河北省张家口市万全中学2016-2017学年八年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）

2016-2017学年河北省张家口市万全中学八年级（上）第一次月考数学试卷
　
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x≥﹣2
C．x≥2
D．x≤2
3．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2
B．36cm2
C．48cm2
D．60cm2
5．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　）
A．12
B．10
C．7.5
D．5
6．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10
②13，5，12
③1，2，3
④9，40，41
⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（　　）组．
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知a=2﹣，b=，则a、b的关系为（　　）
A．相等
B．互为相反数
C．互为倒数
D．互为负倒数
8．如图所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成45°角．若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.2米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（　　）
A．L1
B．L2
C．L3
D．L4
9．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（　　）
A．S1=S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．无法确定
10．如图，在周长为26cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
11．如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
13．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．12
B．24
C．12
D．16
14．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直
线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①AO=BO；
②OE=OF；
③△EAM≌△CFN；
④△EAO≌△CNO，
其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
15．用科学记数法表示0.000043为　　．
16．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2﹣10的立方根为　　．
17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为　　．
18．已知y=++5，则x2﹣xy+y2=　　．
19．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：　　．
20．观察下列各式：
=2，
=3，
=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来　　．
　
三、解答题（共6小题，每小题12分，共14分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
21．计算：
（1）+2﹣（﹣）
（2）（﹣4）﹣（3﹣2）
（3）（2+）2﹣（+）（﹣）
22．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2．
23．矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10，
（1）求AB；
（2）求AD；
（3）求矩形ABCD的面积．
24．如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？
26．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是　　，并证明你的结论．
（2）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足　　条件时，四边形EFGH是矩形；并证明你的结论．
（3）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件　　时，四边形EFGH是正方形．（不用证明）
　
2016-2017学年河北省张家口市万全中学八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
　
2．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x≥﹣2
C．x≥2
D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选D．
　
3．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式．
【分析】把各二次根式化简，然后根据不能合并的不是同类二次根式进行判断即可．
【解答】解：
=2，
A、=4，能合并，故本选项错误；
B、=3，不能合并，故本选项正确；
C、==，能合并，故本选项错误；
D、﹣=﹣5，能合并，故本选项错误．
故选B．
　
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2
B．36cm2
C．48cm2
D．60cm2
【考点】勾股定理；完全平方公式．
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b=14
∴（a+b）2=196
∴2ab=196﹣（a2+b2）=96
∴ab=24．
故选A．
　
5．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　）
A．12
B．10
C．7.5
D．5
【考点】矩形的性质．
【分析】如下图所示：∠AOD=∠BOC=60°，即：∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=7.5，又因为∠AOD=∠BOC=60°，所以AD的长即可求出．
【解答】解：如下图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=15，∠AOD=∠BOC=60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OD=OC=OB=×15=7.5（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD=∠BOC=60°，
∴OA=OD=AD=7.5，
∵∠COD=120°＞∠AOD=60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选C．
　
6．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10
②13，5，12
③1，2，3
④9，40，41
⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（　　）组．
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．
　
7．已知a=2﹣，b=，则a、b的关系为（　　）
A．相等
B．互为相反数
C．互为倒数
D．互为负倒数
【考点】实数的性质；分母有理化．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：（2﹣）（2+）=1，故a、b互为倒数，
故选：C．
　
8．如图所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成45°角．若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.2米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（　　）
A．L1
B．L2
C．L3
D．L4
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后进行无理数估算后进行判断．
【解答】解：在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=5，
∴AC==5≈7.07，
∴拉线AC最好选用L3．
故选C．
　
9．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（　　）
A．S1=S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．无法确定
【考点】勾股定理．
【分析】因为是直角三角形，所以可以直接运用勾股定理，然后运用圆的面积公式来求解．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2
又∵
∴S1=π=π ，
=（）=π =S1
∴S1=S2，
故选A．
　
