
第1章集合
单元检测
1．D
2．A
3．C
4．B
5．，∈
6．A
B
7．B
8．2，4
9．∵P=B，即{1，，b}={0，a+b，b2}
注意到b≠0，∴
a=0
，从而b和b2中有一个为1，由集合中的元素的互异性知b≠1，
∴
b2=-1，从而b=-1，
∴
P={-1，0，1}．
10．略解a=-1或a=0．
11．解：
∵
A∩B={-1，7}
∴
7∈A，即有x2-x+1=7，
解得：
x=-2或x=3
当x=-2时，x+4=2∈B，与2∈A∩B矛盾；
当x=3时，x+4=7，这时2y=-1即y=
∴
x=3，y=
12．解：
A={0，-4}
(1)
∵
A∩B=B
∴
B=或{0}或{-4}或{0，-4}
以下对B的四种情况分别讨论
综合得如下结论：
a≤-1，或a=1
(2)
∵
A∪B=B
∴
∵
A={0，-4}，而B中最多有两个元素，
∴
A
=B
即
a=1
13．C
14．A
15．D
16．C
17．0或1
18．M
N
19．20
20．x≤-2
21．解：
∵{5}，
∴
5∈U，
∴
a2+2a-3=5，解得a=2或a=-4
当a=2
时，|2a-1|=3≠5
当a=-4是时，|2a-1|=9
≠5，但，
∴
a=2
22．解：
由A={a}，故A中的方程有一个根a，
∴
⊿=(b+2)2-4(b+1)=0
即
b=0
∴
a=-1
∴
B={x|x2-x=0}={0，1}
从而B的真子集为{0}，{1}，
23．略解
（1）-1≤a≤2
（2）
a<-1或a>2
24．解：
由a1，A∩B={a1，a4}，可知
a1=
，
∴
a1=1
∵
a1+a4=10，∴
a4=9
，
若
，a2=3，则有（1+3+
a3
+9）+（+81）=124
解得a3
=5，（a3
=-6舍去）
∴
A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
若，a3=3，此时只能有a2=2，
则A∪B中所有元素和为：1+2+3+4+9+81≠124，
∴
不合题意．
于是，A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．第七课时
小结与复习课
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；
2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；
3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．再解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课堂互动】
自学评价
1．对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.
2．关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.
3．含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.
4.集合问题多与函数、方程有关，要注意
各类知识的融会贯通.
【精典范例】
设U={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，
={4}，
={1，5}，则下列结论正确的是
（
）
A．3∈A，3∈B
B．2∈，3∈B
C．3∈，3∈A
D．3∈，3∈
分析：按题意画出Venn图即可找出选择
的分支.
【解】
画出满题意足Venn图：
由图可知：3∈A且3B，即3∈A且
3∈，
∴
选C.
点评:
本题可用排除法来解，若选A，则3∈
A∩B，与已知A∩B={2}矛盾，……显然这种方法没有Venn图形象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.
追踪训练一
设U={x|0={1，5，7}，
={9}，求集合A，B.
2．某校有A、B两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的3/5，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.
例2：已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，
B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}，
(1)试求a的取值范围，使A∩BC；
(2)试求a的取值范围，使
分析：
U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），故A∩B=（2，3），
（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，
=[-4，-2]，
x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0，
∴当a<0时，C=（3a，a），
当a=0时，C=，
当a>0时，C=（a，3a），
要使A∩BC，集合数轴知，
解得
1≤a≤2；
类似地，要使必有
解得
【解】
解答过程只需要将上面的分析整理一下
即可.
点评:
①研究不等式的解集的包含关系或进行集
合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析与转化.
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在
分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
追踪训练二
设A={x|x2-x-2<0}，B={x||x|=y+1，y∈A}，
求：
，A∪B，A∩，
∩
已知A={x|-x2+3x+10≥0}，
B={x|m≤x≤2
m
-1}，若BA,
求实数m的取值范围.
例3：
已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，
B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}，
其中至少有一个集合不是空集，求实数a
的取值范围.
分析：
此题若从正面入手，要对七种可能情况逐
一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则
只有一种情况，即三个集合全是空集.
点评:
采用“正难则反”的解题策略，具体地说，
就是将所研究的对象的全体视为全集，求
出使问题反面成立的集合，那么这个集合
的补集便为所求.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
无限集
有限集
分类
集合的概念
空集
确定性
元素的性质
集合
互异性
列举法
无序性
集合的表示法
描述法
真子集
子集
包含关系
相
等
交集
集合运算
集合与集合的关系
并集
补集
1
5
3
A
2
4
B
听课随笔第3课
子集、全集、补集
分层训练
1．
设M满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为
（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
2．下列各式中，正确的个数是
（
）
①={0}；②{0}；
③∈{0}；
④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；
⑦{1，2}{1，2，3}；
⑧{a，b}{a，b}．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若U={x|x是三角形}，P={x|x是直角三角形}则
（
）
A．{x|x是直角三角形}
B．{x|x是锐角三角形}
C．{x|x是钝角三角形}
D．{x|x是钝角三角形或锐角三角形}
4．设A={x|1，B={x|x的真子集，则a的取值范围是
（
）
A．a≥2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≤2
5．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且BA，则满足条件的实数x的个数为
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和
P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系
为____________________________．
7．集合A={x|x=a2-4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R}
则集合A与集合B的关系是___________________．
8．设x，y∈R，B={(x,y)|y-3=x-2}，A=
{(x,y)|=1}，则集合A与B的关系
是____________________________．
9．
已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1}
求
（1）A={2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B
A，求a,x的值；
（3）使B=
C的a，x的值．
10．设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，={1}，求x．
拓展延伸
11．
已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若M
P，求实数a的取值范围．
12．
选择题：
（1）设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P Q={(a,b)|a∈P，b∈Q}，
则P Q的真子集个数
（
）
A．23-1
B．27-1
C．212
D．212-1
（2）集合M={x|x∈Z且}，则M的非空真子集的个数是
（
）
A．30个
B．32个
C．62个
D．64个
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第五课时
集合的运算---并集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解并集的概念及其并集的性质；
2．会求已知两个集合的并集；
3．初步会求集合的运算的综合问题；
4．提高学生的分析解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1．并集的定义：
一般地，___________________________
______________________，称为集合A与集合B的并集(union
set)
记作__________
读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：
__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：
_________________________________
注意：
并集（A∪B）实质上是A与B的所有元
素所组成的集合，但是公共元素在同一
个集合中要注意元素的互异性.
