课件13张PPT。湘教版SHUXUE八年级下角平分线的性质（二）1、怎样用尺规作角的平分线.2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等ABPD⊥OA，PE⊥OB∵ OC是∠AOB的平分线∴ PD＝PE用符号语言表述： 3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。用符号语言表述：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD＝PE
∴ ∠1= ∠2
即：OC是∠AOB的平分线反过来：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边AB、BC、CA的距离相等。你能在?ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？分析：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角的平分线其交点就是所求得P点。口述作法能证明作图结论吗？如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，同理：PE=PF.∴PD=PE=PF.即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。点P在∠A的平分线上吗？三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。∴PD=PE( ).角平分线上的点到角两边距离相等例1、如图，已知 EF⊥CD, EF⊥AB， MN⊥AC， M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？(可以添加条件MN=ME或MN=MF) 理由：∵ NE⊥CD, MN⊥CA
且MN=ME ∴ M在∠ACD的平分线上，
即：CM是∠ACD的平分线同理：可得AM是∠CAB的平分线。例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。解：∵AP是∠DAC的平分线。
又 PE⊥DB PF⊥AC∴ PE=PF在?EBP中，BE+PE>PB∴ BE+PF>PB 例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上 1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。提示：Rt△DEB ≌Rt△DFC（HL）得：DE=DF由角平分线性质，得出结论。2、已知 BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，
求证：点F在∠A的平分线上.提示：Rt△FEB ≌Rt△FDC（AAS）得：DE=EF由角平分线性质，得出结论。变式训练：如图，△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，
BD是∠BAC的平分线，DE⊥BC于E，若BC = 10cm，
则△DCE的周长等于( )
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cmA3、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，
AB = AC，BD平分∠ABC． 求证：BC = AB + AD提示：由角平分线性质，得：AD=DE.Rt△BAD≌Rt△BED（HL）得：AB=BE又可证：△DEC是等腰直角三角形，DE=EC如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。解：（1）画AB的垂直平分线MN，（2）画∠α的平分线交直线MN于P,则P点就是中转站的位置。变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个超市.使这个超市到三条公路的距离相等,应在何处修建?在确定超市的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA，QE⊥OB，
点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE作业：P25 练习 P26 习题 3、5《角平分线的性质（二）》课时作业
一、选择题
1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
2、如图（1），∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
3、如图（2），直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
4、如图（3）在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
（1） （2） （3）
二、填空题
1、如图（4），∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
2、如图（5），在△ABC中，∠C=90°，
AD是角平分线，DE⊥AB于E，
且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
3、三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到________________相等。
4、点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，
且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为 .
三、解答题
1、如图（6），已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，求证：DE=DF
2、如图（7），已知O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2求O到AB与O到CD的距离之和．
3、如图（8），BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，
∠BDP+∠BEP=180°且∠BDP、∠BEP都不是直角，
求证：PD=PE
参考答案：
一、1、D；2、D；3、A；4、B；
二、1、30°；2、8cm；3、三边的距离；4、120°；5、14；
三、1、连接AD，可证得：△ABD ≌△ACD，得：AD是∠EAF的平分线。
又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF。
2、过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∵AO平分∠BAC ，CO平分
∠DCA，OE⊥AC于E，∴OM=OE=ON，∴OM+ON=4
3、过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，可证得：△PDM≌△PEN，
∴PD=PE
课题：1.4.2角平分线的性质（二）
教学目标
1、在掌握角平分线的性质的基础上能应用性质定理解决一些简单的实际问题。
2、让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
3、经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。
重点：角平分线的性质及其应用。
难点：灵活应用两个性质解决问题。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、怎样用尺规作角的平分线.
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD＝PE
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
用符号语言表述：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD＝PE
∴ ∠1= ∠2
即：OC是∠AOB的平分线
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
二、探究交流（出示ppt课件）
（1）动脑筋：你能在?ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
如图，在△ABC中，作点P，使点P到
三边AB、BC、CA的距离相等。
分析：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以只要作△ABC任意两角的平分线其交点就
是所求得P点。
学生活动：口述作法，并跟着老师的示范，画图。
教师活动：根据学生的叙述，做作图示范。
（2）能证明作图结论吗？
如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE
(角平分线上的点到角两边距离相等)
同理：PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
点P在∠A的平分线上吗？
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
三、例题精讲（出示ppt课件）
例1、如图，已知 EF⊥CD, EF⊥AB， MN⊥AC， M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由：∵ NE⊥CD, MN⊥CA，且MN=ME
∴ M在∠ACD的平分线上，
即：CM是∠ACD的平分线
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平
分线上任取一点P，作PE⊥DB，PD⊥AC，
垂足分别为点E、D。试探索BE+PD与PB
的大小关系。
解：∵AP是∠DAC的平分线。
又 PE⊥DB ， PD⊥AC
∴ PE=PD
在?EBP中，BE+PE>PB
∴ BE+PD>PB
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH ，∴FG＝FH ，∴点F在∠DAE的平分线上
四、课堂练习（出示ppt课件）
五、应用实践（出示ppt课件）
如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂A，B，现要在这个区域
内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河
流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：P25 练习 P26 习题 3、5
