6.3 实数
教学目标
1、了解无理数和实数的概念 及实数的分类.
2、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
3、初步体会“数形结合”的数学思想，通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用
重点、难点
重点: 了解无理数和实数的概念；知道实数与数轴上的点的一一对应关系， 会用计算器计算实数.
难点: 对无理数的认识.
教学过程
1、 复习
问题：有理数包括哪些数？
设计意图：通过对有理数探究，激发进一步学习的欲望
二、探究新知
(1)利用计算器，把下列有理数3，-，，，，转换成小数的形式，你有什么发现？
教师提出问题(1).
教师引导学生观察计算结果，得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
(2)我们所学过的数是否都具有问题(1)中数的特征，即是否都是有限小数和无限循环小数？
教师提出问题(2).
学生回顾思考，通过学生对有理数的再认识，师生共同归纳无理数是无限不循环小数，从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.21世纪教育网版权所有
设计意图：通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的发现能力.21cnjy.com
注重新旧知识的连贯性，使学生体会到学习的内容是融会贯通的。激发学生的求知欲。
问题：
你能对我们学过的数进行合理的分类吗？
教师引出无理数和实数的概念，
教师引导学生独立思考：当对数的认识扩充到 ( http: / / www.21cnjy.com )实数范围之后，怎样在实数范围内对学过的数进行分类整理？教师在参与讨论时启发学生类比有理数的分类，同时鼓励学生相互补充、完善，并帮助总结出实数的分类结构图.2·1·c·n·j·y
实数
设计意图：通过对实数进行分类，让学生进一步 ( http: / / www.21cnjy.com )领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.
问题：
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？
教师提出问题.
教师参与并指导实际操作(利用多媒体课件演示圆滚动的过程）.
学生独立思考后小组讨论交流，学生借助的得出过程进行探究，
本节由于学生知识水平的限制，教师直接给出有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的结论.
设计意图：通过多媒体教学使学生了解无理数数也可以用数轴上的点来表示，从而引发学生学习兴趣.
思考：
，-π的相反数是______，0的相反数是______
，= ，= 。
结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数：
1、数a的相反数是____，这里表示任意一个______.
2、一个正实数的绝对值_______；一个负实数的绝对值是_____；0的绝对值是 ____．
即:
三、例题讲解
例1：(1)分别写出， 的相反数；
(2)指出，分别是什么数的相反数；
(3)求的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数.
练习：
1、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 .
2、π-3.14的相反数是 ，绝对值是 。
3、1-的绝对值是 。
例2 计算下列各式的值：
(1) (2)
练一练
计算：
1、
2、
3、
例3 计算：（结果保留小数点后两位）：
(1) (2)
设计意图：通过具体例子说明，有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，同时巩固使用计算器求实数的方法21教育网
五、随堂练习
1、下列实数中，是有理数的为( )
A. B. C．π D．0
2、下列各数是无理数的是( )
A．0 B．－1 C. D.
3、下列四个实数中最大的是( )
A．－5 B．0 C．π D．3
4、计算：
(1)
(2) (精确到0.01)
设计意图：随堂练习可以帮助学生巩固新知，老师从学生解题过程中了解教学效果，逐步提高解决问题的能力.
六、拓展延伸
1．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值．www.21-cn-jy.com
2、阅读下列材料：
如果一个数的n(n是大于1 ( http: / / www.21cnjy.com )的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即xn＝a，则x叫做a的n次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2.www-2-1-cnjy-com
回答问题：
(1)64的6次方根是 ，－243的5次方根是 ，0的10次方根是 ；
(2)归纳一个数的n次方根的情况．
设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
七、课堂小结
1、有理数和无理数统称为 .
2、实数的分类
3、实数与数轴上的点是 ___ 的.
4、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
5、实数的运算顺序
(1)先算乘方和开方；
(2)再算乘除，最后算加减；
(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算。
设计意图：通过共同小结使学生归纳、 ( http: / / www.21cnjy.com )梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知识储备.21·cn·jy·com
八、教学反思
在解决问题的同时引导学生对解决方法 ( http: / / www.21cnjy.com )进行总结，和学生一起从原有的有理数的基础，添加无理数，总结出实数的分类．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
随堂练习
1、D 2、C 3、C
4、解：(1) 原式=
(2) 原式≈3.142－1.414＋1.732≈3.46.
拓展延伸
解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64，e2＝(±)2＝2，∴＝＝4.
∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6.
2、(1)±2 ,-3 ，0
(2)解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；
当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个.
0的n次方根是0.
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第六章 实数
6.3 实数
有理数
整数
分数
有理数
正有理数
零
负有理数
有理数包括哪些数？
像5，，
复习回顾
探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 =______， =______， =______，
=______， =______， =______.
结论:我们发现，上面的有理数都可以写成____ 小数或者 小数的形式.
3.0
2.5
-0.6
6.75
1.2
0.81
有限
无限循环
探究新知
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是_______数.
有理
叫做无理数.
所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
=1.41421356237309504880168…
=1.70997594667669698935310…
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（两个1之间依次多一个0）
无限不循环小数
探究新知
１．圆周率 及一些含有的数；如：
怎样识别无理数？
２．开不尽方的数；如：…
３．不循环的无限小数.
探究新知
注意：
1.带根号的不一定是无理数，如：
2.无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数，如：1.1211211211112……
判断
(1)无理数都是无限小数；( )
(2)实数包括正实数、0、负实数；( )
(3)不带根号的数都是有理数；( )
(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。( )
×
√
×
√
练一练
把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
有理数和无理数统称实数
探究新知
有理数
无理数
实数
初中阶段对数的认识范围扩充为
新加入
思考:实数如何分类？
探究新知
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
探究新知
1. 把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
练一练
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 可以看出 的长是这个圆的 ，所以点 对应的数是 ．
O
1
2
3
4
周长
探究新知
－2
－1
1
2
B
A
C
数轴上的点有些
表示有理数，有
些表示无理数.
1
1
O
（1）如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴填满吗？
探究新知
结论：每一个有理数和无理数都可以用______上的一个点表示出来.实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用______上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 .
数轴
一一对应
数轴
实数
探究新知
思考：
-π的相反数是______
0的相反数是______
π
0
π
0
探究新知
。
，= ，= 。
1、数a的相反数是____，这里表示任意一个______.
2、一个正实数的绝对值________；一个负实数的绝对值是________；0的绝对值是 ____．即:
结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数：
-a
实数
它本身
它的相反数
0
a
0
-a
探究新知
解：(1)因为= .
= .
所以、的相反数分别是 、 .
例1：(1)分别写出， 的相反数；
(2)指出，分别是什么数的相反数；
解：(2)因为= ， .
所以 ， 分别是的相反数。
例题讲解
(3)求的绝对值；
-4
4
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数.
1、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 .
2、π-3.14的相反数是 ，绝对值是 。
3、1-的绝对值是 。
1
3.14-π
π-3.14
练一练
解：(1)原式=
=
=
例2 计算下列各式的值：
(2)原式=(3+2)=5 (分配律)
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
例题讲解
计算：
1、
2、
3、
练一练
解：（1）
=
=
（2）
=10++2
=
(3)
=1-
=1-
=
例3 计算：（结果保留小数点后两位）：
例题讲解
(1) (2)
解：(1)原式≈2.236+3.142≈5.38
(2)原式≈1.732+1.414≈2.45
计算的过程一般比要求保留的小数点位数多一位.
1、下列实数中，是有理数的为( )
A. B. C．π D．0
2、下列各数是无理数的是( )
A．0 B．－1 C. D.
3、下列四个实数中最大的是( )
A．－5 B．0 C．π D．3
C
D
随堂练习
C
4、计算：
(1)
(2) (精确到0.01)
解：(1) 原式=
随堂练习
(2) 原式≈3.142－1.414＋1.732≈3.46.
拓展延伸
2．阅读下列材料：
如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即xn＝a，则x叫做a的n次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2.
回答问题：
(1)64的6次方根是 ，－243的5次方根是 ，0的10次方根是 ；
(2)归纳一个数的n次方根的情况．
±2
-3
0
拓展延伸
拓展延伸
解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；
当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个.
0的n次方根是0.
（1）实数
___________
1、有理数和无理数统称为
2、实数的分类
（2）实数
_____实数
_____
_____实数
有理
无理
正有理
负有理
有限小数或无限循环小数
正无理
负无理
无限不循环小数
正
0
负
实数
3、实数与数轴上的点是 ___ 的.
4、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
一一对应
课堂小结
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___________________________________________
______数
________数
数
数
数
数
0
5、实数的运算顺序
(1)先算乘方和开方；
(2)再算乘除，最后算加减；
(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算。