2．并集的常用性质：
（1）
A∪A
=
A；
（2）
A∪=
A；
（3）
A∪B
=
B∪A；
（4）(A∪B)∪C
=A∪(B∪C)；
（5）
AA∪B，
BA∪B
3．集合的并集与子集：
思考:
A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么
集合？
【答】________________________
结论：
A∪B
=
B
AB
【精典范例】
一、求集合的交、并、补集
例1．
根据下面给出的A
、B，求A∪B
①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；
②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；
③A={梯形}，B={平行四边形}．
例2．
已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，
求：
①(A∪B)∩P
②∪P
③
(A∩B)∪
．
点评:
求不等式表示的数集的并集时，运用
数轴比较直观，能简化思维过程
例3：
已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，
求.
分析：首先弄清楚A，B，C三个集合的元素
究竟是什么？然后再求出集合的有关
运算.
点评:
本题容易出现的错误是不考虑各集合的代表元，而解方程组．
突破方法是：进行集合运算时，应分析集合内的元素是数，还是点，或其它．
追踪训练一
1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；
2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}
求A∪B；
3.写出阴影部分所表示的集合：
4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}
A={2，3，5}
求：．
二、运用并集的性质解题
例4：
已知集合A={x|x2-1=0
}，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件．
分析：由于A∪B=A，可知：B
A，
而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b满足的值或范围．
点评:
利用性质：A∪B=A
B
A
是解题的
关键，提防掉进空集这一
陷阱之中．
追踪训练二
若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，
满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m
的值组成的集合．
2.
已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax
-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A
A∩C=C，求a，m的值或取范围.
思维点拔：
例5：
若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，
C={x|x2+2x-8=0}，
（1）若A∪B=A∩B，求a的值；
（2）
A∩B，A∩C=，求a的值．
点拔：
学生质疑
解决本题的关键是利用重要结论：
A∪B=A∩B
A=B
【师生互动】
集合的运算
定义
并集
性质
运用
听课随笔
听课随笔
听课随笔第2课
集合的表示
分层训练
1．
由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是
（
）
A．{x|-3B．{x|-3}
C．{x|-3D．{x|-32．坐标轴上的点的集合可表示为
（
）
A．{(x,y)|x=0,y=0；或x≠0,y=0}
B．{(x,y)|x2+y2=0}
C．{(x,y)|xy=0}
D．{(x,y)|x2+y2≠0}
3．下列四个关系式中，正确的是
（
）
A．a∈{a,b}
B．{a}≤{a,b}
C．a{a}
D．a≤{a,b}
4．下列表示同一个集合的是
（
）
A．M={(1,2)}，N={(2,1)}
B．M={1,2}，N={2,1}
C．M={y|y=x-1，x∈R}，
N={y|y=x-1，x∈N}
D．M={(x,y)|}，
N={(x,y)|y-1=x-2}
5．集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈N}，a∈P，b∈Q，则有
（
）
A．(a+b)∈P
B．(a+b)∈Q
C．(a+b)∈R
D．(a+b)不属于P、Q、R中的任意一个
6．集合{x|x∈N
,x<5}的另一种表示法是
____________________________
7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？
①由所有非负奇数组成的集合；
②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．
8．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．
9．设A={2，3，a2+2a-3}，B={2，|a+3|}，已知5∈A，且5B，求实数a的取值．
拓展延伸：
10．集合A={x|x=a+b，a、b∈Z}，x1∈A，x2∈A，求证：x1x2∈A
11．下面三个集合：①{x|y=x2+3x-2}，②{y|
y=x2+3x-2}，③{(x,y)|
y=x2+3x-2}．
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们的区别在哪里？
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第1课
集合的含义
分层训练
1．下列各项中不能组成集合的是
（
）
A．所有的正三角形
B．数学课本中的所有习题
C．所有的数学难题
D．所有无理数
2．已知2a∈A，a2-a∈A，若A含2个元素，则下列说法中正确的是
（
）
A．a取全体实数
B．a取除去0以外的所有实数
C．a取除去3以外的所有实数
D．a取除去0和3以外的所有实数
3．给出下列命题
①N中最小的元素是1
②若a∈N则-aN
③
若a∈N,b∈N，则a+b的最小值是2
其中正确的命题个数是
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为
（
）
A．1
B．
2
C．3
D．4
5．由a2，2-a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则a的取值可以是
（
）
A．1
B．-2
C．6
D．2
6．设L(A,B)表示直线上全体点组成的集合，“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成
___________________________．
7．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；
④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是________________________________
8．设a，b，c均为非零实数，则x=的所有值为元素组成集合是_____________________
9．说出下列集合的元素
①小于12的质数构成的集合；
②平方等于本身的数组成的集合；
③由所确定的实数的集合；
④抛物线y=x2-2x+1(x为小于5的自然数)上的点组成的集合。
拓展延伸
10．关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当a，b，c分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？
11．由“x，xy，”组成的集合与由“0，|x|，y”组成的集合是同一个集合，则实数x，y的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由。第4课
交集
分层训练：
1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，4，5}则（
）
A．
B．{4}
C．{1，5}
D．{2，5}
