课件14张PPT。湘教版SHUXUE八年级下直角三角形全等的判定（二）直角三角形全等的斜边、直角边定理是： 斜边、直角边定理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).使用“HL”定理要注意哪些问题？直角三角形全等的判定定理:SAS，AAS，ASA，SSS，HL
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的 两个三角形不一定全等。如图，已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA,
还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD ;增加∠CAB=∠DBA ;(HL)(HL)(AAS)(ASA)例1、 如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分BAC。请说明理由.则有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.证明：因为∠1=∠2，（已知）举
例所以BD=CD.（等边对等角）又因为AD=AD(公共边)，所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).变式训练：如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。提示：连接OP，再证明 Rt△ODP≌Rt△OEP∠DOP=∠EOP证明过程学生独立完成。【方法总结】在运用HL判定两个直角三角形全等时，
要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．例2、已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.
求证：CE＝DF.分析：根据已知条件证明现有的
Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出
线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．【方法总结】一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．先用“HL”证得：Rt△ABC≌Rt△BAD，
得：AC＝BD，∠CAB＝∠DBA 再用“AAS”证得：△CAE≌△DBF，∴CE＝DF.例3、已知，如图所示，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE＋CE.△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.【方法总结】当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．分析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论． 1、已知:如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF.求证: △ABC是等腰三角形.2、如图，已知CE ⊥ AB，DF ⊥ AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。AC∥BD吗？为什么？证明 △BDF≌△CDE∠B=∠C，从而结论得证。由AF=BE，可得：AE=BF可证得 △AEC≌△BFD，得：CE=DF∠A=∠B， 得：AC∥BD 。3、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是
D、E， BE、CD相交于点O，如果AB=AC
哪么图中有几对全等的直角三角形？取其
中的一对予以证明。4、已知：如图，AB=CD，AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE.求证： ∠ABD= ∠CDB.3对直角三角形全等。由BF=DE，可得：BE=DF可证得 △AEB≌△CFD，
得： ∠ABD= ∠CDB还能得到哪些结论？5. 已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD=CB， 问
△ABC 与△CDA全等吗?AD//BC 吗？6.如图，在?ABC和?BCD 中，已知AC⊥BC，
AD⊥BD ,垂足分别为C、D ，AC=BD
求证：BC=ADAC边公共，由“HL”可证得：
△ABC≌△CDA，得:∠DAC= ∠BCA，∴AD//BCAB边公共，由“HL”可证得：
△ACB≌△BDA，∴BC=AD7、已知AB//CD， ∠A=90 °、AB=CE、BC=DE，试问DE与BC的位置关系是怎样的？证明：∵AB//CD， ∠A=90°∴∠DCA=180°-∠A=90°（ ）在Rt?ABC和Rt?CED中，
∵ AB=CE
BC=DE
∴Rt?ABC≌Rt?CED（ ）∴∠1= ∠D（ ）∠1+ ∠2= ∠2+ ∠D=90°（ ）∴∠EMC=90°. 即：DE⊥BC答：DE⊥BCHL1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？可证得： △ABC≌△DEF，得:∠ABC= ∠DEF，又:∠DFE+∠DEF=900∴ ∠DFE+∠ABC=900即：∠ABC与∠DFE互余。通过这节课的学习你有何收获？直角三角形的全等判定方法：（四条）概括为两条：
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;特别注意“HL”定理的使用条件.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件1条件2作业：p21 A 3 B 5、6《直角三角形全等的判定(二)》课时作业
一、选择题
1.两个直角三角形全等的条件是( )
A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等;
C.一条边对应相等; D.两条边对应相等
2.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()
①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
3.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )
A.5对; B.4对; C.3对; D.2对
4.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
5.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )
A.AAS B.SAS C.HL D.SSS
二、填空题
1．“HL”公理是：有 相等的两个 三角形全等。
2．在应用“HL”公理时，必须先得出两个 三角形，然后证明 对应相等
3、已知△ABC和△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,要判定△ABC≌△A′B′C′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________.
4、.、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB∥CD,理由如下:
∵AF⊥BC于F,DE⊥BC于E(已知)
∴△ABF,△DCE是直角三角形 ∵BE=CF(已知)
∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)
∴Rt△ABF≌Rt△DCE( )
三、解答题
1、如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC.
2、已知：如图，AB=CD，AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE.求证： ∠ABD= ∠CDB.
3、已知AB//CD， ∠A=90 °、AB=CE、BC=DE，试问DE与BC的位置关系是怎样的？
第1题 第2题 第3题
参考答案：
一、1、D2、B3、C4、B5、B
二、1、两边，直角；2、直角，边、角；3.①AB=A′B′ ②BC=B′C′ ③∠A=∠A′ ④∠B=∠B′4、EF、EF、BF=CE,BF=CE,斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
三、1、证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC.
2、由BF=DE，可得：BE=DF，可证得 △AEB≌△CFD，得： ∠ABD= ∠CDB
3、答：DE⊥BC，可证得：Rt?ABC≌Rt?CED
∴∠1= ∠D，∠1+ ∠2= ∠2+ ∠D=90°∴∠EMC=90°. 即：DE⊥BC
课题：1.3.2直角三角形全等的判定(二)
教学目标
1、已知斜边和直角边会作直角三角形；熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；
2、通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。
3、通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。
重点：“斜边、直角边公理”的掌握。
难点：“斜边、直角边公理”的灵活运用。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形全等的斜边、直角边定理是：
斜边、直角边定理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
2、直角三角形全等的判定定理:SAS，AAS，ASA，SSS，HL
3、综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的 两个三角形不一定全等。
4、使用“HL”定理要注意哪些问题？
（1）“HL”公理只适用判定直角三角形全等。
（2）使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。
（3）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
（4）熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
二、合作讨论（出示ppt课件）
如图，已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA,
还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来.
（1）增加AC=BD；（HL）
（2）增加BC=AD; （HL）
（3）增加∠ABC=∠BAD ; (AAS)
（4）增加∠CAB=∠DBA ; (ASA)
学生活动：根据添加的条件，写出证明过程。并进行课堂展示。
教师活动：学生证明时进行检查、点拨、纠正。鼓励学生上台展示。
三、探究合作（出示ppt课件）
例1、 如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分BAC。请说明理由.
证明：因为∠1=∠2，（已知）
所以BD=CD.（等边对等角）又因为AD=AD(公共边)，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
则有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
变式训练：如图，已知P是∠AOB内部一点，
PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，
则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。
提示：连接OP，再证明 Rt△ODP≌Rt△OEP
∠DOP=∠EOP即：OP是∠AOB的平分线。
证明过程学生独立完成。
【方法总结】在运用HL判定两个直角三角形全等时，
要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．
例2、已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.
【思路启发】根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，
得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，
从而解决问题．
【简单解法】先用“HL”证得：Rt△ABC≌Rt△BAD，
得：AC＝BD，∠CAB＝∠DBA
再用“AAS”证得：△CAE≌△DBF，∴CE＝DF.
【方法总结】一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
例3、已知，如图所示，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE＋CE.
【思路启发】先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．
【简单解法】△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
【方法总结】当看到题目中要证线段和差关系时，
而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定
两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课外提升（出示ppt课件）
1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
2、如图，在△ABC与△A′ B′ C′ 中，CD，C′ D′分别是高，并且AC= A′ C′，CD= C′ D′，∠ACB=∠A′ C′ B′．求证：△ABC≌△A B C ．
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：p21 A 3 B 5、6
