湖南省益阳市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，并且α是第二象限角，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．某个单位共有职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人．为了了解这个单位职工的身体职工，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为（　　）
A．54
B．55
C．56
D．57
3．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x
B．y=±4x
C．y=±x
D．y=±x
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）
A．15
B．16
C．17
D．18
5．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等比数列，则公比q等于（　　）
A．2
B．
C．
D．
6．“x＜2”是“﹣3＜x＜2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（　　）
A．12.5，12.5
B．13.5，13
C．13.5，12.5
D．13，13
8．抛物线y2=ax的准线方程是x=2，则a的值是（　　）
A．8
B．
C．﹣8
D．
9．已知A为△ABC的内角，向量，若，则角A=（　　）
A．
B．
C．
D．
10．设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值是（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
11．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣3，1）
12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）=（　　）
A．1
B．
C．
D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量满足，且且与的夹角为，则=　　．
14．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为　　．
15．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值为　　．
16．函数，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．某校1400名学生参加某次知识竞赛，从中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求这些分数落在区间[55，65）内的频率；
（2）估计该校参加本次知识竞赛中成绩低于45分的人数是多少？
18．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）令bn=（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Sn．
19．已知函数f（x）=sinxcosx+2，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
21．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．
22．设函数．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于 x1∈[1，2]， x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
　
2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，并且α是第二象限角，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据平方关系和α是第二象限角求出sinα，再根据商数关系求出tanα的值．
【解答】解：，且α是第二象限角，
∴sinα===，
∴tanα===﹣．
故选：D．
　
2．某个单位共有职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人．为了了解这个单位职工的身体职工，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为（　　）
A．54
B．55
C．56
D．57
【考点】分层抽样方法．
【分析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论．
【解答】解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．
∵职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人，
∴从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为=56人．
故选C．
　
3．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x
B．y=±4x
C．y=±x
D．y=±x
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，
整理，得y=．
故选：C．
　
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）
A．15
B．16
C．17
D．18
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量S的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．
【解答】解：S=0+2﹣1=1＜15，n=2，
S=1+4﹣1=4＜15，n=3，
S=4+6﹣1=9，n=4，
S=9+8﹣1=16＞15，输出S=16，
故选：B．
　
5．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等比数列，则公比q等于（　　）
A．2
B．
C．
D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列通项公式及等比数列性质列出方程，由此能求出公比．
【解答】解：∵等比数列{an}中，各项都是正数，且成等比数列，
∴，
解得q=2．
故选：A．
　
6．“x＜2”是“﹣3＜x＜2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．
【解答】解：显然前者可以推不出后者，后者能推出前者，
故选：B
　
7．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（　　）
A．12.5，12.5
B．13.5，13
C．13.5，12.5
D．13，13
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．
【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，
第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，
则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13，
由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，
即中位数为10+（15﹣10）×=13．
故选：D．
　
8．抛物线y2=ax的准线方程是x=2，则a的值是（　　）
A．8
B．
C．﹣8
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的y2=2px的准线方程为x=﹣，结合题意即可求得a的值．
【解答】解：∵y2=2px的准线方程为x=﹣，
∴由y2=ax的准线方程为x=2得：a=﹣4×2=﹣8，
故选C．
　
9．已知A为△ABC的内角，向量，若，则角A=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据平面向量的数量积运算，列出方程求出A的值．
【解答】解：向量，
若，则 =cosA﹣sinA=0，
解得tanA=；
又A为△ABC的内角，
∴A=．
故选：A．
　
10．设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值是（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴其最小值是4．
故选：C．
　
11．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣3，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，令导函数大于0，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：y′=（3﹣x2）ex+（﹣2x）ex=﹣（x+3）（x﹣1）ex，