2．设集合A={x|x≤5，x∈N}，B={x|x>1，x∈N
}，那么A∩B等于
（
）
A．{1，2，3，4，5}
B．{2，3，4，5}
C．{3，4，5}
D．{x|1}
3．若集合P={y|y=x2+2x-1
，x∈N}，Q={y|y=-x2+2x-1
，x∈N
}，则下列各式中
正确的是
（
）
A．P∩Q=
B．P∩Q={0}
C．P∩Q=
{-1}
D．P∩Q=N
4．已知P，M是非空集合，且P≠M，则必有
（
）
A．∈P∩M
B．=P∩M
C．P∩M
D．是P∩M的真子集
5．已知集合A={x|-5a，b
的值
为
（
）
A．a=5，b=-7
B．a=5，b=-5
C．a=2，b=-7
D．a=2，b=-5
6．
设全集U={1，2，3，4}，A与B是U的子集，若A∩B＝{1，3
}，则称(A,B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（若A＝B，规定(A,B)＝(B,
A)；若A≠B，规定(A,B)与(B,
A)是两个不同的“理想配集”）
（
）
A．4
B．8
C．9
D．16
7．设A、B为两个集合：
①AB对任意x∈A，有xB；
②
ABA∩B=；
③A∩B
B∩A；④AB存在x∈A使得xB．上述四个命题中正确命题
的序号是______________________．
（把符合要求的命题序号都填上）
8．已知集合M={a，0}，N={x|2x2-5x<0，x∈Z}，
若M∩N≠，则a的值为_______________．
9．
设U={小于10的正整数}，已知A∩B={2}，={1，9}，={4，
6，8}，求A，B．
拓展延伸：
10．
已知集合A={x|x<3}，B={x|x①若A∩B=A，求实数a的取值范围．
②若A∩B=B，求实数a的取值范围．
③若是的真子集，求实数a的取值范围．
11．已知A={1，2}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x+=
m}，若B∩CA，求a，
m的值．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑必修1第1章集合单元检测
设M={0，1，2，4，5，7}，N={1，4，6，8，9}，P={4，7，9}，则(M∩N)∪(M∩P)等于
(
)
A.
{1，4}
B.
{1，7}
C.
{4，7}
D.
{1，4，7}
2．已知方程x2-px+15=0与x2-5x+q=0的解集分别为A与B，A∩B={3}，则p+q的值是
(
)
A.
14
B.11
C.7
D.
2
3．集合A={y|y=-x2+4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为
(
)
A.
9
B.8
C.
7
D.
6
4．已知M={y|y=x2-1，x∈R}，P={x|x=|a|-1，a∈R}，则集合M与P的关系是
(
)
A.
P∈M
B.M=P
C.
M
P
D.P
M
5．设A={x|x=4k+1，k∈Z}，则-1______，
-7__________．
6．设A={x|x2-x=0}，B={x|x2-|x|=0}，则A、B之间的关系为___________________．
7．A={x|x=2k，k∈Z}
，B={x|x=4k+2，k∈Z}，则A∩B=________________．
8．已知集合M={(x,y)|x+y=a}，N={(x,y)|x-y=b}，若M∩N={(3,-1)}，那么a=_______，b=__________．
9．已知集合P={1，，b}，集合B={0，a+b，b2}，且P=B，求集合P．
10．设集合A={1，2，a}，B={1，a2-a}，若A∪B=
A，求实数的值．
11．设集合A={-1，2，x2-x+1
}，
B={2y，-4，x+4}，且A∩B={-1，7}，求x，y的值．
12．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)
x+a2-1=0},
(1)若A∩B=B，求a的值；
(2)若A∪B=B，求a的值．
13．（2004天津高考模拟题）已知集合A={0，2，3}，B={x|x=a·b，a，b∈A}，则B的子集个数是
(
)
A．4
B．8
C．16
D．15
14．已知全集为U，A，B是U的两个非空子集，若B，则必有
(
)
A．
B．
C．
D．
15．已知集合M={x|x=3n，n∈Z}，N={x|x=
3n+1，n∈Z}，P={x|x=3n-1，n∈Z}，且
a∈M，b∈N，c∈P，记d=a+b-c
则
(
)
A．
B．
C．
D．
16．已知集合A={(x,y)|y=0}，B={(x,y)|
x2+y2=1}，则A∩B中元素个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
17．（考试热点）若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为
______________________
18．数集M={x|x=k+，k∈Z}，N={x|x=
}，则它们之间的关系是
______________________
19．集合A、B各有12个元素，A∩B中
有4个元素，则A∪B中的元素个数是
_________________________
20．（2003上海春招）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且，则实数a的取值范围是_____________
21．设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，{5}，求实数a的值．
22．已知集合A={x|x2+(b+2)x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．
23．设集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1，或x>5}，分别求下列条件下实数a的值．
（1）A∩B=（2）
24．已知A={a1，a2，a3
，a4}，B={}，其中a1，a1，a2，a3
，a4∈N，若A∩B={a1，a4}
，a1+a4=10，且A∪B所有元素和为124，求集合A和B．第5课
并集
分层训练：
1．下列四个推理：①a∈A∪Ba∈A；
②a∈A∩Ba∈A∪B
③ABA∪B=B；
④A∪B=A
A∩B=B
其中正确的个数为
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．设集合A={x|-5≤x<1}，B={x|x≤2}，
则A∪B等于
（
）
A．[-5，１]
B．[-5，2]
C．{x|x<1}
D．{x|x≤2}
3．①图１中阴影部分所表示的集合是（
）
②图１中阴影部分所表示的集合是（
）
A．B∩
B．(A∪B)∪(A∪C)
C．(A∪C)∩
D．
4．若全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，P={3，4，5}，Q={1，3，6}则集合{2，7，8}是
A．P∪Q
B．P∩Q
（
）
C．Q)
D．P∪Q)
5．若集合M={(x,y)|x-y=0}，
N={(x,y)|x2-y2=0}，则有
（
）
A．M∩N=M
B．M∪N=M
C．M∩N=
D．M∪N=R
6．集合P，Q满足P∪Q={a，b}，试求集
合P，Q．问此题的解答共有
（
）
A．4
种
B．7
种
C．9
种
D．16种
7．设U=R，M={x|f(x)≠0}，N={x|g(x)≠0}
那么集合{x|f(x) g(x)=0}等于
（
）
A．
B．
C．
D．
8．设集合A=
[-4，2
)，B=
[-1，3
)，C=
[a，+∞)
．
若(A∪B)∩C=，则a的取值范围是_________
若(A∪B)∩C≠，则a的取值范围是_______
若(A∪B)是C的真子集，则a的取值范围是
_________________________
9．已知A={x|x2+x-6=0}，B={x||x|<3}，
C={x|x2-2x+1=0}，求(A∩B)∪C．
拓展延伸：
10．已知A={x|x2+x-2=0}，B={x|mx+1=0}，
且A∪B=A，求实数m的取值范围．
11．已知两个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|
x2-ax+a-1=0}，试问：满足BA的实数
a是否存在？若存在，求出a的所有值，
