18.2勾股定理的逆定理同步练习
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文档简介
沪科版八年级下册数学18.2勾股定理的逆定理同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.分以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，4
2. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13
C．a2=b2﹣c2 D．∠A=∠C﹣∠B
3. 如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为 ．
A．5 B．6 C．3 D．4
4. 在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC的长度可以在6，24，4，2中取值，则满足上述条件的直角三角形有（ ）【出处：21教育名师】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm
6. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
7. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（ ）cm2．【版权所有：21教育】
A．54 B．108 C．216 D．270
8. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是( )
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图，△ABC中，AD=8，AC=10，DC=6，AB=17，则AC的长是 ．
10. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
11. 已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为 cm时，这三条线段能组成直角三角形．21教育名师原创作品
12. 已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，则BC的长为 ．
13. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ．21世纪教育网版权所有
14. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
16. 如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
17. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积．
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
18. 如图3中的（1）是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图3中（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
（2）用这个图形推出a2+b2=c2．（勾股定理）
（3）假设图中的（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图中的（1）所给的直角三角形拼出另一种能推出a2+b2=c2的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析:由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、22+32=13≠42=16，故A选项错误；
B、42+52=41≠62=36，故B选项错误；
C、12+（）2=3=（）2，此三角形是直角三角形，故C选项正确；
D、22+（）2=6≠42=16，故D选项错误．
故选：C．
2. A
分析：利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；www.21-cn-jy.com
B、不妨设a=5，b=12，c=13，此时a2+b2=132=c2，即a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、由条件∠A=∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
故选A．
3. B
分析：根据等腰直角三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C点．
解：如图： 故6个．
4. B
分析：当∠A=90°，求得AC=4，当∠C=90°，求得AC=6，于是得到结论．
解：当∠A=90°，
∵∠B=30°，AB=12，
∴AC=4，
当∠C=90°，
∵∠B=30°，AB=12，
∴AC=6，
∴满足上述条件的直角三角形有2个，
故选B．
5. D
分析：先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边==13cm，
设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=×5×12=×13?h，
∴h=cm．
故选D．
6. A
分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．21·cn·jy·com
【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故选A．
7.C
分析：连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．www-2-1-cnjy-com
解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是216平方米．
故选项为C。
8. D
分析：首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．21教育网
解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴是直角三角形．
故选D．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：先根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，再由勾股定理可以求得BD的长度，再根据线段的和差关系即可求解．21cnjy.com
解：∵AD2+CD2=82+62=102=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，BD==15，
BC=BD+CD=15+6=21，．
故答案为：21．
10. 分析：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
解：由题意可得：AB==10（m），
则AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m），
故他们仅仅少走了：4×2=8（步）．
故答案为：8．
11. 分析：已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．2-1-c-n-j-y
解：根据勾股定理，当10cm和6cm都为直角边时，第三条线段长为==2cm；
当10cm为斜边，6cm为直角边时，第三条线段长为=8cm，
故答案为：8或2．
12.分析：利用勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形，在直角三角形ABC中，由勾股定理求出CB即可．
解：因为△ABD中,∠ABD=90°,∠DAB=30°
所以BD= AD 又AD=12
所以BD=6 则AB=6
因为C=90°，所以三角形ABC是直角三角形
在直角三角形ABC中,AC=BC AB=6
所以=54，则 BC=3
13.分析：利用勾股定理的逆定理进行验证分析即可得到。
设小正方形的边长为1，
则AB 2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13．21*cnjy*com
因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
14. 分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：结合实际意境作图并构造直角三角形解答即可。
解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA=20×=40km，OB=15×2=30km．
再根据勾股定理，得两条船相距AB= =50km．
16. 分析：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。21·世纪*教育网
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 17. 分析：（1）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
解：（1）△ABC的面积=4×8﹣1×8÷2﹣2×3÷2﹣6×4÷2=13．
故△ABC的面积为13；
（2）∵正方形小方格边长为1
∴AC==，AB==，BC==2，
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+52=65，AC2=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴网格中的△ABC是直角三角形．
18. 解：（1）如图所示，是梯形；
（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+b）（a+b）． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，2·1·c·n·j·y
即++c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2=c2；
