课题：2.2.2平行四边形的性质（二）
教学目标
1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质；能运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题；培养学生的推理论证和逻辑思维能力。
2、经历探索平行四边形的性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理的能力。
3、培养严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值。
重点：平行四边形对角线的性质定理
难点：能综合运用、有关计算问题和简单的证明题。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、平行四边形有关概念：
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
平行四边形ABCD,
记为“□ABCD”,
读作“平行四边形ABCD”,
线段AC，BD称为对角线。
2、平行四边形性质：
（1）平行四边形的两组对边分别平行;
（2）平行四边形的对边相等，
（3）平行四边形的对角相等，（4）相邻两角互补。
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC，∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=
∠ADC。
二、情境问题（出示ppt课件）
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，
到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，
由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，
他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
三、探究交流（出示ppt课件）
如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条
对角线AC与BD相交于点O.
比较OA
，OC
，
OB
，OD
的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？
（1）在AC与BD画好后，细心观察，鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质，可用三角板量一量，也可采用其他的方法。
（2）把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O
钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
发现：OA=OC，OB=OD，点O
是每条对角线的中点，即：对角线互相平分。
（3）证明猜测的正确性：
如上图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD.∴
∠1=∠2，∠3=∠4.
∴
△OAB≌△OCD.(ASA)
∴
OA=OC，OB=OD.
由此得到平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC
OB=OD
四、知识应用（出示ppt课件）
例1
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.
试求△COD的周长.
解：∵
AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴OC=AC=3，OD=BD=5
又∵
CD
=
4.8，
∴
△COD的周长为3
+
5
+
4.8
=
12.8.
例2、
如图，在□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.
证明：∵
AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，
∴
OA
=
OC
∵
AD∥BC，∴
∠MAO
=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴
△AOM≌△CON.
∴
OM=
ON.
∴
点O是线段MN的中点.
例3、平行四边形一条对角线的两个端点到另一条
对角线的距离相等吗？为什么？
答：相等.
已知
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD
相交于点O，BN⊥AC于点N，DM⊥AC
于点M，
求证：DM=BN
证明：
∵
AC，BD为□ABCD的对角线，∴
OB
=
OD
又
∵
DM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N
.
∴∠DMO=∠BNO=90°，又
∠AOD=∠COB，
∴
Rt△DOM≌Rt△BON(AAS).
∴
DM
=
BN.
回到情境问题：作AE⊥BD，
S△AOD=
S△AOB=
S△BOC=
S△COD
老人分地是合理的。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）结合平行四边形的定义和三个性质进行叙述：
七、作业：p44练习，p49
A
4
B
7
A
D
B
C
老大
老二
老三
老四
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
1
2
3
4
M
N
老大
老二
老三
老四
A
B
C
D
E
O(共14张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级下
本课内容
本节内容
2.2.2
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
1、平行四边形有关概念：
平行四边形ABCD,
记为“□ABCD”,
读作“平行四边形ABCD”,
线段AC，BD称为对角线。
A
D
B
C
1.平行四边形的两组对边分别平行;
2.平行四边形的对边相等，
3.平行四边形的对角相等，
4.
相邻两角互补。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC
∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=
∠ADC
2、平行四边形性质：
几何语言
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
探究
如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O.
比较OA
，OC
，OB
，OD
的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？
量一量
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O
钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
我们发现：
OA=OC，
OB=OD.
猜测点O
是每条对角线的中点.即：对角线互相平分。
你能证明它吗
∴AB=CD，且AB∥CD.
A
4
3
2
1
B
C
D
O
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠1=∠2，∠3=∠4.
∴
△OAB≌△OCD.(ASA)
∴
OA=OC，OB=OD.
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC
OB=OD
例1
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.
试求△COD的周长.
又∵
CD
=
4.8，
∴
△COD的周长为3
+
5
+
4.8
=
12.8.
解：∵
AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
举
例
∴OC=
AC=3，OD=
BD=5
2
1
2
1
例2、
如图，在□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.
证明：∵
AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，
∴
OA
=
OC
.
∵
AD∥BC，
∴
∠MAO
=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴
△AOM≌△CON.
∴
OM=
ON.