若不存在，请说明理由．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第三课时
子集、全集、补集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质；
4．了解全集的意义，理解补集的概
念．
【课堂互动】
自学评价
1．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B
的元素（
），则称
集合
A为集合B的子集（subset）,记为
___________或___________读作“______
__________”或“__________________”
用符号语言可表示为：________________
____________________________________
如右图所示：
_______________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
①
A
A
②
③
,则
思考:与能否同时成立？
【答】
_________
3．真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合
A称
为集合B的真子集（proper
set）,记为
_________或_________读作“__________
__________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集
符号表示为___________________
②真子集具备传递性
符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U包含我们所要研究的各个集合，
这时U可以看做一个全集（universal
set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U中不属于A的所有元
素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary
set）,
记为___________
读作“______ ____________________”
即：=_______________________
可用
右图阴影部
分来表示：
__________________
7．补集的性质：
①
=__________________
②
=__________________
③
=______________
【精典范例】
一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．
写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；
写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，
但应注意两个特殊的子集：和本身．
【解】
①集合{a，b}的所有子集为：
，{a
}，{
b}，{a，b}；
②集合{a，b，c}的所有子集为：
，{a
}，{
b}，{c}，{a，b}
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；
②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；
③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a与{a}
0
与
（2）与{20，，，}
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0
，x∈R
}；
（5）S={x|x为地球人
}，A={x|x
为中国人}，B={x|x为外国人
}
【解】
点评:
①
判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________
集合与集合之间用_______________
追踪训练一
1．判断下列表示是否正确：
(1)
a{a
}
(2)
{a
}∈{a，b
}
(3)
{a，b
}
{b，a
}
(4)
{-1，1}
{-1，0，1}
(5)
{-1，1}
2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．
(1)
A={-1，1}，B=Z；
(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正
约数}；
(3)
A
=
N
，B=N
(4)
A
={x|x=1+a2,a∈N
}
B={x|x=a2-4a+5,a∈N
}
3．（1）已知{1，2
}M{1，2，3，4，
5}，则这样的集合M有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6，
7
,8，9}，集合P满足：PM，且
若，则10-
∈P，则这样
的集合P有多少个？
4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1)
与{0}
(2)
{-1，1}与{1，-1}
(3)
{(a,b)}
与{(b,a)}
(4)
与{0，1，}
三、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B=
{x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，
求实数a的取值范围．
分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，
在由BA，可知，集合B按元素的
多少分类讨论即可．
【解】
A={x|x2+4x
=0，x∈R}={0，-4}
∵
BA
∴
B=或{0}，{-4}，{0，-4}
①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4 (a2-1)<0
∴
a<
-1
②当B={0}时，
∴
a=-1
③当B={-4}时，
∴
a=
④当B={0，-4}时，
∴
a=1
∴
a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1．
点评:
B=易被忽视，要提防这一点．
四、补集的求法
例4：①方程组的解集为A，
U=R，试求A及．
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，
是的真子集，求实数a的取值范围．
【解】
①
A={x|}，
={x|x≤或x>2}
②
B={x|x+a<0}={x|x<-a}
，
={x|x≤1}
∵
是的真子集
如图所示：
∴
-a
≤
1即a≥-1
点评:
求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．
追踪训练二
1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，
k∈Z}，则
___________
___________：
2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知
A={b，2}，={5}，求实数a，b的值．
3．已知集合A={x|x=a+，a∈Z}，B={x|x=，b∈Z}，C={x|x=，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系
4．已知集合A={x|x2-1=0
}，B={x|x2-2ax+b=0}
B
A，求a，b的取值范围．
思维点拔：
集合中的开放问题
例5:
已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合
A={1，|2x-1|}，如果={0}，则这样的
实数x是否存在？若存在，求出x，若不
存在，请说明理由．
点拔：
由={0}，可知，0∈S，但0，由
0∈S，可求出x，然后结合0，来验证
是否符合题目的隐含条件，从而确定
x是否存在．
学生质疑
教师释疑
【师生互动】
听课随笔
相等
集
合
的
关
系
子集
包含
真子集
补集
全集
{-1,1}
听课随笔
听课随笔第四课时
集合的运算---交集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解交集的概念及其交集的性质；
2．会求已知两个集合的交集；
3．理解区间的表示法；
4．提高学生的逻辑思维能力.
