上海市张堰中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年上海市张堰中学高二（上）期末数学试卷
　
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）
1．直线x﹣3y+6=0的一个法向量=　　．
2．椭圆x2+4y2=100的长轴长为　　．
3．若直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：x+（m﹣1）y+2=0垂直，则实数m=　　．
4．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为　　．
5．设方程表示双曲线，则实数m的取值范围是　　．
6．设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式的值为　　．
7．某圆圆心在x轴上，半径为，且与直线x+2y=0相切，则此圆的方程为　　．
8．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为　　．
9．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为　　．
10．已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为　　．（写成一般式）
11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为　　个．
12．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则p的值为　　．
　
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
14．关于x、y的方程组（　　）
A．有唯一的解
B．有无穷多解
C．由m的值决定解的情况
D．无解
15．已知直线，则下列说法错误的是（　　）
A．直线的倾斜角为
B．直线必过点
C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是
D．直线不经过第二象限
16．方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
　
三、解答题
17．设直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行，若点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，试求a的值．
18．已知向量、满足：
|=1，
|=2，且．
（1）求与的夹角θ；
（2）若，求实数m的值．
19．已知双曲线C：x2﹣y2=1，直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果|AB|=6，求实数k的值．
20．已知抛物线C：y2=4x
的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．设点、，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；
（3）过点（1，0）作直线l交曲线C于A、B两点，在x轴上是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．
　
2016-2017学年上海市张堰中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）
1．直线x﹣3y+6=0的一个法向量=　（1，﹣3）　．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】设直线x﹣3y+6=0的一个法向量=（a，b），则3a+b=0，即可得出．
【解答】解：设直线x﹣3y+6=0的一个法向量=（a，b），
则3a+b=0，取a=1，则b=﹣3．
∴可取=（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
　
2．椭圆x2+4y2=100的长轴长为　20　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的简单性质求解．
【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：
=1，
∴a=10，b=5，
∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．
故答案为：20．
　
3．若直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：x+（m﹣1）y+2=0垂直，则实数m=　　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：当m=1时，两条直线分别化为：x+y﹣1=0，x+2=0，此时两条直线不垂直，舍去；
当m≠1时，两条直线的斜率分别为：﹣m，，由于两条直线相互垂直，
∴﹣m =﹣1，解得m=．
综上可得：m=．
故答案为：．
　
4．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为　y2=12x　．
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】求出椭圆的右焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
【解答】解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的p=6，
物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，
所求抛物线方程为：y2=12x．
故答案为：y2=12x．
　
5．设方程表示双曲线，则实数m的取值范围是　（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）　．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由题意可得（m+2）（2m﹣1）＞0，求解关于m的一元二次不等式得答案．
【解答】解：∵方程表示双曲线，
∴（2+m）（2m﹣1）＞0，解得m＜﹣2或m＞．
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．
　
6．设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式的值为　19　．
【考点】三阶矩阵．
【分析】，是方程的解，代入即可求得t1和t2的值，代入行列式，按第一列展开，即可求得行列式的值．
【解答】解：由题意可知：，是方程的解，
解得：，
∴=1×+（﹣1）×=﹣6﹣（﹣1）×5+（﹣1）×（1﹣1×21）=19，
故答案为：19．
　
7．某圆圆心在x轴上，半径为，且与直线x+2y=0相切，则此圆的方程为　（x±5）2+y2=5　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由圆心到切线x+2y=0距离等于半径，得|a|=5，由此能求出圆C的标准方程．
【解答】解：圆心在x轴上，是（a，0），r=，
圆心到切线x+2y=0距离等于半径
所以=，
所以|a|=5，所以a=±5
圆C的标准方程为：（x±5）2+y2=5．
故答案为：（x±5）2+y2=5．
　
8．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为　x=0或y=x　．
【考点】两直线的夹角与到角问题．
【分析】可得已知直线的倾斜角为为60°，进而所求直线l的倾斜角为30°或90°，可得直线l的方程．
【解答】解：∵直线的斜率为，∴倾斜角为60°，
∴所求直线l的倾斜角为30°或90°，
当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x=0；
直线l的倾斜角为30°时，直线的方程为y=x．
故答案为：x=0或y=x．
　
9．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为　7　．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），
当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．
故答案为：7．
　
10．已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为　4y+3x﹣7=0　．（写成一般式）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将直线A，B坐标代入椭圆方程，作差，求得+=0，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程，即可求得直线l的方程．