（3）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
一、选择题(本大题共8小题)
1.分以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，4
2. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13
C．a2=b2﹣c2 D．∠A=∠C﹣∠B
3. 如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为 ．
A．5 B．6 C．3 D．4
4. 在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC的长度可以在6，24，4，2中取值，则满足上述条件的直角三角形有（ ）【出处：21教育名师】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm
6. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
7. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（ ）cm2．【版权所有：21教育】
A．54 B．108 C．216 D．270
8. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是( )
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图，△ABC中，AD=8，AC=10，DC=6，AB=17，则AC的长是 ．
10. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
11. 已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为 cm时，这三条线段能组成直角三角形．21教育名师原创作品
12. 已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，则BC的长为 ．
13. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ．21世纪教育网版权所有
14. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
16. 如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
17. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积．
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
18. 如图3中的（1）是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图3中（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
（2）用这个图形推出a2+b2=c2．（勾股定理）
（3）假设图中的（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图中的（1）所给的直角三角形拼出另一种能推出a2+b2=c2的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.C
分析:由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、22+32=13≠42=16，故A选项错误；
B、42+52=41≠62=36，故B选项错误；
C、12+（）2=3=（）2，此三角形是直角三角形，故C选项正确；
D、22+（）2=6≠42=16，故D选项错误．
故选：C．
2. A
分析：利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；www.21-cn-jy.com
B、不妨设a=5，b=12，c=13，此时a2+b2=132=c2，即a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、由条件∠A=∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
故选A．
3. B
分析：根据等腰直角三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C点．
解：如图： 故6个．
4. B
分析：当∠A=90°，求得AC=4，当∠C=90°，求得AC=6，于是得到结论．
解：当∠A=90°，
∵∠B=30°，AB=12，
∴AC=4，
当∠C=90°，
∵∠B=30°，AB=12，
∴AC=6，
∴满足上述条件的直角三角形有2个，
故选B．
5. D
分析：先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边==13cm，
设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=×5×12=×13?h，
∴h=cm．
故选D．
6. A
分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．21·cn·jy·com
【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故选A．
7.C
分析：连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．www-2-1-cnjy-com
解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是216平方米．
故选项为C。
8. D
分析：首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．21教育网
解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴是直角三角形．
故选D．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：先根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，再由勾股定理可以求得BD的长度，再根据线段的和差关系即可求解．21cnjy.com
解：∵AD2+CD2=82+62=102=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，BD==15，
BC=BD+CD=15+6=21，．
故答案为：21．
10. 分析：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
解：由题意可得：AB==10（m），
则AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m），
故他们仅仅少走了：4×2=8（步）．
故答案为：8．
11. 分析：已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．2-1-c-n-j-y
解：根据勾股定理，当10cm和6cm都为直角边时，第三条线段长为==2cm；
当10cm为斜边，6cm为直角边时，第三条线段长为=8cm，
故答案为：8或2．
12.分析：利用勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形，在直角三角形ABC中，由勾股定理求出CB即可．
解：因为△ABD中,∠ABD=90°,∠DAB=30°
所以BD= AD 又AD=12
所以BD=6 则AB=6
因为C=90°，所以三角形ABC是直角三角形
在直角三角形ABC中,AC=BC AB=6
所以=54，则 BC=3
13.分析：利用勾股定理的逆定理进行验证分析即可得到。
设小正方形的边长为1，
则AB 2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13．21*cnjy*com
因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
14. 分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：结合实际意境作图并构造直角三角形解答即可。
解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA=20×=40km，OB=15×2=30km．
再根据勾股定理，得两条船相距AB= =50km．
16. 分析：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。21·世纪*教育网
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 17. 分析：（1）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
解：（1）△ABC的面积=4×8﹣1×8÷2﹣2×3÷2﹣6×4÷2=13．
故△ABC的面积为13；
（2）∵正方形小方格边长为1
∴AC==，AB==，BC==2，
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+52=65，AC2=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴网格中的△ABC是直角三角形．
18. 解：（1）如图所示，是梯形；
（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+b）（a+b）． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，2·1·c·n·j·y
即++c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2=c2；
（3）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．