7.1.10
解决问题的策略（3）
教案
1教学目标
⒈让学生经历观察、操作、抽象、归纳等自主探究活动,帮助学生直观感受“形”与“数”之间的关系,并能利用“形”解决一些有关“数”的问题,利用“数”的规律清晰解决图形的问题。
⒉学生能在解决数学问题的过程中,体会、表达和掌握数形结合、合情推理的数学思想,进一步积累数形结合和合情推理解决问题的活动经验,从而提高解决实际问题的能力。
⒊培养学生数形结合的数学思想意识,感受数学的魅力,体验思想方法的价值,激发学生学习数学的兴趣。
2学情分析
⒈起点。
六年级学生思维的抽象概括程度还不够高,仍然经常需要借助直观模型来帮助理解。可以说,从孩子数学学习开始,数与形结合的思想就一直伴随在数学教与学的过程中,并已经积累了一定的活动经验,但以前的数形结合思想是深藏不露的,本节课的学习就是要让数形结合思想由幕后走到台前,成为教学的对象与核心。
⒉终点:数形结合思想的学习,目的不在于掌握某个具体的知识与内容,而在于促进学生对数形结合思想的体验、总结和自觉应用。
3重点难点
教学重点
借助数形结合来解决问题。
教学难点
从不同角度观察得出数学规律,借助数形结合这个载体,灵活解决数学问题。
4教学过程
活动1【导入】活动一
1、师:同学们,本学期我们学过了哪些数学知识
小结:我们以前学过的知识,都不外乎“数”和“形”这两类。(出示:数
形)
2、引用名言,引入新课。
著名的数学家吴文俊因此说过这样一句话:数学就是研究数和形的一门科学。今天这节课我们就一起来探究有关数与形的实际问题。
活动2【讲授】活动二
1、化数为形,以形助数。
(1)课件出示四个图形。
昨天我看到邻居家的小孩亮亮摆了这样四个有趣的图形。他摆的这四个图形有什么共同的特点
(2)看图列式求和,填表。
谈话:亮亮刚上一年级,他还根据这几个图形列出了几道加法算式。你知道他列出的是哪几道加法算式吗
如果要把这些算式和结果填在这张表里,你会填吗 我们一起来填一填。
(3)提问:我想是不是有同学观察到了什么 你有什么发现 把你的发现在四人小组内说一说。
(4)小组汇报交流。
提问:同学们有发现吗 谁来说一下你有什么发现。
学生交流。
(5)验证规律。
规律应该是连续的,接下去的图形和算式是不是也有这样的规律呢
实践是检验真理的唯一标准,就让我们动手验证一下吧。王老师在每一桌上都放了一个信封,信封里装了一些不同颜色的正方形。下面同桌合作先摆一摆,然后在根据你摆的图形列出算式,再看看是不是也有这样的规律。
学生操作。
全班交流。
(6)提炼题目。
课件演示。
小结:依次这样下去,看来真的有这样的规律。
提问:以此类推,如果有20个这样的连续奇数相加,你觉得它的和应该是多少 那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少 如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少
谈话:其实我们刚才攻克了一道难题,知道是什么题目吗
(课件出示:从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。)
(7)追问:我们刚才是通过什么解决这道难题的
(8)小结
是的,数是很抽象的,很多道理我们需要借助形的力量来理解,把数化成形之后,可以使复杂的数量关系变得更加的清楚、简单,我们把这样的过程叫做“化数为形,以形助数”。(出示板书:化形为数,以形助数)
2、化数为形,以形解数。
(1)过渡谈话:那数的规律可以借助图形来帮助思考,那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律呢
(2)出示题目,解决问题。
(3)提问:这是一个图形的问题,我们刚才是通过什么来解决的
谈话:对了,画图太麻烦了,这时候需要借助数的力量,把形的计算问题用数来做会更加的快速、简便而且准确。那我们把这样的过程叫做化形为数,然后以数来解形。(出示板书)
3、渗透数学思想。
谈话:同学们,回顾这两个例子,在第一个例子当中,数的问题可以借助图形来思考,而第二个例子当中,形的知识可以借助数来计算,数和形各有优点,它们一一对应而且可以互相转化,互为补充,这就意味着要求我们在解决问题的时候要把数和形结合起来,这在数学上是一种重要的思想,就叫“数形结合思想”。(出示课题)
对于“数形结合”,我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。让我们一起读一遍:
数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。
活动3【练习】活动三
1、谈话过渡:
数形结合百般好,可是怎样做到数与形的结合呢 我想,这既然是一种思想,那我们还是要落脚到这两个数上,“思”和“想”,也就是要见“数”思“形”,见“形”想“数”。
试试你能不能够做到。
2、课件出示练习题。7.1.10
解决问题的策略（3）
课后练习
一、填空
1．观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点。
考查目的：数与形结合的规律；通过特例分析归纳出一般结论的方法。
解析：第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点……第个图就有个点。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。
2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51个方框里有（ ）个点。
考查目的：数与形结合的规律；利用规律解决问题。
解析：分析图形，可得出第个图中共有个点，则第10个图共有1+4×（10-1）=37个点，第51个图共有1+4×（51-1）=201个点。
3．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆个正六边形需要（ ）根小棒。
考查目的：根据已知图形的排列特点及数量关系，推理得出一般的结论进行解答。