【课堂互动】
自学评价
1．交集的定义：
一般地，___________________________
______________________，称为A与B交集
(intersection
set)，记作____________
读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：
__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：
_________________________________
注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.
（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.
2．交集的常用性质：
（1）
A∩A
=
A；
（2）
A∩=；
（3）
A∩B
=
B∩A；
（4）(A∩B)∩C
=A∩(B∩C)；
（5）
A∩B
A，
A∩BB
3．集合的交集与子集：
思考:
A∩B=A，可能成立吗？
【答】________________________
________________________
结论：
A∩B
=
A
AB
4．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a[a，
b]
=
_____________________
（a，
b）=
_____________________
[a
，b）=
_____________________
（a
，b]
=
______________________
（a，+∞）=______________________
（-∞，b）=______________________
（-∞，+∞）=____________________
其中
[a，
b]，（a，
b）分别叫闭区间、
开区间；[a
，b），（a
，b]
叫半开半闭
区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.
（2）区间符号内的两个字母或数之
间用“，”号隔开.
（3）∞读作无穷大，它是一个符
号，不是一个数.
【精典范例】
一、求已知两个集合的交集
例1．
（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；
（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；
（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1
k∈Z
}，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；
A∩C；C∩B；D∩B；
点评:
不等式的集合求交集时，运用数轴比
较直观，形象.
例2：
已知数集
A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．
点评:
在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．
例3：
（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，
B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，
求A∩B；
（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，
B={(x,y)|y=-x2+2x+，x∈R}，
求A∩B；
分析：
先求出两个集合的元素，或者集合中元素
的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、
（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方．
点评:
求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．
追踪训练一
1.
设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；
2.
设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；
3.
设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；
4.
设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k
，k∈Z}，
求A∩B，B∩C．
二、运用交集的性质解题
例4：
已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}
（1）若B={5}，求p，q的值．
（2）若A∩B=
B
，求实数p，q满足的
条件．
分析：
（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个
相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．
（2）由A∩B=
B可知：B
A，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q满足的条件．
点评:
利用性质：A∩B
=
A
AB是解题的
关键，提防掉进空集这一陷阱之中．
追踪训练二
1.已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0
=0}，若A∩B
=B，求实数m所构成的集合M．
2.已知集合M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠，则a满足的条件是什么？
三、借助Venn图解决集合的运算问题
例5：
已知全集U={不大于20的质数}，M,N是U
的两个子集，且满足M∩()={3，5}，
{7，19}，
{2，17}，求M，N的值．
分析：用Venn图表示集合M，N，U，将符合条件的元素依次填入即可．
点评:
Venn图的形象直观，简化了运算过程，降低
了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn图来进行集合间的运算，特别是抽象集合（或
较为复杂集合）间的运算问题．
高考热点：
例6：
已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，
若A∩B
≠，求实数m的取值范围．
点拔：
本题如果直接求解，情况较多十分麻烦，可
从求解的反面来考虑，就比较简单．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
集合的运算
定义
交集
性质
运用
听课随笔
听课随笔
听课随笔第五课时
集合的运算---并集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解并集的概念及其并集的性质；
2．会求已知两个集合的并集；
3．初步会求集合的运算的综合问题；
4．提高学生的分析解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1．并集的定义：
一般地，___________________________
______________________，称为集合A与集合B的并集(union
set)
记作__________
读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：
__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：
_________________________________
注意：
并集（A∪B）实质上是A与B的所有元
素所组成的集合，但是公共元素在同一
个集合中要注意元素的互异性.
2．并集的常用性质：
（1）
A∪A
=
A；
（2）
A∪=
A；
（3）
A∪B
=
B∪A；
（4）(A∪B)∪C
=A∪(B∪C)；
（5）
AA∪B，
BA∪B
3．集合的并集与子集：
思考:
A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么
集合？
【答】________________________
结论：
A∪B
=
B
AB
【精典范例】
一、求集合的交、并、补集
例1．
根据下面给出的A
、B，求A∪B
①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；
②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；
③A={梯形}，B={平行四边形}．
【解】
A∪B={-1，0，1，2，3}；
A∪B={
x|
x≥-3}；
③
A∪B=
{
一组对边平行的四边形}
例2．
已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，
求：
①(A∪B)∩P
②∪P
③
(A∩B)∪
．
【解】
①
∵A∪B=[-4，3]，
∴
(A∪B)∩P=[-4，0]∪[，3]
②
(-∞，-1]∪(3，+∞)
∴
∪P=
P
={x|x≤0，x≥}
③
A∩B=(-12)，
=（0，）
∴
(A∩B)∪=（-1，）．
点评:
求不等式表示的数集的并集时，运用
数轴比较直观，能简化思维过程
例3：
已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，
求.
分析：首先弄清楚A，B，C三个集合的元素
究竟是什么？然后再求出集合的有关
运算.
【解】
∵
A={y|y=x-1，x∈R}=R是数集，
B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}是点集，
C={x|y=x+1，y≥3}={x|x≥2}
∴
=
点评:
本题容易出现的错误是不考虑各集合的代表元，而解方程组．
突破方法是：进行集合运算时，应分析集合内的元素是数，还是点，或其它．
追踪训练一
1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；
2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}
求A∪B；
3.写出阴影部分所表示的集合：
4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}
A={2，3，5}
求：．
二、运用并集的性质解题
例4：
已知集合A={x|x2-1=0
}，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件．
分析：由于A∪B=A，可知：B
A，
而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b满足的值或范围．
【解】
∵
A={x|x2-1=0
}={1，-1}
∵A∪B=A，
∴
BA
①当B=时
,
⊿=4a2-4b<0
②当B={-1}时，a=--1，b=1
③当B={1
}时，2a=1+1=2，即a=b=1
④当B={-1，1}时，B=A={-1，1
}，
此时a=0，b=-1
综上所述a,b的取值范围为：
⊿=4a2-4b<0或a=-1，b=1
或a=0，b=-1
或a=--1，b=1
点评:
利用性质：A∪B=A
B
A
是解题的
关键，提防掉进空集这一
陷阱之中．
追踪训练二
若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，
满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m
的值组成的集合．
2.