【解答】解：设A，B点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由A，B在椭圆上，则①，②，
①﹣②得：
+=0，
由AB的中点坐标为P（1，1），即=1，
=1，
∴=﹣，
由直线AB的斜率k==﹣，
由直线的点斜式方程可知：y﹣1=﹣（x﹣1），
整理得：4y+3x﹣7=0，
故答案为：4y+3x﹣7=0．
　
11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为　4　个．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数．
【解答】解：化曲线C的参数方程为普通方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，
圆心（2，1）到直线x﹣3y+2=0的距离d==＜3，
直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，
又+＜3
在直线l的另外一侧有圆上的2个点符合要求，
故答案为4
　
12．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则p的值为　2或8　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，求出p．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
故答案为2或8．
　
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．
【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，
而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，
如图示：
，
直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，
故选：A．
　
14．关于x、y的方程组（　　）
A．有唯一的解
B．有无穷多解
C．由m的值决定解的情况
D．无解
【考点】直线的一般式方程．
【分析】由（m+1）（m﹣1）+4=m2+3≠0，即可判断出方程组的解．
【解答】解：由（m+1）（m﹣1）+4=m2+3≠0，
因此方程组有唯一解．
故选：A．
　
15．已知直线，则下列说法错误的是（　　）
A．直线的倾斜角为
B．直线必过点
C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是
D．直线不经过第二象限
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：直线，普通方程为3x﹣4y﹣25=0，
直线的倾斜角为arctan；x=1时，y=﹣，直线不经过第二象限，
故选C．
　
16．方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】将方程|x﹣1|+|y﹣1|=1进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．
【解答】解：当x≥1，y≥1时，方程等价为x+y﹣3=0，
当x≥1，y≤1时，方程等价为x﹣y﹣1=0，
当x≤1，y≥1时，方程等价为x﹣y+1=0，
当x≤1，y≤1时，方程等价为x+y﹣1=0，
则对应的图象如图：
则围成的图象为正方形，其中B（0，1），C（1，0），
则BC=，
则正方形的面积S==2，
故选：B．
　
三、解答题
17．设直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行，若点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，试求a的值．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】求出平行线方程，代入点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行的斜率为：，
所求直线方程为：y﹣3=（x﹣2），即直线方程为：x﹣2y+4=0，
点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，可得：
=
∵a＞0，∴a=1（a=﹣1舍去）．
　
18．已知向量、满足：
|=1，
|=2，且．
（1）求与的夹角θ；
（2）若，求实数m的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量的数量积公式，求出向量的夹角θ的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求m的值．
【解答】解：（1）∵，
∴2﹣5 +2=5，
又|=1，
|=2，
∴解得 =1；…
又∵，…
且θ∈[0，π]，
∴；…
（2）∵，
∴，
即，…
∴1﹣4m=0，
解得m=．…
　
19．已知双曲线C：x2﹣y2=1，直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果|AB|=6，求实数k的值．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）直线与双曲线方程联立，利用直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点，可得，即可求实数k的取值范围；
（2）如果|AB|=6，利用弦长公式，建立方程，即可求实数k的值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
…
∵直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点
∴……
（2）∵…
∴…
∴28k4﹣55k2+25=0
∴或…
又∵
∴…
　
20．已知抛物线C：y2=4x
的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．
【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；
（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．
【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，
因为F的坐标为（1，0），所以，
由，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．
即，解得
代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），
则，解得．
若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．
所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．
　
21．设点、，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；
（3）过点（1，0）作直线l交曲线C于A、B两点，在x轴上是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆定义可得P的轨迹是长轴2a=4，焦半距的椭圆，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线x=t与椭圆方程，求出A、B的坐标，代入三角形面积公式，利用配方法求得△OAB面积的最大值；
（3）设E（m，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2）．若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数求得m值，已知l与x轴垂直成立得答案．
【解答】解：（1）∵动点P满足|PF1|+|PF2|=4，
∴P的轨迹是长轴2a=4，焦半距的椭圆．
∴b2=a2﹣c2=1．
∴曲线C的方程为；
（2）联立，解得A（t，）、B（t，）．
∴．
当t2=2，即时，（S△OAB）max=1；
（3）设E（m，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2）．
若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），
由，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．
∴．
∵
=为非零常数．
∴m2﹣4=0，得m=±2．
当E（2，0）时，．
当E（﹣2，0）时，．
若l与x轴垂直时，验证上述结论显然成立．
∴在x轴上存在一点E（2，0）或（﹣2，0），使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数．
　
2017年3月6日