解析：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆个六边形需要根小棒。
4．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：
考查目的：分析图形的变化规律并列出代数式。
解析：一张方桌坐4人，每多一张方桌就多2个人，那么有4张方桌时就多坐了6人，总人数为4+6=10。如果是张方桌，则所坐人数是。
5．数形结合是一种重要的数学思想，认真观察图形，然后完成下列问题。
；
；
；
；
。
考查目的：利用数形结合的思想探索规律。
解析：通过启发引导，使学生明确可以把一个点看作边长是1的正方形，并由此类比正方形的面积公式计算出结果。对于的解答，引导学生从已知的结果归纳出“从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方”这一结论即可。
二、选择
1．观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）。
A.82个
B.154个
C.83个
D.121个
考查目的：数与形的变化规律。
解析：分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121。
2．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（ ）。
A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球
B.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球
C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球
D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球
考查目的：用画树状图的方法解决与“可能性”有关的问题。
解析：观察树形图可知，袋中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：第一次随机摸出一个球后放回，第二次再随机摸出一个球。
3．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要（ ）根钢管。
A.340
B.225 C.226
D.227
考查目的：图形中的计数规律。
解析：通过分析图形，搭建单顶帐篷需要17根钢管。从串搭第2顶帐篷开始，每多串一顶帐篷需多用11根钢管，由此得出串搭顶帐篷需要根钢管。则串搭20顶这样的帐篷需要11×20+6=226根钢管。
4．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图象如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是（ ）。
A.小狗的速度始终比兔子快 B.整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C.图中BC段表明兔子在做匀速直线运动
D.在前4秒内，小狗比兔子跑得快
考查目的：关于行程问题的图象综合题。
解析：由图象可以看出：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。另，图中的BC段表示兔子处于静止状态。
5．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第 个三角形的 顶点处。（ ）
A.669；上
B.669；左下 C.670；右下 D.670；上
考查目的：数字和图形相结合的变化规律。
答案：D
解析：每个三角形有三个角，对应的三个数的顺序是上、左下、右下。根据2008÷3=669……1，所以2008这个数在第670个三角形的上顶点处。
三、解答
1．把4个完全相同的乒乓球标上数字2、3、4、5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。
（1）请补充完整下面的连线图：
（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？
考查目的：连线和列表的方法；利用可能性的知识解决问题。
解析：利用连线和列表的方法列举出所有的情况，是一种常用的解决问题的方法。教师应引导学生去经历和体会整个过程，注重对方法的理解和掌握。
2．找规律填空，要求写出思考的过程。
考查目的：探索数与形结合的规律。
解析：第一个图形中，从上到下外围数字都是2，内部数字都是它的左上角与右上角两个数字的积；第二个图形中，从右上向左下看，每组数据都是一个等差数列：第一列公差是1，第二列公差是2，第三列公差是3，第四列公差是4……由此即可解答。
3．双休日期间，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况。如图所示：
（1）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？
（2）汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？
（3）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？
（4）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。
考查目的：联系生活实际，利用数形结合的知识解决问题。
解析：通过读图，需要让学生明确：速度不为0就说明汽车在行驶；图象中点的纵坐标的最大值就是最大速度；匀速行驶时，汽车的速度不变；某段时间速度为0，说明汽车没有在行驶，说出一种可能的情况即可；最后一个问题需要结合实际进行描述。
4．分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排，颜色下面是自然数，按下列方式依次排列：
