第1章直角三角形单元检测B卷

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湘教版八年级下第1章直角三角形单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A．90° B．135° C．120° D．45°或135°
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
3．如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（　　）
A．60° B．70° C．50° D．40°
4．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（　　）
A．52° B．38° C．64° D．26°
5．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（　　）
①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB=90°，P，Q分别是AB，CD的中点，给出下列结论：（1）PQ⊥CD；（2）AB=2PQ；（3）∠ADC与∠ABC互补．其中正确的是（　　）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
8．如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
9．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（　　）
A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
11．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（　　）
A．6 B．7 C．5 D．4
12．三角形的一个顶点与对边中点的连线称三角形的中线，这条中线关于这个顶角的平分线对称的直线称为三角形的共轭中线，对于共轭中线下列说法正确的序号是（　　）
①等腰三角形底边上的共轭中线就是它的高；
②直角三角形斜边上的高线就是斜边的共轭中线；
③钝角三角形最大边上的共轭中线就是它的高；
④△ABC中，若AM为BC边上的中线，AD为BC边上的共轭中线，则∠BAM=∠CAD．
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④　
二．填空题（共6小题）
13．如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为　　°．
14．如图，在△ABC中，AB=AC=15，∠B=30°，点D为AB边上一动点，且AD=AE，BD=DF，要使△DEF与△CEF均为直角三角形，则AD的值为　　．
15．如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　　．
16．如图，线段AB的长为5，C为线段AB上一动点（与点A、B不重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和BCE，若AD=x，BE=y，那么x2+y2最小值是　　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=　　cm．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　　．
　
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
20．已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE．
21．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求BD的长度．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．
（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；
（2）求证：∠1=∠2．
24．如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连AE，若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．
（1）求a，b，c的长；
（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；
（3）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
25．已知OA⊥OB，OC为一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）如图①，当OC在∠AOB的内部时，∠DOE=　　°．
（2）如图②，当OC在∠AOB的外部时，求∠DOE的度数．
26．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．分析：本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠EOD=180°﹣45°=135°，
故选B．
　
2．分析：根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故错误；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为a，b，斜边为c则满足a2+b2=c2”，故错误；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故错误；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故正确．
故选D．
　
3．分析：由平行线的性质和对顶角相等得出∠1=∠2=∠3，由角平分线的定义求出∠AOC=∠AOB=20°，由直角三角形的性质求出∠3=70°，即可得出∠1的度数．
解：如图所示：
根据题意得：∠1=∠2=∠3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=20°，
∴∠3=90°﹣20°=70°，
∴∠1=70°；
故选：B．
　
4．分析：先求得∠BOC的度数，然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数，最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可．
解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠BOC=26°．
∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°．
故选：C．
　
5．分析：①利用外角的性质可得∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，由角平分线的性质可得：∠5=∠6，由同角的余角相等可得：∠A=∠4，进而可得∠1=∠2，即∠CFE=∠CEF；
②采用分析法，若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，进而∠A=∠5=∠6，然后由直角三角形两锐角互余可得∠A=30°，即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件；
③由同角的余角相等可得：∠A=∠4，即∠A=∠DCB；
④由∠1=∠2，∠1与∠5互余，可得∠2与∠5互余，即：∠CFE与∠CBF互余．
解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5=∠6，
∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，
∠1=∠2，
故∠CFE=∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，
由（1）可知：∠A=∠4，
∴∠A=∠5=∠6，
∵∠A+∠5+∠6=180°，
∴∠A=30°，
即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
即∠A=∠DCB，故③正确；
④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠5=90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选A．
　
6．分析：根据直角三角形的性质求出∠BCD=30°，根据直角三角形的性质求出BC的长，同理解答即可．
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，又CD是高，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4cm，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8cm，
故选：C．
　
7．分析：连接PD、PC，根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可．
解：连接PD、PC，
∵∠ADB=∠ACB=90°，P是AB的中点，
∴PD=AB，PC=AB，
∴PD=PC，又Q是CD的中点，
∴PQ⊥CD，（1）符合题意；
∵AB=2PD，PD＞PQ，
∴AB＞2PQ，（2）不符合题意；
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADC与∠ABC互补，（3）符合题意，
故选：C．
　
