18.1.1勾股定理同步练习
图片预览
文档简介
沪科版八年级下册数学18.1.1勾股定理同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A．56 B．48 C．40 D．32
2. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
3. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．9 C．18 D．36
5. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0
C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
6. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
7. 已知一个直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，则该直角三角形的斜边的长为（ ）21·世纪*教育网
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
8. 如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）21*cnjy*com
A．4.8 B．5 C．4 D．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
10. 在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 ．
11. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
12. 如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．21世纪教育网版权所有
13. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 ．
14. △ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为 .
三、计算题(本大题共4小题)
15. 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 【来源：21cnj*y.co*m】
如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
17. 如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
18. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.B
分析：根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出DC的长，进而求出BC的长，即可得出答案．
解：过点A做AD⊥BC于点D，
∵等腰三角形底边上的高为8，周长为32，
∴AD=8，设DC=BD=x，则AB=（32﹣2x）=16﹣x，
∴AC2=AD2+DC2，即（16﹣x）2=82+x2，
解得：x=6，
故BC=12，
则△ABC的面积为：×AD×BC=×8×12=48．
故选：B．
2.B
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．21·cn·jy·com
解：当12是斜边时，第三边是= ；
当12是直角边时，第三边是=13．故选B．
3. B
分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，
解得：x=8．故选B．
4. B
分析：由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=36，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE=BC，AF=FC=AC，得出S1+S2=BE2+AF2=（BC2+AC2），即可得出结果．
解：∵∠ACB=90°，AB=6，
∴BC2+AC2=AB2=62=36，
∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC，AF=FC=AC，
∴S1+S2=BE2+AF2=×（BC）2+×（AC）2=（BC2+AC2）=×36=9；
故选：B．
5. B
分析：如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．
6. D
分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．
7. C
分析：设另一条直角边的长为xcm，根据三角形的面积公式求出x的值，由勾股定理即可得出斜边长．
解：设另一条直角边的长为xcm，
∵直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，
∴×7x=84，解得x=24（cm），
∴该直角三角形的斜边的长==25（cm）．
故选C．
8. 分析：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．2·1·c·n·j·y
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD===4，
又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，
∴BP===4.8．
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
10. 分析：分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．www-2-1-cnjy-com
解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD===5，
在Rt△ADC中，
CD===16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD﹣BD=16﹣5=11，
所以△ABC的面积为×11×12=66；
故答案为：126或66．
11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．21教育网
解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
12. 分析：连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．21cnjy.com
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF=，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，
在Rt△BCF中，BC==．
∴AD=BC=．
故答案为：．
13.
分析：由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积．2-1-c-n-j-y
解：由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
14.分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．
解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解答：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
16. 分析：可以构造直角三角形利用勾股定理解答即可。
解:∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
17. 分析：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴ .
18. 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=www.21-cn-jy.com
一、选择题(本大题共8小题)
1. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A．56 B．48 C．40 D．32
2. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
3. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．9 C．18 D．36
5. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0
C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
6. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
7. 已知一个直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，则该直角三角形的斜边的长为（ ）21·世纪*教育网
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
8. 如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）21*cnjy*com
A．4.8 B．5 C．4 D．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
10. 在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 ．
11. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
12. 如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．21世纪教育网版权所有
13. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 ．
14. △ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为 .
三、计算题(本大题共4小题)
15. 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 【来源：21cnj*y.co*m】
如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
17. 如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
18. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.B
分析：根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出DC的长，进而求出BC的长，即可得出答案．
解：过点A做AD⊥BC于点D，
∵等腰三角形底边上的高为8，周长为32，
∴AD=8，设DC=BD=x，则AB=（32﹣2x）=16﹣x，
∴AC2=AD2+DC2，即（16﹣x）2=82+x2，
解得：x=6，
故BC=12，
则△ABC的面积为：×AD×BC=×8×12=48．
故选：B．
2.B
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．21·cn·jy·com
解：当12是斜边时，第三边是= ；
当12是直角边时，第三边是=13．故选B．
3. B
分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，
解得：x=8．故选B．
4. B
分析：由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=36，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE=BC，AF=FC=AC，得出S1+S2=BE2+AF2=（BC2+AC2），即可得出结果．
解：∵∠ACB=90°，AB=6，
∴BC2+AC2=AB2=62=36，
∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC，AF=FC=AC，
∴S1+S2=BE2+AF2=×（BC）2+×（AC）2=（BC2+AC2）=×36=9；
故选：B．
5. B
分析：如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．
6. D
分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．
7. C
分析：设另一条直角边的长为xcm，根据三角形的面积公式求出x的值，由勾股定理即可得出斜边长．
解：设另一条直角边的长为xcm，
∵直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，
∴×7x=84，解得x=24（cm），
∴该直角三角形的斜边的长==25（cm）．
故选C．
8. 分析：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．2·1·c·n·j·y
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD===4，
又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，
∴BP===4.8．
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
10. 分析：分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．www-2-1-cnjy-com
解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD===5，
在Rt△ADC中，
CD===16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD﹣BD=16﹣5=11，
所以△ABC的面积为×11×12=66；
故答案为：126或66．
11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．21教育网
解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
12. 分析：连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．21cnjy.com
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF=，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，
在Rt△BCF中，BC==．
∴AD=BC=．
故答案为：．
13.
分析：由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积．2-1-c-n-j-y
解：由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
14.分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．
解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解答：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
16. 分析：可以构造直角三角形利用勾股定理解答即可。
解:∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
17. 分析：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴ .
18. 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=www.21-cn-jy.com