已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax
-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A
A∩C=C，求a，m的值或取范围.
思维点拔：
例5：
若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，
C={x|x2+2x-8=0}，
（1）若A∪B=A∩B，求a的值；
（2）
A∩B，A∩C=，求a的值．
点拔：
学生质疑
解决本题的关键是利用重要结论：
A∪B=A∩B
A=B
【师生互动】
集合的运算
定义
并集
性质
运用
听课随笔
听课随笔
听课随笔第6课
交集、并集
分层训练：
1、下列命题正确的是(
)
A.Cu(CuP)={P}
B.若M={1，，{2}}，则{2}M
C.
CRQ=Q
D.若N={1，2，3}，S={x|xN},则NS
2、集合A={1,2,3,4}，BA，且1∈A∩B，4A∩B，则满足上述条件的集合B的个数是(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
3、已知M
={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=－x2+1，x∈R}则M∩N是(
)
A.{0，1
}
B.{(0，1)}
C.{1}
D.以上都不对
4、集合A={(x,y)|x+y=0}，B={(x,y)|x－y=2}，则A∩B=________.
5、设A={x|2x2－px+q=0}，B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0}，若A∩B={}，则A∪B等于(
)
A.{
,,－4}
B.{，－4}
C.{,}
D.{
}
6、若A={1,3,x}，B=(x2，1)，且A∪B={1，3，x}，则x的不同取值有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7、若{3,4,m2－3m－1}∩{2m,
－3}={－3}，则m=________.
8、某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班32%到40%之间，设M是两门都学的人数的最大值，m是两门都学的人数的最小值，则M－m=__________,
9、某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座。求听讲座的人数。
拓展延伸：
10、若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时(A1，A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是多少
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第六课时
交集、并集
【学习导航】
学习要求：
1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。
2、注意用数轴、文氏图来解决交集、并集问题。
3、分类讨论思想在解题中的应用。
【精典范例】
一、交集并集性质的应用
例1、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。
(1)判断B、C、D间的关系；
(2)求A∩B。
二、交集、并集在实际生活中的应用
例2、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小且的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。
思维分析：题目以应用为背景，解题关键是将文字转化为集合语言，用集合运算来解决错综复杂的现实问题。
三、数形结合思想与交集并集的应用
例3、已知集合A={x|－20}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0－2}，求a、b的值。
点评：此题应熟悉集合的交与并的含义，掌握在数轴上表示集合的交与并的方法.
四、分类讨论思想与交集、并集的综合应用
例4、已知集合A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值范围。
分析：先求出集合A，由A∪B=A，由A∩C=CCA,然后根据方程根的情况讨论。
评注：本例考查A与B，A与C的关系和分类讨论的能力。
追踪训练
1、集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.
2、集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.
A、0
B、1
C、2
D、－1
3、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。
4、集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.
5、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B，求实数a的值。
(2)若A∪B=B,求实数a的值。第三课时
子集、全集、补集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质；
4．了解全集的意义，理解补集的概
念．
【课堂互动】
自学评价
1．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B
的元素（
），则称
集合
A为集合B的子集（subset）,记为
___________或___________读作“______
__________”或“__________________”
用符号语言可表示为：________________
____________________________________
如右图所示：
_______________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
①
A
A
②
③
,则
思考:与能否同时成立？
【答】
_________
3．真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合
A称
为集合B的真子集（proper
set）,记为
_________或_________读作“__________
__________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集
符号表示为___________________
②真子集具备传递性
符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U包含我们所要研究的各个集合，
这时U可以看做一个全集（universal
set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U中不属于A的所有元
素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary
set）,
记为___________
读作“______ ____________________”
即：=_______________________
可用
右图阴影部
分来表示：
__________________
7．补集的性质：
①
=__________________
②
=__________________
③
=______________
【精典范例】
一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．
写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；
写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，
但应注意两个特殊的子集：和本身．
点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；
②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；
③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a与{a}
0
与
（2）与{20，，，}
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0
，x∈R
}；
（5）S={x|x为地球人
}，A={x|x
为中国人}，B={x|x为外国人
}
点评:
①
判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________
集合与集合之间用_______________
追踪训练一
1．判断下列表示是否正确：
(1)
a{a
}
(2)
{a
}∈{a，b
}
(3)
{a，b
}
{b，a
}
(4)
{-1，1}
{-1，0，1}
(5)
{-1，1}
2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．
(1)
A={-1，1}，B=Z；
(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正
约数}；
(3)
A
=
N
，B=N
(4)
A
={x|x=1+a2,a∈N
}
B={x|x=a2-4a+5,a∈N
}
3．（1）已知{1，2
}M{1，2，3，4，
5}，则这样的集合M有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6，
7
,8，9}，集合P满足：PM，且
若，则10-
∈P，则这样
的集合P有多少个？
4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1)
与{0}
(2)
{-1，1}与{1，-1}
(3)
{(a,b)}
与{(b,a)}
(4)
与{0，1，}
三、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B=
{x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，
求实数a的取值范围．
分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，
在由BA，可知，集合B按元素的
多少分类讨论即可．
点评:
B=易被忽视，要提防这一点．
四、补集的求法
例4：①方程组的解集为A，
U=R，试求A及．
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，
是的真子集，求实数a的取值范围．
【解】
①
A={x|}，
={x|x≤或x>2}
②
B={x|x+a<0}={x|x<-a}
，
={x|x≤1}
∵
是的真子集
如图所示：
∴
-a
≤
1即a≥-1
点评:
求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．
追踪训练二
1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，
k∈Z}，则
___________
___________：
2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知
A={b，2}，={5}，求实数a，b的值．
3．已知集合A={x|x=a+，a∈Z}，B={x|x=，b∈Z}，C={x|x=，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系
4．已知集合A={x|x2-1=0
}，B={x|x2-2ax+b=0}
B
A，求a，b的取值范围．
思维点拔：
集合中的开放问题
例5:
已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合
A={1，|2x-1|}，如果={0}，则这样的
实数x是否存在？若存在，求出x，若不
存在，请说明理由．
点拔：
由={0}，可知，0∈S，但0，由
0∈S，可求出x，然后结合0，来验证
是否符合题目的隐含条件，从而确定
x是否存在．
学生质疑
教师释疑
【师生互动】
听课随笔
相等
集
合
的
关
系
子集
包含
真子集
补集
全集
{-1,1}
听课随笔
听课随笔第二课时
集合的表示
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法；
2．初步理解集合相等的概念，并会
初步运用，
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课堂互动】
自学评价
1.