8．分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=45°，根据平行线的性质可得∠2=∠3，进而可得答案．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3，
∵∠1=15°，
∴∠2=45°﹣15°=30°，
故选：B．
　
9．分析：结合图形，利用直角三角形判定全等的方法判断即可．
解：在Rt△AOB和Rt△COD中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），
则如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是HL，
故选A．
　
10．分析：判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
故选B．
　
11．分析：本题涉及到的知识点是“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，因为取5的时候是AC垂直于AB，也就是AC能取的最小值．
解：当AC=5时，AC=AB，此时∠ACB为直角，有1个三角形为直角三角形；
当AC=7时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；
当AC=9时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；
当AC=11时，∠ACB为锐角时，有1个，此时不存在∠ACB为钝角的三角形；
综上所述，共有6个满足条件的互不全等三角形．
故选A．
　
12．分析：根据三角形的角平分线、中线和高的定义以及翻折变换的性质进行判断即可．
解：∵等腰三角形底边上的中线、高、角平分线“三线合一”，
∴等腰三角形底边上的共轭中线就是它的高，①正确；
如图1，∠BAC=90°，AM是BC边上的中线，
∴MA=MB，
∴∠BAM=∠A，
由题意和翻折变换的性质可知，∠BAM=∠CAD，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，即DA⊥BC，
则直角三角形斜边上的高线就是斜边的共轭中线，②正确；
③错误；
如图2，作∠BAC的平分线AG，
则∠BAG=∠CAG，
由翻折变换的性质可知，∠MAG=∠DAG，
∴∠BAM=∠CAD，④正确，
故选B．
　
二．填空题（共6小题）
13．分析：由于∠AOD=30°，所以△AOC恰好是直角三角形时，分∠A是直角和∠ACO是直角两种情况讨论求解即可．
解：∵在△AOC中，∠AOC=30°，
∴△AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：
①如果∠A是直角，那么∠A=90°；
②如果∠ACO是直角，那么∠A=90°﹣∠AOC=60°．
故答案为60°或90°．
　
14．分析：由于在△ABC中，AB=AC，AD=AE，可得DE∥BC，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EDF=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分∠DFE=90°和∠DEF=90°两种情况讨论可求AD的长．
解：∵在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∴DE∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠EDF=30°，
∴当∠DFE=90°时，设AD=x，则BD=DF=15﹣x，DE=x，则15﹣x=×x，解得x=6；
当∠DEF=90°时，设AD=x，则BD=DF=15﹣x，DE=x，则×（15﹣x）=x，解得x=5．
综上所述，AD=5或6．
故答案为：5或6．
　
15．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．
解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，又CD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°．
故答案为：30°．
　
16．分析：由等腰直角三角形的性质可用BC把DE2表示出来，再利用二次函数的性质可求得答案．
解：
在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°
∴∠DCE=90°
∴AD2+CD2=AC2，CE2+BE2=CB2
∴CD2=AC2，CE2=CB2，
∴DE2=DC2+EC2=AC2+CB2=（AC+BC）2﹣AC BC=﹣BC（5﹣BC）=BC2﹣5BC+=（BC﹣）2+，
∴当CB=时，DE2有最小值的值最小，
即x2+y2的最小值为，
故答案为：．
　
17．分析：用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．
故填7．
　
18．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
故答案为：4：5：6．
　
三．解答题（共8小题）
19．分析：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．
解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
　
20．分析：由等腰三角形的性质及在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可得：∠ADE=∠EAD=90°﹣∠C，又因为∠CBF=90°﹣∠C，进而可证明∠CBF=∠ADE．
证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADC=90°，
又∵E是AC的中点，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD=90°﹣∠C，
∵BF⊥CA延长线于点F，
∴∠CBF=90°﹣∠C，
∴∠CBF=∠ADE．
　
21．分析：（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．
证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
　
22．分析：（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义求出∠DAB，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质计算即可．
解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
即：点D到AB的距离为1；
（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∵AD平分∠CAB，CD=1．
∴∠BAD=∠CAD=30°，
即：BD=AD=2CD=2，
∴BD的长度是2．
　
23．分析：（1）由勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．
（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=2.5；
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠B=∠1，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2．
　
24．分析：（1）根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值；
（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性质得出AC=CE，进而得出答案；
（3）分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．
解：（1）解方程组
得：，
解不等式组，
解得：﹣4≤x＜11，
∵满足﹣4≤x＜11的最大正整数为10，
∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；
（2）∵AE平分△ABC的周长，△ABC的周长为24，
∴AB+BE=×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；
（3）不存在．
∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC=6，BE=2，
此时，△AEC的面积为：，
△ABE的面积为：面积不相等，
∴AE平分△ABC的周长时，不能平分△ABC的面积，
同理可说明AE平分△ABC的面积时，不能平分△ABC的周长．
　
25．分析：（1）根据题意画出图形，根据角平行线的定义可知∠COD=∠AOC，∠EOC=∠BOC，然后根据∠EOD=∠COD+∠EOC求解即可；
（2）根据题意画出图形，根据角平行线的定义可知∠COD=∠AOC，∠EOC=∠BOC，然后根据∠DOE=∠COD﹣∠COE求解即可．
解：（1）如图①所示：
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠COD=∠AOC，∠EOC=∠BOC．
∴∠EOD=∠COD+∠EOC=∠AOC+∠BOC=∠BOA==45°；
故答案为：45．
（2）如图②所示：
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠COD=∠AOC，∠EOC=∠BOC．
∠DOE=∠COD﹣∠COE
=∠AOC﹣∠BOC
=（∠AOC﹣∠BOC）
=∠AOB
=
=45°．
　
26．分析：（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
　
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