16.3.1 解分式方程 同步练习
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16.3.1 解分式方程
核心笔记: 1.解分式方程的步骤:①将分式方程化为整式方程,②解这个整式方程,③检验.
2.增根:在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.21世纪教育网版权所有
基础训练
1.方程=3的解是( )
A.- B. C.-4 D.4
2.解分式方程+=3时,去分母后变形正确的为( )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
3.关于x的方程=2+无解,则m的值为( )
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
4.分式方程=的解是__________.?
5.已知x=1是分式方程=的根,则实数k=_________.?
6.解下列方程:
(1)(中考·绍兴)+=4.
(2)-3=.
7.在非零实数范围内定义一种运算“*”,其规则是a*b=+,根据这个规则解方程3*(x-1)=1.21教育网
培优提升
1.分式方程=1的解为( )
A.x=-2 B.x=-3 C.x=2 D.x=3
2.若关于x的分式方程-1=有增根,则m的值为( )
A.0或3 B.1 C.1或-2 D.3
3.若关于x的分式方程=有解,则字母a的取值范围是( )
A.a=5或a=0 B.a≠0
C.a≠5 D.a≠5且a≠0
4.若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m≥-1
C.m>-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
5.从-3,-1,,1,3这5个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程-=-1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是( )
A.-3 B.-2 C.- D.
6.关于x的分式方程-=0无解,则m= .?
7.当a= 时,关于x的方程-=1的解与方程=3的解相同.?
8.解方程:
(1)-=2;
(2)-=-;
(3)+=+.
9.要使关于x的方程-=的解是正数,求a的取值范围.
10.已知关于x的分式方程+=.
(1)若方程的增根为x=2,求a的值;
(2)若方程有增根,求a的值;
(3)若方程无解,求a的值.
参考答案
【课堂集训】
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A
4.【答案】x=4 5.【答案】
6.解:(1)方程两边同乘以(x-1)得
x-2=4(x-1),
即x-2=4x-4,
则x-4x=-4+2,
得x=.
检验,当x=时,x-1≠0.
所以原方程的解为x=.
(2)方程两边同乘以(x-2),
得1-3(x-2)=-(x-1),
即1-3x+6=-x+1,则-2x=-6,
解得x=3.检验,当x=3时,x-2≠0.
所以,原方程的解为x=3.
7.解:因为a*b=+,所以3*(x-1)=+.所以原方程就是+=1,即=.去分母,得2(x-1)=3,解这个方程得x=.21cnjy.com
检验:把x=代入(x-1)中,得x-1=-1=≠0,所以x=是原方程的解.
【培优提升】
1.【答案】B
2.【答案】D
解：将m看成已知数解这个分式方程得x=m-2.若分式方程有增根,则(x-1)(x+2)=0,即x-1=0或x+2=0,所以x=1或x=-2;从而得到m=3或m=0,而m=0时,得到=1不成立,故m=3,选D.21·cn·jy·com
3.【答案】D 4.【答案】D
5.【答案】B
解：由不等式组无解可得a≤1;解分式方程可得x=(5-a),由x≠3,可得a≠-1,若分式方程有整数解可得a=-3,1,3.综合考虑,所有满足条件的a的值为-3,1,和为-3+1=-2.www.21-cn-jy.com
6.【答案】0或-4
7.【答案】-3
解：因为方程=3的解为x=2,且两方程的解相同,所以把x=2代入-=1,得-2=1,解得a=-3.经检验,a=-3是方程-2=1的解,∴a=-3.2·1·c·n·j·y
8.解:(1)去分母,得x+1=2(x-7),
即x+1=2x-14,则1+14=2x-x,
得x=15.
检验:当x=15时,x-7≠0,故x=15是原方程的解.
(2)两边分别通分,得
=,
即=.
去分母,得(x-5)(x-2)=(x-6)(x-3).
解得x=4.
检验:当x=4时,(x-6)(x-3)(x-5)(x-2)≠0.
所以,x=4是原方程的根.
(3)原方程可化为-=-,
整理,得-=1+-.
即-=-.
两边分别通分得,=.
去分母得,(x+5)(x+7)=(x+1)(x+3),
解得x=-4.
经检验,x=-4是原方程的根,
所以原方程的根是x=-4.
9.解:-=,
此方程的最简公分母是(x+2)(x-1),去分母,得(x+1)(x-1)-x(x+2)=a,解这个整式方程,得x=-,【来源：21·世纪·教育·网】
∵这个解是正数,∴->0,即a<-1,
又分式方程中分母不能为零,即x≠1且x≠-2,
∴-≠1且-≠-2,
解得a≠-3且a≠3.
∴a的取值范围为a<-1且a≠-3.
10.解:去分母并整理,得(a-1)x=-10.
(1)因为x=2是原方程的增根,
所以(a-1)×2=-10.解得a=-4.
(2)因为原分式方程有增根,所以(x+2)(x-2)=0.
解得x=2或-2.
将x=2或-2代入(a-1)x=-10,解得a=-4或6.
(3)①当a-1=0时,该整式方程无解.
此时a=1.
②当a-1≠0时,要使原方程无解,
则(x+2)(x-2)=0,解得x=-2或2.
把x=-2代入整式方程(a-1)x=-10,得a=6;
把x=2代入整式方程(a-1)x=-10,得a=-4.
