山东省潍坊中学2017届高三下学期一模预考数学（理）试题

一模预考理科数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知全集为，且集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
4.若关于的不等式的解集为，则参数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5.在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
6.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（
）
A．
2
B．4
C．
D．
7.已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
9.已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．与点位置有关的值
10.已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知向量满足，，，则与的夹角为
.
12.已知正整数的3次幂有如下分解规律：
；；；
；…
若的分解中最小的数为，
则的值为
.
13.阅读如图所示的程序框图，
则输出结果的值为
.
14.用1，2，3，4，5组成不含重复数
( http: / / www.21cnjy.com )字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是
.（注：结果请用数字作答）
15.函数（）满足且在上的导数满足，则不等式的解集为
.
解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分12分）设向量，，，记函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.
17.（本题满分12分）已知数列的前项和为，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记，求证：（）.
18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，，点在棱上.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若，求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）
有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，
2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收.
（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
20.（本题满分13分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线：相切，设点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若动直线：与曲线有且仅有一个公共点，过，两点分别作，，垂足分别为，，且记为点到直线的距离，为点到直线的距离，为点到点的距离，试探索是否存在最值？若存在，请求出最值.
21.（本题满分14分）已知函数.
（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）记，并设是函数的两个极值点，
若，求的最小值.
理科数学一模预考答案
一、
BCBAB
BCBAD
二、11.
12、
10
13、
14、
48
15、
三、
16、【命题意图】本题考查了向量的内积运算
( http: / / www.21cnjy.com )，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.
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17、【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前项和.重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
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18.【命题意图】本题考查了线面垂直、线线
( http: / / www.21cnjy.com )垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）因为平面，所以平面的一个法向量.由知为的三等分点且此时.在平面中，，.所以平面的一个法向量.……………………10分
所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.………………………………………………………………12分
19.【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
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20.【命题意图】本题综合
( http: / / www.21cnjy.com )考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
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（2）由（1）中知曲线是椭圆，将直线：代入
椭圆的方程中，得
由直线与椭圆有且仅有一个公共点知，，
整理得
…………7分
且，
当时，设直线的倾斜角为，则，即
∴
…10分
∵
∴当时，
∴，∴……11分
当时，四边形为矩形，此时，
∴
…………12分
综上、可知，存在最大值，最大值为
……13分
21.【命题意图】本题综合考查了利用导
( http: / / www.21cnjy.com )数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
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（2）∵，
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