令y′＞0，解得：﹣3＜x＜1，
故函数在（﹣3，1）递增，
故选：D．
　
12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）=（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先由图象确定A、T，然后由T确定ω，再由特殊点确定φ，则求得函数解析式，最后求f（0）即可．
【解答】解：由图象知A=1，T=4×（）=π，
则ω==2，
此时f（x）=sin（2x+φ），
将（，﹣1）代入解析式得sin（+φ）=﹣1，
又|φ|＜，则φ=，
所以f（x）=sin（2x+），
所以f（0）=sin=．
故选D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量满足，且且与的夹角为，则=　3　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义，写出运算过程即可．
【解答】解：，且与的夹角为，
则=||×||×cos
=2×3×
=3．
故答案为：3．
　
14．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为　　．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．
【解答】解：列树状图得：
共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，
所以概率为．
故答案为：．
　
15．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值为　2　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件不等式组作出可行域如图，
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣，
由图可知，当直线y=x﹣过C（2，0）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．
∴z=2﹣2×0=2．
故答案为：2．
　
16．函数，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是　（﹣∞，1]　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，
且函数f（x）在（﹣∞，+∞）是为增函数，
由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0，
得f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），
则msinθ＞m﹣1，
即（1﹣sinθ）m＜1，
当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，
当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，
∴m＜，
∵0＜sinθ＜1，∴﹣1＜﹣sinθ＜0，
0＜1﹣sinθ＜1，则＞1，
则m≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．某校1400名学生参加某次知识竞赛，从中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求这些分数落在区间[55，65）内的频率；
（2）估计该校参加本次知识竞赛中成绩低于45分的人数是多少？
【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）设区间[75，85）内的频率为x，利用频率和为1，列出方程求出x的值，再求区间[55，65）内的频率；
（2）计算成绩低于45分的频率，从而求出对应的频数．
【解答】解：（1）设区间[75，85）内的频率为x，
则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．
依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，
解得x=0.05，
所以区间[55，65）内的频率为0.2；
（2）由题意得成绩低于45分的频率为
0.04+0.12+0.19=0.35，
则成绩低于45分的人数约为
0.35×1400=490．
　
18．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）令bn=（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）利用等差中项及a5+a7=26可知a6=13、，通过an=a3+（n﹣3）d计算即得结论；
（Ⅱ）通过（1）裂项可知，进而并项相加即得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，
∵a5+a7=26
∴a6=13，，
∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知，
∴．
　
19．已知函数f（x）=sinxcosx+2，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）将f（x）变形为：，求出f（x）的最大值和f（x）周期T即可；（2）根据正弦函数的单调性求出函数的递增区间即可．
【解答】解：f（x）=sinxcosx+2=，
（1），f（x）的最小正周期．
（2）由得，
∴f（x）的单调递增区间为．
　
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由弦定理化简已知可得，结合sinB≠0，可求，结合范围0＜A＜π，可求A的值．
（2）解法一：由余弦定理整理可得：c2﹣2c﹣3=0．即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）∵，由正弦定理得．…
又sinB≠0，
从而．…
由于0＜A＜π，
所以．…
（2）解法一：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，而，…
得7=4+c2﹣2c=13，即c2﹣2c﹣3=0．
因为c＞0，所以c=3．…
故△ABC的面积为S=．…
解法二：由正弦定理，得，
从而，…
又由a＞b知A＞B，
所以．
故．…
所以△A
BC的面积为．…
　
21．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用两点的距离公式，结合a，b，c和离心率公式计算即可得到；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．
【解答】解：（1）由已知，
即，
即4a2+4b2=5a2，即4a2+4（a2﹣c2）=5a2，
∴；
（2）由（1）知a2=4b2，可得椭圆C：，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．
由，
即17x2+32x+16﹣4b2=0．
．
，．
∵OP⊥OQ，∴，
即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，
5x1x2+4（x1+x2）+4=0．
从而，解得b=1，a=2，
∴椭圆C的方程为．
　
22．设函数．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于 x1∈[1，2]， x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值，通过讨论b的范围，得到函数的单调性，从而确定b的范围即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
．
（1）当a=1时，，∴f（1）=﹣3，
，∴f'（1）=1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣3=x﹣1，
即x﹣y﹣4=0．
（2）当时，．
所以当0＜x＜2，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，
故当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．
（3）当时，由（2）知函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，
所以函数f（x）在[1，2]上的最小值为．
若对于 x1∈[1，2]， x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立
g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（※）．
又．
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
与（※）矛盾．
②当0≤b≤1时，，
由及0≤b≤1得b无解．
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
，此时．
综上所述，b的取值范围是．
　
2017年3月6日