课件13张PPT。湘教版SHUXUE八年级下角平分线的性质（一）1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，
这条射线就叫做这个角的角平分线。如图∠AOB沿射线OC对折，
∠AOC 和∠COB重合。如上图，射线OC是∠AOB的平分线。AＢ你能证明吗？3、用尺规作已知角的平分线： 作法：1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．3．作射线OC．射线OC即为所求． 如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？?PDO≌?PEO(AAS)在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，即：PD=PE.已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE.交换定理的题设和结论得到的命题为：到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线的性质注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。角的内部到角的两边距离相等的点， 在角平分线上。角平分线的判定定理：用符号语言表示为：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠1= ∠2 .分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .
则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）证明：Rt?PDO≌Rt?PEO(HL)即可角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证： 点P在∠AOB的平分线上。1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 .
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上 .
（2）求证：BD是∠ABC的平分线 .证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，∴点B在∠ADC的平分线上（2）在Rt?BAD和Rt?BCD中，∵ BA=BC BD=BD∴ Rt?BAD≌Rt?BCD (HL)∠ABD= ∠CBD∴ BD是∠ABC的平分线∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）答： (1) DE=DC(2) BE=BC角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?1、填空：
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴___________
(____________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE
∴__________
（ ）∠1= ∠2DC=DE到角的两边的距离相等的点在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等(3)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 。 5(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ， （ ） √（2）∵ 如图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD，( ) 2、判断以下所填结论是否正确：×（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD= CD ( ) ×3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点
到角的两边的距离相等）解：∵ ∠A=90° （已知）∴ DA⊥AB（垂直的定义）又∵ BD是∠ABC的平分线∵ DE⊥BA DE⊥BC（已知）4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .
求证:（1） ∠ABC= ∠ABD ；
（2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）证明： (1)∵∠C= ∠D=90°，
∴?BAD和?BCD均为直角三角形，又∵AC= AD，AB=AB
∴Rt?BAD≌Rt?BCD (HL)∴∠ABC= ∠ABD（2）由（1）得： ∠CAB= ∠DAB即：AB是∠CAD的平分线∵∠C= ∠D=90°，即：BC⊥AC，BD⊥AD∴ BC=BD 1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.4、通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.作业：p24 练习 p26 A 1、2《角平分线的性质（一）》课时作业
一、选择题
1、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ）
A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不能确定
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（ ）
A、TQ＝PQ B、∠MQT＝∠MQP C、∠QTN＝90° D、∠NQT＝∠MQT
3．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
二、填空题
1、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=DC，求证：BE=CF。
（提示：证明线段相等的常见方法有：
① ②
③ 而本题只能用：
2、如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是： 。
3、如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点D是三角形内角平分线的交点，则点D到AB的距离是： 。
三、解答题
1、已知：如图点C在∠A的内部，B、D分别
是∠A两边上的点，且AB=AD，CB=CD，CE⊥AB边于
点E，CF⊥AD于点F，求证：CE=CF。
2、如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，
EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？
证明你的结论。
3.如图，△ABC中，∠A=90°，
BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
参考答案：
一、1、B；2、D；3、B；4、D；
二、1、三角形全等，角平分线性质，等腰三角形性质；三角形全等；
2、4cm；3、1cm.
三、1、∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC
即，AC是∠BAD的平分线，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF。
2、AD与EF垂直，∵AD是△ABC的角平分线，可证得：△AED≌△AFD，
∴AE=AF ，DE=DF，即，AD是EF的垂直平分线。∴AD⊥EF
3、解：∵ ∠A=90° （已知）∴ DA⊥AB（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线∵ DE⊥BA DE⊥BC（已知）
∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
S△DBC =BC×DE=×16×6=48
课题：1.4.1角平分线的性质（一）
教学目标
1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理
2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重点：领会角的平分线的两个互逆定理
难点：两个互逆定理的实际应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC 和∠COB重合。
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。
如上图，射线OC是∠AOB的平分，∠AOC = ∠COB =∠AOB，
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
（2）分别以MN为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
（3）作射线OC．射线OC即为所求．
你能证明吗？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、角平分线性质：
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，
即：PD=PE.
（2）引导学生证明猜想。
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
可证明：?PDO≌?PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB，∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）
（1）写出逆命题：交换定理的题设和结论得到的命题为：
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
（2）证明逆命题的正确性：
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt?PDO≌Rt?PEO(HL)即可
（3）结论：角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠1= ∠2 .（OC是∠AOB的平分线）
综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 .
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上 .
（2）求证：BD是∠ABC的平分线 .
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt?BAD和Rt?BCD中，∵ BA=BC， BD=BD
∴ Rt?BAD≌Rt?BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？
答： (1) DE=DC
∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
(2) BE=BC
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?
角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径
四、巩固练习（出示ppt课件）
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .求证:（1） ∠ABC= ∠ABD （2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
第3题 第4题
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p24 练习 p26 A 1、2