集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素一一列举出来，并________
____________表示集合的方法叫列举法.
注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③各元素的出现无顺序；
④集合里的元素不能重复；
⑤集合里的元素可以表示任何事物.
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质（
）表示出来，写成_________的形式,
称之为描述法.
注意：
①写清楚该集合中元素满足性质；
②不能出现未被说明的字母；
③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；
④所有描述的内容都要写在集合的括号
内；
⑤用于描述的语句力求简明，准确.
思考:还有其它表示集合的方法吗？
【答】
文字描述法：是一种特殊的描述法，
如：{正整数}，{三角形}
图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
2.
集合相等
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，
___________________________________
则称这两个集合相等，记为：_____________
【精典范例】
一、用集合的两种常用方法具体地表示
集合
例1．用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的
集合；
（5）由所确定的实数
集合.
（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N
}
分析：先求出集合的元素，再用列举法
表示.
点评:
（1）用列举法表示集合的步骤为：
①求出集合中的元素
②把这些元素写在花括号内
（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了
然；缺点是不易看出元素所具有的属性.
例2．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合；
分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.
点评:
用描述法表示集合时，注意确定和简
化集合的元素所具有的共同特性.
追踪训练一
1.用列举法表示下列集合：
(1)
{x|x2+x+1=0}
(2){x|x为不大于15的正约数}
(3)
{x|x为不大于10的正偶数}
(4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z}
2.
用描述法表示下列集合：
(1)
奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3)不等式2x-3>5的解集；
(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的
集合；
.
3.
下列集合表示法正确的是
(1)
{1，2，2}；
(2)
{Ф}；
(3)
{全体有理数}；
(4)
方程组的解的集合为
{2，4}；
（5）不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}.
例3．已知A={a|}，
试用列举法表示集合A．
分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪
些条件．
点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的
整数a的值，若将题目改为，
则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.
二、有关集合相等方面的问题
例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
分析：含字母的两个集合相等，并不意味着
按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.
追踪训练
1．集合A={x|y=x2+1}，B={t|p=t2+1}
C={y|x
=}，这三个集合
的关系？
2．已知A={x|}，试用列举法表示集合A．
思维点拔：
例5．
已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.
点拔：
本题集合B={x|}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论
.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
列举法
集合的表示
描述法
听课随笔第四课时
集合的运算---交集
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解交集的概念及其交集的性质；
2．会求已知两个集合的交集；
3．理解区间的表示法；
4．提高学生的逻辑思维能力.
【课堂互动】
自学评价
1．交集的定义：
一般地，___________________________
______________________，称为A与B交集
(intersection
set)，记作____________
读作“___________”.
交集的定义用符号语言表示为：
__________________________________
交集的定义用图形语言表示为：
_________________________________
注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.
（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.
2．交集的常用性质：
（1）
A∩A
=
A；
（2）
A∩=；
（3）
A∩B
=
B∩A；
（4）(A∩B)∩C
=A∩(B∩C)；
（5）
A∩B
A，
A∩BB
3．集合的交集与子集：
思考:
A∩B=A，可能成立吗？
【答】________________________
________________________
结论：
A∩B
=
A
AB
4．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a[a，
b]
=
_____________________
（a，
b）=
_____________________
[a
，b）=
_____________________
（a
，b]
=
______________________
（a，+∞）=______________________
（-∞，b）=______________________
（-∞，+∞）=____________________
其中
[a，
b]，（a，
b）分别叫闭区间、
开区间；[a
，b），（a
，b]
叫半开半闭
区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.
（2）区间符号内的两个字母或数之
间用“，”号隔开.
（3）∞读作无穷大，它是一个符
号，不是一个数.
【精典范例】
一、求已知两个集合的交集
例1．
（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；
（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；
（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1
k∈Z
}，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；
A∩C；C∩B；D∩B；
【解】
（1）A∩B={0，1}；
（2）A∩B={x|0（3）A∩B=
A∩C=
C∩B=
D∩B=
D
点评:
不等式的集合求交集时，运用数轴比
较直观，形象.
例2：
已知数集
A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．
【解】
∵
A∩B={-3}
∴
-3
∈
A
-3
∈
B
当a-3=-3时，即a=
0时，B={-3，-2，1}，
A={0，1，-3}满足题意；
当a-2=-3时，即a=-1时，B={-4，-3，2}，
A={1，0，-3}不满足题意；
∴
a
=
0
点评:
在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．
例3：
（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，
B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，
求A∩B；
（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，
B={(x,y)|y=-x2+2x+，x∈R}，
求A∩B；
分析：
先求出两个集合的元素，或者集合中元素
的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、
（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方．
【解】
两个集合表示的是y的取值范围，
∵A={y|y=x2-2x+3，x∈R}=
{y|y≥2}，
B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}=
{y|y≤11}，
∴
A∩B={y|2≤y≤11}；
（2）A∩B=
{(x,y)|y=x+1，x∈R}∩{(x,y)|y=-x2+2x+，x∈R}
={(x,y)|
}
={}
点评:
求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．
追踪训练一
1.