那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？在第几行？
考查目的：利用数表中的规律解决问题。
解析：奇数行都有7个数，偶数行都有6个数，循环的周期是13。而且奇数行是从左到右增加的顺序，偶数行是从右到左增加的顺序。2010是图形中出现的第2011个数，用2011除以13得出循环的周期和余数，进一步分析所在的行数，最后确定位置和对应的颜色。
5．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。
（1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？
（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么，白瓷砖用了多少块？
（3）如果所拼的图形中，用了块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？
考查目的：先找到数与形结合的规律，再根据规律求解。
解析：大正方形每边的块数每增加1块，所用的花瓷砖块数就增加4。白瓷砖的总块数是白色瓷砖区域每个边上的块数的平方，而花瓷砖的总数量是白瓷砖一边的块数加1的4倍。 (共27张PPT)
7.1.10
解决问题的策略（3）
数
与
形
数学就是研究数与形的一门科学。
吴文俊
1=1×1
=12
1+3=2×2
=22
1+3+5=3×3
=32
1+3+5+7=4×4
=42
奇数个数
算
式
和
1
2
3
4
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1
2
3
4
9
11
=62
…
…
3
1
9
5
7
11
+
+
+
+
+
=4
1
3
5
7
=5
…
13
+13
=72
从1开始，n个连续奇数相加的和就等于
。
n
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果按图的样子把它切开，能切成多少个小正方体？三个面涂色的小正方体有几个？
三面涂红色的在8个顶点处，共有8个。
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成5份。如果按图的样子把它切开，能切成多少个小正方体？三个面涂色的小正方体有几个？
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。两个面涂色的小正方体有几个？
功能
能够
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个，
共有
个
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。两个面涂色的小正方体有几个？
12×(4-2)=24
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。一个面涂色的小正方体有几个？
一面涂红色的在每个面的中间位置处，每面有4个，共有
个。
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。一个面涂色的小正方体有几个？
6×
(4-2)
2
=24
一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。各面无涂色的小正方体有几个？
(4-2)3＝8
没有涂红色的：在正方体的中心位置处，共有
个。
每条棱等分数
小正方体总数
三
面
涂色数
两
面
涂色数
一面涂色
数
各
面无涂色数
小正方体表面涂色情况表
n
n3
8
12(n-2)
6(n-2)2
(4-2)3
=8
12×
(4-2)
=24
6×
(4-2)2
=24
(n
-2)3
4
64
8
数形结合
三面涂色的：8
两面涂色的：12×（n-2）
一面涂色的：6×（n-2）2
没有涂色的：(n-2）3
数缺形时少直觉，
形缺数时难入微。
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
华罗庚
（1910.11.12--1985.6.12）
人民科学家
世界数学大师
涂色部分面积：
1
-
＝
31
32
计算
=
31
32
见数思形，见形想数
答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强。
小刚
小林
小强
小芳
小兵
2
4
3
1
2
小林、小强、小芳、小兵和小刚5
人进行象棋
比
赛，每2
人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，
小强下了3盘，小芳下了2
盘，小兵下了1
盘。请
问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
用连线的方法试试。
见数思形，见形想数
4
7
见数思形，见形想数
10
搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒,
怎样得到的
…
先摆
1根
第1个
3根
第100个
3根
返
见数思形，见形想数
根据这样的计算方法，搭200个这样的正方形需要______根火柴棒;
搭n个这样的正方形需要_______根火柴棒。
601
3n+1
见数思形，见形想数
4
=
5
3
＋
勾股定理
见数思形，见形想数
3
4
5
第一境界
看形是形，看数是数。
第二境界
看形不是形，看数不是数。
数
形
结
合
4
9
16
…
1
正方形数
有趣的数
1
3
6
10
15
…
三角形数
…
有趣的数
5,9,14,20,27…
1,5,12,22,35…
……
……
有趣的数
1,3,6,10,15…
5,9,14,20,27…
1,5,12,22,35…
1,4,9,16,25…
数
形
形
数
…
…
毕达哥拉斯
万物皆数