综合①②得a=-4或1或6.
核心笔记: 1.解分式方程的步骤:①将分式方程化为整式方程,②解这个整式方程,③检验.
2.增根:在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.21世纪教育网版权所有
基础训练
1.方程=3的解是( )
A.- B. C.-4 D.4
2.解分式方程+=3时,去分母后变形正确的为( )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
3.关于x的方程=2+无解,则m的值为( )
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
4.分式方程=的解是__________.?
5.已知x=1是分式方程=的根,则实数k=_________.?
6.解下列方程:
(1)(中考·绍兴)+=4.
(2)-3=.
7.在非零实数范围内定义一种运算“*”,其规则是a*b=+,根据这个规则解方程3*(x-1)=1.21教育网
培优提升
1.分式方程=1的解为( )
A.x=-2 B.x=-3 C.x=2 D.x=3
2.若关于x的分式方程-1=有增根,则m的值为( )
A.0或3 B.1 C.1或-2 D.3
3.若关于x的分式方程=有解,则字母a的取值范围是( )
A.a=5或a=0 B.a≠0
C.a≠5 D.a≠5且a≠0
4.若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m≥-1
C.m>-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
5.从-3,-1,,1,3这5个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程-=-1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是( )
A.-3 B.-2 C.- D.
6.关于x的分式方程-=0无解,则m= .?
7.当a= 时,关于x的方程-=1的解与方程=3的解相同.?
8.解方程:
(1)-=2;
(2)-=-;
(3)+=+.
9.要使关于x的方程-=的解是正数,求a的取值范围.
10.已知关于x的分式方程+=.
(1)若方程的增根为x=2,求a的值;
(2)若方程有增根,求a的值;
(3)若方程无解,求a的值.
参考答案
【课堂集训】
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A
4.【答案】x=4 5.【答案】
6.解:(1)方程两边同乘以(x-1)得
x-2=4(x-1),
即x-2=4x-4,
则x-4x=-4+2,
得x=.
检验,当x=时,x-1≠0.
所以原方程的解为x=.
(2)方程两边同乘以(x-2),
得1-3(x-2)=-(x-1),
即1-3x+6=-x+1,则-2x=-6,
解得x=3.检验,当x=3时,x-2≠0.
所以,原方程的解为x=3.
7.解:因为a*b=+,所以3*(x-1)=+.所以原方程就是+=1,即=.去分母,得2(x-1)=3,解这个方程得x=.21cnjy.com
检验:把x=代入(x-1)中,得x-1=-1=≠0,所以x=是原方程的解.
【培优提升】
1.【答案】B
2.【答案】D
解：将m看成已知数解这个分式方程得x=m-2.若分式方程有增根,则(x-1)(x+2)=0,即x-1=0或x+2=0,所以x=1或x=-2;从而得到m=3或m=0,而m=0时,得到=1不成立,故m=3,选D.21·cn·jy·com
3.【答案】D 4.【答案】D
5.【答案】B
解：由不等式组无解可得a≤1;解分式方程可得x=(5-a),由x≠3,可得a≠-1,若分式方程有整数解可得a=-3,1,3.综合考虑,所有满足条件的a的值为-3,1,和为-3+1=-2.www.21-cn-jy.com
6.【答案】0或-4
7.【答案】-3
解：因为方程=3的解为x=2,且两方程的解相同,所以把x=2代入-=1,得-2=1,解得a=-3.经检验,a=-3是方程-2=1的解,∴a=-3.2·1·c·n·j·y
8.解:(1)去分母,得x+1=2(x-7),
即x+1=2x-14,则1+14=2x-x,
得x=15.
检验:当x=15时,x-7≠0,故x=15是原方程的解.
(2)两边分别通分,得
=,
即=.
去分母,得(x-5)(x-2)=(x-6)(x-3).
解得x=4.
检验:当x=4时,(x-6)(x-3)(x-5)(x-2)≠0.
所以,x=4是原方程的根.
(3)原方程可化为-=-,
整理,得-=1+-.
即-=-.
两边分别通分得,=.
去分母得,(x+5)(x+7)=(x+1)(x+3),
解得x=-4.
经检验,x=-4是原方程的根,
所以原方程的根是x=-4.
9.解:-=,
此方程的最简公分母是(x+2)(x-1),去分母,得(x+1)(x-1)-x(x+2)=a,解这个整式方程,得x=-,【来源：21·世纪·教育·网】
∵这个解是正数,∴->0,即a<-1,
又分式方程中分母不能为零,即x≠1且x≠-2,
∴-≠1且-≠-2,
解得a≠-3且a≠3.
∴a的取值范围为a<-1且a≠-3.
10.解:去分母并整理,得(a-1)x=-10.
(1)因为x=2是原方程的增根,
所以(a-1)×2=-10.解得a=-4.
(2)因为原分式方程有增根,所以(x+2)(x-2)=0.
解得x=2或-2.
将x=2或-2代入(a-1)x=-10,解得a=-4或6.
(3)①当a-1=0时,该整式方程无解.
此时a=1.
②当a-1≠0时,要使原方程无解,
则(x+2)(x-2)=0,解得x=-2或2.
把x=-2代入整式方程(a-1)x=-10,得a=6;
把x=2代入整式方程(a-1)x=-10,得a=-4.
综合①②得a=-4或1或6.