设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；
2.
设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；
3.
设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；
4.
设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k
，k∈Z}，
求A∩B，B∩C．
二、运用交集的性质解题
例4：
已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}
（1）若B={5}，求p，q的值．
（2）若A∩B=
B
，求实数p，q满足的
条件．
分析：
（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个
相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．
（2）由A∩B=
B可知：B
A，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q满足的条件．
【解】
（1）∵
A∩B={5}
∴
方程x2+px+q=0有两个相等的实根5
∴
5+5=-p
5 5=q
∴
p=-10，q=25
（2）
∵
A∩B=
B
∴
B
A
当B=时，⊿=p2-4q<0，即
p2<4q；
当B={2}时，可求得p=-4，q=4；
当B={5}时，p=-10，q=25；
当B={2，5}时，可求得p=-7，q=10；
综上所述：
实数p，q满足的条件为p2<4q；
或
或
或
点评:
利用性质：A∩B
=
A
AB是解题的
关键，提防掉进空集这一陷阱之中．
追踪训练二
1.已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0
=0}，若A∩B
=B，求实数m所构成的集合M．
2.已知集合M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠，则a满足的条件是什么？
三、借助Venn图解决集合的运算问题
例5：
已知全集U={不大于20的质数}，M,N是U
的两个子集，且满足M∩()={3，5}，
{7，19}，
{2，17}，求M，N的值．
分析：用Venn图表示集合M，N，U，将符合条件的元素依次填入即可．
【解】
点评:
Venn图的形象直观，简化了运算过程，降低
了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn图来进行集合间的运算，特别是抽象集合（或
较为复杂集合）间的运算问题．
高考热点：
例6：
已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，
若A∩B
≠，求实数m的取值范围．
点拔：
本题如果直接求解，情况较多十分麻烦，可
从求解的反面来考虑，就比较简单．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
集合的运算
定义
交集
性质
运用
听课随笔
听课随笔
听课随笔第一章
集合
一、知识结构
二、重点难点
重点：
集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算；
难点：
集合概念的理解；集合的补集运算；交与并的区别；
第一课时
集合的含义
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法；
2．集合中的元素的特性；
3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类；
4．集合的分类.
【课堂互动】
自学评价
1．集合的含义：
构成一个集合(set).
注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.
（2）集合是一个“整体.
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的
2．集合中的元素：
集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.
集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,
元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.
思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】
3．集合中元素的特性：
（1）确定性.设A
是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.
4．常用数集及其记法：
一般地，自然数集记作____________
正整数集记作__________或___________
整数集记作________有理数记作_______
实数集记作________
5．元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作__________
读作“___________________”；
如果a不是集合A的元素，就记作______
或______读作“_______________”；
6．集合的分类：
按它的元素个数多少来分：
（i）
_________________
叫做有限集；
（ii）________________________
叫做无限集；
（iii）
_______________
叫做空集，记为_____________
【精典范例】
一、运用集合中元素的特性来解决问题
例1．下列研究的对象能否构成集合
（1）世界上最高的山峰
（2）高一数学课本中的难题
（3）中国国旗的颜色
（4）充分小的负数的全体
（5）book中的字母
（6）立方等于本身的实数
（7）不等式2x-8<13的正整数解
【解】
点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，
要么不是这个集合的元素，即元素确
定性.
例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？
分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.
点评:
元素的特性（特别是互异性）
是解决问题的切入点.
例3：三个元素的集合1，a，，也可表示
为0，a2，a+b，求a2005+
b2006的值．
分析：三个元素的集合也可表示另外一种形
式，说明这两个集合相同，而该题目
从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．
点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三
个特征．
二、运用元素与集合的关系来解决一
些问题
例4：集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b
∈Z)组成，判断下列元素与集合A的
关系？
（1）0
（2）
（3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
点评:
要判断某个元素是否是某个集合的元
素，就是看这个元素是否满足该集合
的特性或具体表达形式.
例5：不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A，则∈A，如果2∈A,求A中的元素？
分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的
语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.
追踪训练
1．下列研究的对象能否构成集合
①
某校个子较高的同学；
②
倒数等于本身的实数
③
所有的无理数
④
讲台上的一盒白粉笔
⑤中国的直辖市
⑥中国的大城市
2．下列写法正确的是___________________
①Q
②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集
③R
④-1∈Z
⑤由book中的字母组成的集合与元素k，o，b组成的集合是同一个集合
把正确的序号填在横线上
3．用∈或填空
1_______N
-3_________N
0__________N
________N
1_______Z
-3_________Q
0__________Z
________R
0_______N
________R
_______Q
cos300_______Z
4．
由实数-x，|x|，，x，组成的集合最多含有元素的个数
是_________________个
【选修延伸】
例6：设S是满足下列两个条件的实数所构成
的集合：
①1∈S，②若，则，请
解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求
出这两个数；
（2）求证：若，则
（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明
理由；
（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.
点评:
（4）证明中需说明三个数互不相等，
否则证明欠严谨.数学是一门非常
严谨的科学.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
集合
定义、性质、运用
交集、并集
集合的定义及其表示
子集、全集、补集
集合中元素的特性
集合的分类
集合的表示法
定义、性质、运用
确定性
互异性
集合定义
无序性
元素的特性
集合
有限集
无限集
集合的分类
空集
听课随笔
听课随笔