10．如图，在周长为26cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件求出AB+AD=13cm，由线段垂直平分线的性质得出BE=DE，得出△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=13cm即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD=13cm；
故选：D．
　
11．如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
【考点】矩形的性质．
【分析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．
【解答】解：作EF⊥AC于点F．
∴BE=EF=4．
∴△AEC面积=15×4÷2=30．
故选B．
　
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】连接OP，过D作DM⊥AC于M，求出AC长，根据三角形的面积公式求出CM的值，根据S△AOD=S△APO+S△DPO代入求出PE+PF=DM即可．
【解答】解：连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∠ADC=90°
∴OA=OD，
由勾股定理得：AC==5，
∵S△ADC=×3×4=×5×DM，
∴DM=，
∵S△AOD=S△APO+S△DPO，
∴（AO×DM）=（AO×PE）+（DO×PF），
即PE+PF=DM=，
故选B．
　
13．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．12
B．24
C．12
D．16
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2，即AB=2，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2×8=16．
故答案为：16．
　
14．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直
线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①AO=BO；
②OE=OF；
③△EAM≌△CFN；
④△EAO≌△CNO，
其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误；
②易证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO；
③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；
④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．
【解答】解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠E=∠F，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故②正确；
③由②知，△AOE≌△COF，则∠A=∠F、AE=CF．
在△EAM与△CFN中，，
∴△EAM≌△CFN（ASA），
故③正确；
④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，
故△EAO和△CNO不全等，故④错误，
即②③正确．
故选B．
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
15．用科学记数法表示0.000043为　4.3×10﹣5　．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000
043=4.3×10﹣5；
故答案为：4.3×10﹣5．
　
16．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2﹣10的立方根为　﹣　．
【考点】勾股定理；立方根；实数与数轴．
【分析】先根据数轴可得x的值，进而可得则x2﹣10的值，再根据立方根的定义即可求得其立方根．
【解答】解：读图可得：点A表示的数为1﹣，
即x=1﹣；
则x2﹣10=3﹣2﹣10=﹣7﹣2，
则它的立方根为﹣．
故答案为：﹣．
　
17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为　　．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．
【解答】解：观察图形
AB==，AC==3，BC==2
∴AC2+BC2=AB2，∴三角形为直角三角形，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
∴CD=．
　
18．已知y=++5，则x2﹣xy+y2=　19　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先结合二次根式有意义的条件求出x和y的值，然后代入求解即可．
【解答】解：∵y=++5，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x=3，
y=5，
∴x2﹣xy+y2=9﹣15+25=19．
故答案为：19．
　
19．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：　两直线平行，同位角相等　．
【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
　
20．观察下列各式：
=2，
=3，
=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来　　．
【考点】算术平方根．
【分析】根据所给例子，找到规律，即可解答．
【解答】解：
=（1+1）=2，
=（2+1）=3，
=（3+1）=4，
…
，
故答案为：．
　
三、解答题（共6小题，每小题12分，共14分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
21．计算：
（1）+2﹣（﹣）
（2）（﹣4）﹣（3﹣2）
（3）（2+）2﹣（+）（﹣）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=2+2﹣3+
=3﹣；
（2）原式=4﹣﹣+
=3；
（3）原式=20+4+3﹣（5﹣2）
=23+4﹣3
=20+4．
　
22．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】按照分式的性质进行化简后代入x=2求值即可．
【解答】解：原式=
=
当x=2时，原式=．
　
23．矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10，
（1）求AB；
（2）求AD；
（3）求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的性质．
【分析】（1）由矩形ABCD中，∠AOB=60°，易得△AOB是等边三角形，又由AC=10，则可求得OA的长，继而求得答案；
（2）在Rt△ABD中，直接利用勾股定理求解即可求得答案；
（3）由S矩形ABCD=AD AB，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AC=10，
∴OA=AC=5，BD=AC=10，
∴OB=BD=5，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5；
（2）∵∠BAD=90°，
∴AD===5；
（3）S矩形ABCD=AD AB=25．
　
24．如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【解答】证明：（1）在 ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在 ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在 CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．
　
25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED==70（km），
∴EF=140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20=7（小时），
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
　
26．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是　平行四边形　，并证明你的结论．
（2）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足　AC⊥BD　条件时，四边形EFGH是矩形；并证明你的结论．
（3）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件　AC⊥BD且AC=BD　时，四边形EFGH是正方形．（不用证明）
【考点】中点四边形．
【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）根据邻边相等的矩形为正方形进行解答．
【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形；
（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故答案是：AC⊥BD；
（3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
故答案是：AC⊥BD且AC=BD．
　
2017年3月3日