∴
点O是线段MN的中点.
答：相等.
例3、平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线
的距离相等吗？为什么？
M
N
证明：
∵
AC，BD为□ABCD的对角线，∴
OB
=
OD
又
∠AOD=∠COB，
∴
Rt△DOM≌Rt△BON(AAS).
∴
DM
=
BN.
p44练习2
已知
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BN⊥AC于点N，DM⊥AC于点M，
求证：DM=BN
又
∵
DM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N
.
∴∠DMO=∠BNO=90°，
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
M
S△AOD=
S△AOB=
S△BOC=
S△COD
老人分地是合理的。
1.如图，在□ABCD
中，BC=10cm,
AC=8cm,
BD=14cm,
△BOC的周长是
cm。△ABC的周长与△DBC的周长相差
cm.
21
6
2.如图，在□ABCD
中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD=8，则AD的取值范围是
.
1＜AD＜9
3.如图，在□ABCD
中,
对角线AC﹑BD相交于点O，且AC+BD=20，
△AOB的周长等于15，则CD=______.
5
A
B
D
C
O
1题图
O
D
B
A
C
2题图
O
D
B
A
C
3题图
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
2cm或8cm
O
D
B
A
C
4题图
5.在□ABCD
中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的
周长是
．
50
6.如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，
AC+BD=14cm，则△OBC的周
长是
cm．
E
O
D
C
B
A
11
7.如图，在□
ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.
求证：∠BAE=∠CDF.
可证明：△ABE≌△DCF
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD
的面积.
B
C
D
A
O
10
8
S□ABCD
=48
A
B
C
D
E
F
BC=AD=8
CD=AB=10
AC=6
OA=3
□ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点
O与
AB
、CD分别相交于E
、F,试探究OE与OF的大小关系？并说明理由。
A
B
C
D
O
E
F
●
3
4
1
2
●
O
D
C
B
A
E
F
(2)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
变式1.在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然成立？试说明理由。
变式2、若将直线EF绕点O旋转至与BA、DC两边延长线相交（如图3）,上述结论是否仍然成立？
OE=OF
本节课，你有什么收获？
图形
名称
文字语言
图形语言
符号语言
平行四边形
定义
性质
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
O
作业：p44练习，p49
A
4
B
7
两组对边分别平行的四边形
∵AB∥CD,AD∥BC
∴
…是平行四边形
平行四边形的
对边平行;
对边相等;
对角相等;
对角线
互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=
BC
∠A=∠C,∠B=∠D
OA=OC,OB=OD《平行四边形的性质（二）》课时作业：
一、选择题
1、在口ABCD中，AC和BD交于点O，AB=4，△AOB的周长为16，则AC+BD的长度是（
）。
A.
28；
B.
26；
C.24；
D.22
2、已知O是口ABCD两条对角线的交点，AC=24cm，BC=38cm，OD=28cm，则△OBC的周长为（
）。
A.
78；
B.
80；
C.82；
D.84
3、如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O。
已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长
相差3cm，则AD的长为（
）。
A.4；
B.
3；
C.3.5；
D.2
4、口ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，
则对角线AC长为（
）
A、15cm；
B、5cm；
C、16cm；
D、6cm；
二、填空题
1.如图，在□ABCD
中，BC=10cm,
AC=8cm,
BD=14cm,
△BOC的周长是
2.如图，在□ABCD
中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD=8，则AD的取值范围是
.
3.如图，在□ABCD
中,
对角线AC﹑BD相交于点O，且AC+BD=20，
△AOB的周长等于15，则CD=______.
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
5.在□ABCD
中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是
．
三、解答题
1.如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则求△OBC的周长。
2.如图，在□
ABCD中，点E在边BC上，
点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF.
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，
AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD
的面积.
参考答案：
一、1、C；2、A；3、D；4、B；
二、1、21，6；2、1
三、1、11cm；
2、可证明：△ABE≌△DCF；
3、BC=AD=8，CD=AB=10，AC=6，OA=3，
S□ABCD
=48
A
B
D
C
O
1题图
O
D
B
A
C
2题图
O
A
C
B
D
3、4题图
E
O
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
2题图
3题图
B
C
D
A
O